2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题

§8.12圆锥曲线中定点与定值问题第八章直线和圆、圆锥曲线 题型一定点问题例1(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，两点.(1)求E的方程； 设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)， (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点. 当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1， 此时直线HN过定点(0，－2).当直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， lMN：y＝kx＋m(由直线MN过点P(1，－2)可得k＋m＝－2).得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1， y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m) ∴直线HN过定点(0，－2).综上，直线HN过定点(0，－2). 思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). 跟踪训练1(2023·郑州质检)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；又a2－b2＝c2，则a＝2， (2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M? 由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0， 整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0， 题型二定值问题例2(2022·蚌埠模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线， (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值. 由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 跟踪训练2(2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程；即为曲线C的方程. (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值. 设线段MN的中点为T(x0，y0)， 课时精练 基础保分练1.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程；代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.1234 1234(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上. 1234 1234设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，所以点P在y＝－1上，结论得证. (1)求C的方程；1234 1234(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M. 显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，依题意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3，1234 令y＝0，1234 1234所以直线AD过定点M(3,0). 综合提升练1234(1)求C的方程，并说明C是什么曲线； 所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点).1234 1234(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值. 由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝24m2＋24>0，1234 因为G(3，y1)，Q(my2＋2，y2)，则直线QG的方程为y－y1＝2y1(x－3)，1234 1234因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，即|MN|为定值. 拓展冲刺练4.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C1：＝1，椭圆C2：＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA.(1)证明：kBF·kBG为定值；1234 1234 1234(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点； 当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，1234 1234约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2， 1234综上，直线GF过定点(1,0). 1234(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值. 设PA的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，1234 1234