2025年高考数学一轮讲义第3章 第6课时　利用导数解决函数的零点问题

第6课时　利用导数解决函数的零点问题考点一　判断、证明或讨论函数零点的个数[典例1]　已知函数f(x)＝xsinx－32.判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用导数求函数的零点个数的常用方法(1)数形结合法．利用导数研究函数的性质，画出相应函数的图象，数形结合求解．(2)零点存在定理法．先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点．(3)分离参数法．转化为一条直线与一个复杂函数图象交点个数问题．[跟进训练]1．(2023·湖南师大附中三模节选)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)，试讨论函数f(x)零点个数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围[典例2]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．[思维流程]　4/4 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．[跟进训练]2．(1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)　　　　B．(－∞，－3)C．(－4，－1)　D．(－3，0)(2)已知函数f(x)＝12x2－alnx，若a>0，函数f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在解导数综合题时，经常会碰到这种情形：导函数存在零点，但是不能求出具体的解，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．[典例]　已知函数f(x)＝xex－lnx－1，若f(x)≥mx恒成立，求实数m4/4 的取值范围．[赏析]　法一(分离变量法)：由f(x)≥mx得xex－lnx－1≥mx(x＞0)，即m≤xex-lnx-1x，令φ(x)＝xex-lnx-1x，则φ′(x)＝x2ex+lnxx2，令h(x)＝x2ex＋lnx，则h′(x)＝(2x＋x2)ex＋1x＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．切入点：零点存在定理，发现零点，设而不求又h1e＝1e2e1e－1＜e2e2－1＝0，h(1)＝e＞0，所以h(x)在1e，1存在零点x0，即h(x0)＝x02ex0＋lnx0＝0，突破点：等价变形，寻找等量关系x02ex0＋lnx0＝0⇔x0ex0＝－lnx0x0＝ln1x0(eln1x0)，关键点：辅助函数，得出等量关系令y＝xex(x＞0)，因为y′＝(x＋1)ex＞0，所以y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，故x0＝ln1x0＝－lnx0，即ex0＝1x0，所以φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．落脚点：整体代换，代入求值所以φ(x)min＝φ(x0)＝x0ex0-lnx0-1x0＝1+x0-1x0＝1，所以m≤1.法二(朗博同构法)：由f(x)≥mx得xex－lnx－1≥mx(x＞0)，所以ex+lnx-lnx-1≥mxx＞0，即ex＋lnx－(x＋lnx)－1＋(1－m)x≥0(x＞0)恒成立．由切线不等式得ex+lnx-x+lnx-1≥0，4/4 故(1－m)x≥0(x＞0)恒成立，所以1－m≥0，即m≤1.　函数零点存在但不可求时，常虚设零点，利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围(区间长度小于1个单位)，然后利用零点所满足的关系进行代换化简．[跟进训练]1．若alnx－(2a＋1)x<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值．参考数据：ln3<43，ln4>54　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．设函数f(x)＝ex－x－2，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4/4