2024年高考数学重难点攻略：立体几何中的动态问题 学生版

微重点　立体几何中的动态问题“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．知识导图考点一：动点轨迹问题考点二：折叠、展开问题考点三：最值、范围问题考点分类讲解考点一：动点轨迹问题规律方法　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．1(2024·浙江温州·一模)如图，所有棱长都为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，BE=2EC，点F是侧棱AA1上的动点，且AF=2CG，H为线段FB上的动点，直线CH∩平面AEG=M，则点M的轨迹为()A.三角形(含内部)B.矩形(含内部)C.圆柱面的一部分D.球面的一部分2(多选)(23-24高三上·贵州安顺·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、A1D1、AB的中点，点M为棱A1B1上动点，则()1 A.点E、F、G、H共面B.GM+MH的最小值为1+523C.点B到平面AB1C的距离为D.DE⊥A1H33(2023·贵州·一模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，P分别为棱AA1,CC1,AD的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为．-→4(2023·宁波联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P满足BP=λBC+μBB1(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有()A.若λ+μ=1，则A1P⊥AD1B.若λ+μ=1，则三棱锥A1-PDC1的体积为定值C.若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线D.若点P到点A的距离为3，则动点P的轨迹是一个面积为π的圆考点二：折叠、展开问题规律方法　画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．1(2024·河南·模拟预测)为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢(如图1).已知AB和CD是圆O的两条互相垂直的直径，将平面ABC沿AB翻折至平面ABC，使得平面ABC⊥平面ABD(如图2)此时直线AB与平面CBD所成角的正弦值为()2 1323A.B.C.D.33222(22-23高三上·浙江·开学考试)如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,AE=2EB，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的点，满足CM=2MA1，则在△ADE翻折过程中(点A1不在平面DEBC内)，下面四个选项中正确的是()A.BM⎳平面A1DEB.点M在某个圆上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.线段BA1的长的取值范围是5,33(2024高三·全国·专题练习)如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DEDE⎳BC，记=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置，使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，BCMC，如图2，N为MC的中点．(1)当EN⎳平面MBD时，求λ的值．(2)随着λ的值的变化，二面角B-MD-E的大小是否改变？若是，请说明理由；若不是，请求出二面角B-MD-E的正弦值．4(2023·邵阳模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AF⊥平面ABCD，且AF=3，点E为线段CD(除端点外)上的动点，沿直线AE将△DAE翻折到△D′AE，则下列说法中正确的是()3 A.当点E固定在线段CD的某位置时，点D′的运动轨迹为球面B.存在点E，使AB⊥平面D′AE3C.点A到平面BCF的距离为21310D.异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是13，10考点三：最值、范围问题规律方法　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．1(多选)(2023·鞍山模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是()A.四面体PA1D1A的体积为定值B.AP+PC的最小值为22πC.A1P∥平面ACD1D.直线A1P与AC所成的角的取值范围是0，32(2023·青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P-ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B为θ，由三面角余弦定理得cosθcosγ-cosα·cosβ=.在三棱锥P-ABC中，PA=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PCsinα·sinβ=6，则三棱锥P-ABC体积的最大值为()2722799A.B.C.D.44243(23-24高三下·北京·开学考试)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的取值范围是()4 666A.1,2B.,3C.,2D.+∞2224(2023·黑龙江哈尔滨·三模)已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD，点E是线段PB上的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为()ππππA.B.C.D.6432强化训练一、单选题1(2023·云南保山·二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为()A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆222(2023·全国·三模)在平面直角坐标系中，P为圆x+y=16上的动点，定点A-3,2．