2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第10课时　函数的零点与方程的解

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第10课时　函数的零点与方程的解对应学生用书第47页 考试要求理解函数的零点与方程的解的联系.了解用二分法求方程的近似解．理解函数零点存在定理，并能简单应用. 链接教材　夯基固本第10课时　函数的零点与方程的解1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有____⇔函数y＝f(x)的图象与___有公共点．f(x)＝0零点x轴 (3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象________且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．连续不断f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0连续不断f(a)f(b)<0零点 [常用结论]1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0．()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()×××× √243题号1二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCDA[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] √2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1，2)B．(2，3)C．(5，6)D．(5，7)BCD[由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)．故选BCD.]243题号1x1234567f(x)－4－2142－1－3√√ √3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A．b>c>aB．a>b>cC．c>b>aD．c>a>b243题号1C[函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝lnx，y3＝－－1与函数y＝－x的交点的横坐标分别为a，b，c，作出图象，结合图象可得c>b>a.故选C.] 4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．243题号1－2，e[由题意得，或解得x＝－2或x＝e.]－2，e 典例精研　核心考点第10课时　函数的零点与方程的解考点一　判定函数零点所在的区间[典例1](2024·广东东莞期中)函数f(x)＝2x＋log2x的零点所在区间是()A．B．C．(1，2)D．(2，3)[四字解题]读想算思函数零点所在区间的判断问题定理法f，f的正负等价转化、数形结合图象法画y＝2x和y＝－log2x的图象√ A[法一(定理法)：因为y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有一个零点，因为f＝－2<0，f＝－1>0，由零点存在定理知，f(x)在上存在零点，结合选项，因为⊆，所以f(x)的零点所在区间是，故选A.法二(图象法)：令f(x)＝0，得2x＝－log2x，作出函数y＝2x和y＝－log2x的图象，如图，显然y＝f(x)在区间内有零点．] 名师点评确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． [跟进训练]1．(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．√2 (1)A(2)2[(1)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．(2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.] 考点二　确定函数零点的个数[典例2](1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知函数f(x)＝则关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点的个数为()A．8B．7C．5D．2√√ (1)C(2)B[(1)令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)及y＝的大致图象如图所示．由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点．故选C.(2)根据题意，令4f2(x)－13f(x)＋9＝0，得f(x)＝1或f(x)＝.作出f(x)的简图．由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点的个数为7.故选B.] 名师点评求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． [跟进训练]2．(1)(2023·甘肃武威三模)已知函数y＝f(x)满足：当－2≤x≤2时，f(x)＝－x2＋1，且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是________．(2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是____________．6①②④ (1)6(2)①②④[(1)∵f(x)＝f(x＋4)，∴y＝f(x)的周期T＝4，如图所示即为函数y＝f(x)的图象，4f(x)＝|x|⇒f(x)＝，做出的图象，观察f(x)与图象有6个交点，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是6.(2)将f(x)＝|lgx|－kx－2转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2图象的交点问题．对于①，当k＝0时，|lgx|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；对于②，存在k＜0，使y1＝|lgx|与y2＝kx＋2相切，②正确；对于③，若k＜0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误；对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lgx(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 考点三　函数零点的应用考向1根据函数零点个数求参数[典例3](2023·通州区一模)设函数f(x)＝若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_________________________；若函数f(x)存在三个零点，则实数a的取值范围是______________．(－∞，－)∪[，＋∞)[y＝⇒当x≤a时，y′＝3－3x2≥0⇒x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，解方程3x－x3＝0可得，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示．(－∞，－)∪[，＋∞) 若函数f(x)有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为x1＝－，或x2＝－.(i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上，如图所示；(ii)若函数零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈，如图所示．若函数f(x)存在三个零点，则零点为x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥，如图所示．] 【教师备选资源】(2024·江苏无锡辅仁高中模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[－]＝－2．已知函数f(x)＝有且只有4个零点，则实数a的取值范围是___________________．[设g(x)＝则g(x)＝a有且只有4个根．当x≤1时，g′(x)＝(x＋1)·ex，当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当－1<x≤1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，所以当x≤1时，g(x)min＝g(－1)＝－＝－.当x∈(1，2)时，[x]＝1，g(x)＝－，当x∈[n，n＋1)(n≥2，n∈N*)时，[x]＝n，g(x)＝－，故函数g(x)的图象如图所示：因为－<－<－<－，由图可知a∈.] 考向2根据函数零点范围求参数[典例4](1)(2023·山西阳泉三模)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－5)B．(－5，－1)C．(1，5)D．(5，＋∞)(2)(2024·云南红河模拟)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为()A．(2，3]B．C．D．(2，3]√√ (1)B(2)D[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B.(2)由题意可得，2x2－mx＋1＝0即m＝2x＋在x∈时有2个不同的解，设f(x)＝2x＋，根据双勾函数的性质可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f＝3，f＝2，f(4)＝，要使m＝2x＋在x∈时有2个不同的解，则2<m≤3.故选D.] 【教师备选资源】(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A．B．C．∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)(3)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是____________．√√[－1，＋∞) (1)D(2)C(3)[－1，＋∞)[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)作出函数f(x)的图象，如图．因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a>2或<2a≤1．解得a>1或<a≤.(3)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1．] 名师点评已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． [跟进训练]3．(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－3，若方程f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．∪[8，10)B．∪[6，10)C．∪(6，10]D．∪(6，10](2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．√ (1)D(2)[(1)由题知函数的周期为4．画出f(x)在区间(0，10)上的图象，如图①所示：因为f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，所以函数f(x)与y＝logax的图象在(0，10)上有5个交点．当a＞1时，如图②所示：由图象知解得6＜a≤10； 当0＜a＜1时，如图③所示：由图象知loga8＞－3，解得0＜a＜，综上，实数a的取值范围为∪(6，10].(2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得<m<.] 微点突破1嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．[典例]函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________．[赏析]第一步：换元解套设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．第二步：辅助图形在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．[－1，＋∞) 第三步：数形结合当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．第四步：归纳总结综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．[答案][－1，＋∞)名师点评该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f(x)与y＝t的图象确定零点的个数． [跟进训练]1．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为()A．3B．5C．7D．9√C[设f(x)＝t，令F(x)＝0可得f(t)＝t＋1，对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1.设y＝k2x＋1与y＝lnx相切于点(x2，lnx2)，∵(lnx)′＝，∴切线斜率k2＝，则切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝·x＋lnx2－1，∴解得 由于<<1，故作出f(x)与y＝x＋1的图象如图所示，∴y＝x＋1与f(x)有四个不同交点，即y＝t＋1与f(t)有四个不同交点．设四个交点为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知t1<0<t2<1<t3<t4，作出函数y＝t，y＝f(x)的图象如图，由此可知f(x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点，∴F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零点个数为7.故选C.] 2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是()A．2B．3C．4D．5√D[令t＝f(x)＋1＝①当t>0时，f(t)＝lnt－，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0．作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示：由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f的零点个数为5.故选D.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十五)函数的零点与方程的解 THANKS