2025年高考数学一轮讲义第7章 第8课时　向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题

第8课时　向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题[考试要求]　1．能用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2．掌握空间几何体中的探索性及翻折问题的求解方法．1．点P到直线l的距离设AP＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝AP2-AQ2＝提醒：点到直线的距离还可以用以下两种方式求解：①d＝|AP|sinθ求解，其中θ为向量AP与直线l方向向量的夹角．②d＝AP2-AP·μμ2，其中μ为l的方向向量．2．点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝AP·nn，如图所示．[常用结论]1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．6/6 2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点A到平面α的距离是点A与α内任一点的线段的最小值．(　　)(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(　　)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　　)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α．(　　)二、教材经典衍生(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则：(1)点B到直线AC1的距离为________；(2)直线FC到平面AEC1的距离为________．考点一　求空间距离[典例1]　(2024·福建泉州模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC∥平面PAD，BC＝12AD＝1，E是棱PD上的动点．(1)当E是棱PD的中点时，求证：CE∥平面PAB；(2)若AB＝1，AB⊥AD，求点B到平面ACE距离的范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．(3)等体积法．(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到α的距离d＝PA·nn.[跟进训练]1．(1)(2023·浙江温州三模)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为(　　)A．22　　B．12　C．33　　D．13(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足AP＝34AB+12AD+23AA1，则下列说法正确的是(　　)A．点A到直线BE的距离是55B．点O到平面ABC1D1的距离是24C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33D．点P到直线AB的距离为56考点二　立体几何中的探索性问题[典例2]　如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．6/6 (1)求证：AC⊥平面A1BO；[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为277，若存在，请计算CPCC1的值；若不存在，请说明理由．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．[跟进训练]2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点．6/6 (1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值；(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为255？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　立体几何中的翻折问题[典例3]　(2023·江苏南京二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝22，AD＝DC＝2，如图1．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图2，点M在线段BP上．(1)求证：AP⊥CM；(2)若点M到直线AC的距离为255，求BMBP的值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三步解决平面图形翻折问题[跟进训练]3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB6/6 ＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6