2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第6课时　幂函数与二次函数

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第6课时　幂函数与二次函数对应学生用书第32页 考试要求通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题． 链接教材　夯基固本第6课时　幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______．y＝xα(1，1)(0，0)(1，1)奇函数偶函数 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝__________________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的____．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域Rax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零点 值域对称轴方程x＝－顶点坐标奇偶性当____时是偶函数，当____时是非奇非偶函数单调性在上单调递__；在上单调递__在上单调递__；在上单调递__b＝0b≠0减增增减 [常用结论]二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n].(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m＜－时，最小值为f，最大值为f(n)；(3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；(4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝是幂函数．()(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．()(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是．()×√√× √二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为()A．[－6，2]B．[－6，1]C．[0，2]D．[0，1]A[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].]2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__________________________．(－∞，30]∪[120，＋∞)[依题意知，20或≤5，解得k≥120或k≤30．](－∞，30]∪[120，＋∞) 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间__________上单调递减．y＝(0，＋∞)[设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝，由性质可知函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．]4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)c<b<a[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.]y＝(0，＋∞)c<b<a 典例精研　核心考点第6课时　幂函数与二次函数考点一　幂函数的图象及性质[典例1](1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1(2)(2024·成都石室中学模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是()A．m＝4B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数D．f(x)是偶函数(3)若<，则实数a的取值范围是_________．√√ (1)D(2)C(3)[(1)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2-1<2n，所以－1<n<0．综上所述，故选D.(2)函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；当m＝－1时，f(x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．函数f(x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C.(3)易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<.] 名师点评与幂函数有关问题的解题思路(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． [跟进训练]1．已知a＝，b＝，c＝，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<bA[a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，b<a，∴b<a<c.故选A.]√ 考点二　二次函数的图象与解析式[典例2](1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则()A．b2＞4acB．2a－b＝1C．a－b＋c＝0D．5a＜b(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝____________．(1)AD(2)－4x2＋4x＋7[(1)在题图中，二次函数与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．√√－4x2＋4x＋7 (2)法一(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．]名师点评研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． [跟进训练]2．(1)若abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()ABCD(2)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f(x)的一个解析式：___________________________．(写出一个即可)√f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) (1)D(2)f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)[(1)在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D.(2)由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5．] 考点三　二次函数的单调性与最值[典例3]已知函数f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)．[解]f(x)＝x2－tx－1＝－1－.(1)依题意，－1<<2，解得－2<t<4，∴实数t的取值范围是(－2，4)．(2)①当2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝3－2t.②当－1<<2，即－2<t<4时，f(x)min＝f＝－1－.③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝t.综上有g(t)＝ [拓展变式]本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)．[解]∵f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，∴f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}．又f(2)－f(－1)＝3－3t，当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t；当t<1时，f(2)－f(－1)>0，∴f(2)>f(－1)，∴f(x)max＝f(2)＝3－2t，综上有G(t)＝ 【教师备选资源】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．[解]函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意．②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.名师点评二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． [跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，若f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则实数k的取值范围为____________．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．(1)(－∞，1)[由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1].∵g(x)在[－3，－1]上单调递减，∴g(x)min＝g(－1)＝1．∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．](－∞，1) (2)[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1.当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图②所示，在对称轴x＝1处f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1.当t≥1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，f(x)min＝ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十一)幂函数与二次函数 THANKS