现将y轴左侧2π半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点A翻折至A，P仍在右侧半3圆和折起的左侧半圆上运动，则A，P两点间距离的取值范围是()A.13,35B.4-13,7C.4-13,35D.13,73(2024·全国·模拟预测)如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点(不含端点)，记∠AED=α，现将△ADE沿直线AE翻折到△APE的位置，记直线CP与直线AE所成的角为β，则()A.cosα>cosβB.cosα<cosβC.cosα>sinβD.sinα<cosβ4(2023·上海宝山·二模)在空间直角坐标系O-xyz中,已知定点A2,1,0,B0,2,0和动点VC0,t,t+2t≥0.若△OAC的面积为S,以O,A,B,C为顶点的锥体的体积为V,则的最大值为S()2144A.5B.5C.5D.51551555 5(23-24高三上·河北衡水·阶段练习)正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,O为BC的中MNMO点，M为棱B1C1上的动点，N为棱AM上的动点，且=，则线段MN长度的取值范围为()MOMA36647347A.,7B.,C.,D.3,6427476(23-24高三下·山西·阶段练习)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CD的中点，F是CC1上的动点，则三棱锥A-DEF外接球半径的最小值为()A.3B.23C.13D.157(2023·陕西咸阳·模拟预测)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是()A.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P-AA1D1D的体积不变ππB.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是3,2oC.使直线AP与平面ABCD所成的角为45的点P的轨迹长度为π+42D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF⎳平面B1CD1时，PF长度的最小值是58(2023·吉林长春·模拟预测)四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，2AB=BC=CD，BC⊥CD，侧面A1ABB1为正方形，设点O为四棱锥A1-CC1DD外接球的球心，E为DD1上的动点，则直线AE与OB所成的最小角的正弦值为()525261A.B.C.D.5555二、多选题9(23-24高三下·江苏苏州·开学考试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AB上的动点，则()A.平面ABC1D1⊥平面A1DMB.平面BCD1⎳平面A1DMC.AM与BC所成角的取值范围为π,ππ,π1143D.A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为6410(2023·全国·模拟预测)如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，AB=1，BD=2，∠ABD=∠C=90°，∠BDC=45°.现沿着BD进行翻折，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，得到三棱锥A-BCD(如图②)，则下列选项中正确的是()6 A.平面ABC⊥平面ACDB.二面角B-AD-C的大小为60°3C.异面直线AD与BC所成角的余弦值为D.三棱锥A-BCD外接球的表面积为π311(2023·全国·模拟预测)如图1，矩形B1BCC1由正方形B1BAA1与A1ACC1拼接而成．现将图形沿A1A对折成直二面角，如图2．点P(不与B1,C重合)是线段B1C上的一个动点，点E在线段AB上，点F在线段A1C1上，且满足PE⊥AB，PF⊥A1C1，则()图1图2A.PE=PFB.B1C⊥平面PEF2πC.∠EPF的最大值为D.多面体CFAEP的体积为定值3三、填空题12(2023·河南·模拟预测)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱DD₁(不包含端点)上一动点，则三棱锥P-AB1C的体积的取值范围为.13(2023·江苏淮安·模拟预测)某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片ABCD进行翻折，菱形的边长为1，∠ABC=60°，E是边BC上一点，将△CDE沿着DE翻折到△CDE位置，使平面CDE⊥面ABED，则点A与C之间距离最小值是.14(23-24高三上·河北保定·期末)如图，在棱长为8的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1上的7 一个动点，给出下列三个结论：①若F为BD1上的动点，则EF的最小值为42；②D到平面BED1的距离的86最大值为；③M为BC的中点，P为空间中一点，且PD与平面ABCD所成的角为30°，PM与平面3ABCD所成的角为60°，则P在平面ABCD上射影的轨迹长度为35π，其中所有正确结论的序号是．四、解答题15(2023·河南·二模)如图所示，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为3，P为线段DF1上的动点.(1)求证：AP⎳平面A1BC；(2)设直线AP与平面CDF1A1所成的角为θ，求sinθ的取值范围.8 16(2024高三·全国·专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)求AE与D1F所成的角；(2)设AA1=2，在正方形ABCD内(或上)，是否存在点K使得三棱锥K-A1D1E的体积为1？若存在，求出动点K的轨迹；若不存在，说明理由．17(2023·广西南宁·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是边AD上的动点，沿BE将△ABE翻折至△ABE，使二面角A-BE-C为直二面角.(1)当AE=3时，求证：AB⊥CE；(2)当AB=AE时，求二面角C-AB-E的正弦值.9 18(22-23高三下·安徽·阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，AB⊥AD，E，F分别是棱PC，PB的中点，G是棱AB上的动点，且AG=λAB.1(1)若λ=，证明：GF⎳平面BDE.2(2)求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值.19(2023·全国·模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，AA1垂直于平面ABC．点P，E，F分别为边A1C1，AA1，AC上的动点(不包括顶点)，且满足AE=AF=A1P．(1)求三棱锥B1-A1PE的体积的最大值；(2)记平面BEF与平面BCP所成的锐二面角为θ，当θ最小时，求cosθ的值，并说明点P所处的位置．10