2025年高考数学一轮讲义第7章 高考培优7　立体几何中的动态问题

　立体几何中的动态问题题型一　空间位置关系的判定[典例1]　(1)(多选)如图，四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(点P∉平面AECD)，设线段PD的中点为F.则在翻折过程中，下列选项正确的是(　　)A．CF∥平面AEPB．CF的长度恒定不变C．AE⊥DPD．异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点．下列叙述正确的是(　　)A．若AP＝12AD1，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为36B．若BP＝λBC+BB1(λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值C．若BP＝λBC+12BB1(λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1PD．若AP＝λAD1(λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的取值范围是π4，π2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空间位置关系的动点问题的解法(1)应用线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行转化；(2)利用向量法或建立空间直角坐标系进行计算．[跟进训练]1．(1)(多选)(2024·湖南益阳模拟)如图，矩形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，且BC＝2AB＝2，BF∩AE＝O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(　　)A．CF⊥OPB．存在点P，使得PE∥CFC．存在点P，使得PE⊥EDD．三棱锥P-AED的体积的最大值为26(2)(多选)(2024·广东佛山禅城区一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP＝λBC＋μBB1，其中λ∈0，1，μ∈0，1，则(　　)A．当λ＝μ＝1时，BP⊥A1DB．当λ＝μ＝12时，点P到平面A1BD的距离为32C．当λ＋μ＝1时，D1P∥平面A1BDD．当λ＋μ＝12时，三棱锥A1-PBD的体积恒为112题型二　轨迹问题[典例2]　(1)(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　)5/5 A．若MN与平面ABCD所成的角为π4，则点N的轨迹为圆B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若D1N与AB所成的角为π3，则点N的轨迹为双曲线(2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若MQ＝xMG＋yMN(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成图形的面积是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．[跟进训练]2．(1)(多选)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，点M5/5 是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是(　　)A．当PM长度最小时，三棱锥M-BDP的体积为12B．当PM长度最大时，三棱锥M-BDP的体积为12C．若保持PM＝5，则点M在侧面内运动路径的长度为πD．若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B＝∠B1D1B，则点M的轨迹为圆弧(2)(2024·河北邢台模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，若总是保持EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为________；若总是保持AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为________．题型三　最值(范围)问题[典例3]　(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段B1D1上一动点，且AP∥平面DBC1，则异面直线AP与BD所成角的取值范围为(　　)A．π4，3π4　　　　B．π4，π2C．π3，π2　D．π3，2π3(2)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)A．18，814　B．274，814C．274，643　D．18，27[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，有如下常用的思路．(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在什么位置时，所求的量有相应最大值、最小值，即可求解．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．[跟进训练]3．(1)(2024·湖南长沙模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1(包含端点)上的动点，下列命题正确的是(　　)A．CH⊥BDB．平面D1AB1与平面AB1C的夹角为π3C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是33，233D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为33，22(2)(2024·江苏盐城模拟)已知正四面体ABCD的棱长为3，点E满足AE＝λAB(0＜λ＜1)，过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则四边形EFGH的周长为________，四棱锥A-EFGH的体积的最大值为________．5/5