2025年高考数学一轮讲义第8章 第9课时　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

第9课时　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题考点一　定点问题[典例1]　(2023·河北石家庄一模)已知点P(4，3)在双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|·|PN|＝4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个，证明：直线l过定点．①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(3)解析几何大题中设直线方程一般有三种设法：y－y0＝k(x－x0)，x＝my＋n，y＝kx＋m，若设y＝kx＋m这种形式，研究定点，只需根据条件得到m与k的关系即可，如m＝3k.[跟进训练]1．(2023·江苏泰州一模)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，7/7 过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PA|＝10，△PAQ的面积为3.(1)求双曲线C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　定值问题[典例2]　(2024·湖南长沙开学考试)已知M，N分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P1，32在椭圆E上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：12AB+CD24为定值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(4)定值问题可由特殊情况先寻求定值，再推广到一般，这样方向和目标明确．[跟进训练]2．(2023·湖南岳阳一模)已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E7/7 作平行于l2的直线交l1于点A，过动点E作平行于l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴上时，记轨迹为曲线E0，过点M(1，0)的直线m与曲线E0交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若NM＝λMP，NM＝μMQ，求证：λ＋μ为定值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　定直线问题[典例3]　(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．[规范解答]　(1)双曲线C的中心为原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5，则ca=5，c=25，c2=a2+b2，·······················1分解得a=2，b=4，··························2分故双曲线C的方程为x24-y216＝1.··················3分(2)证明：过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my－4，→切入点：巧妙设元减少运算因为C的左、右顶点分别为A1，A2，则A1(－2，0)，A2(2，0)，联立x=my-4，4x2-y2=16，→切入点：联立、消元、根与系数的关系化简整理，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，·············4分故Δ＝(－32m)2－4×48×(4m2－1)＝256m2＋192＞0且4m2－1≠0，→失分点································5分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，7/7 则y1＋y2＝32m4m2-1，y1y2＝484m2-1，··················6分直线MA1的方程为y＝y1x1+2(x＋2)，·················7分直线NA2的方程为y＝y2x2-2(x－2)，·················8分故x+2x-2＝y2x1+2y1x2-2＝y2my1-2y1my2-6＝my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1＝m·484m2-1-2·32m4m2-1+2y1m·484m2-1-6y1＝-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1＝－13，→关键点：计算准确··············10分故x+2x-2＝－13，解得x＝－1，····················11分所以xP＝－1，故点P在定直线x＝－1上．···················12分　定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法如下．(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数；(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．[跟进训练]3．(2023·福建福州二模)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过点(－2，0)的两条直线l1，l2分别交E于A，B两点和C，D两点．当l1的斜率为23时，|AB|＝13.(1)求E的标准方程；[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　椭圆中的等角定理已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，直线l过定点(m，0)(m≠0，|m|≠a)且不垂直于x轴，同时直线l与椭圆C交于P，Q两点，则x轴上存在点Ra2m，0，使得∠ORP＝∠ORQ.逆定理已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与x轴上定点Ra2m，0(m≠0，|m|≠a)，设直线l不垂直于x轴，同时直线l与椭圆C交于P，Q两点，若∠ORP＝∠ORQ，则直线恒过定点(m，0)．注：定点所在轴只需要与a保持一致即可，不要求在椭圆内，也不要求在椭圆外，如图所示：证明：普通联立法即可．双曲线的等角定理已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞b＞0)，直线l过定点(m，0)(m≠0，|m|≠a)且不垂直于x轴，同时直线l与双曲线C交于P，Q两点，则x轴上存在点Ra2m，0，使得∠ORP＝∠ORQ.逆定理已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞b＞0)与x轴上定点Ra2m，0(m≠0，|m|≠a)．设l不垂直于x轴，同时直线l与双曲线C交于P，Q两点，若∠ORP＝∠ORQ，则直线恒过定点(m，0)．注：定点在实轴上即可，不要求在双曲线内部，也不要求过定点的直线必须是和同一侧曲线相交于两点，包括如下三种情况，证明过程一致．7/7 证明：普通联立法即可．　抛物线的等角定理已知抛物线C：y2＝2px，直线l过定点(m，0)(m≠0)，同时直线l与抛物线C交于P，Q两点，则x轴上存在点R(－m，0)，使得∠ORP＝∠ORQ.逆定理已知抛物线C：y2＝2px与x轴上定点R(m，0)(m≠0)，直线l与抛物线C交于P，Q两点，若∠ORP＝∠ORQ，则直线恒过定点(－m，0)．注：定点在对称轴上即可．[典例]　(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C7/7 交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7