2024年新高考数学一轮复习：第02讲 常用逻辑用语（解析版）

第02讲常用逻辑用语1、充分条件与必要条件（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p（2）从集合的角度：若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2、全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．(2)特称命题：含有存在量词的命题．(3)特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)． 1、【2022年浙江省高考】设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.2、【2022年新高考北京高考】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.3、【2021年乙卷文科】已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（       ） A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．1、命题“∀x≥0，tanx≥sinx”的否定为()A．$x0≥0，tanx0＜sinx0B．$x0＜0，tanx0＜sinx0C．∀x≥0，tanx＜sinxD．∀x＜0，tanx＜sinx【答案】A【解析】由题意可知，命题“∀x≥0，tanx≥sinx”的否定为“$x≥0，tanx＜sinx”，故选项A正确2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】已知条件，那么是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】∵，，∴：，∵：，∴，所以是的必要不充分条件，故选：B．3、（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式成立的一个充分条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】或，因为或，所以不等式成立的一个充分条件是. 故选：C4、已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p是q的必要条件，则m的最小值为________．【答案】14【解析】由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.若p是q的充分条件⇒⇒0<m≤1.则m的最大值为1.若p是q的必要条件⇒⇒m≥4.考向一　充要条件、必要条件的判断例1、（1）“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则，解得或，因为Ü，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.（2）在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由：若，则为钝角；若，则，此时，故充分性成立.△为钝角三角形，若为钝角，则不成立； ∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：.（3）“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，则为纯虚数可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；当复数为纯虚数时，，解得：可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：C变式1、（2022·湖北江岸·高三期末）“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，可得或，当时，此时，即充分性不成立；反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.变式2、（2022·山东济南·高三期末）已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的图像性质，结合充分，必要条件的定义进行判断【详解】偶函数的图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若是偶函数，则是偶函数，若是奇函数，也是偶函数，所以“是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件故选：A方法总结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，考向二充分、必要条件等条件的应用例2、（多选题）下列选项中，是的必要不充分条件的是　　A．；：方程的曲线是椭圆B．；：对，不等式恒成立C．设是首项为正数的等比数列，：公比小于0；：对任意的正整数，D．已知空间向量，1，，，0，，；：向量与的夹角是【答案】：．【解析】，若方程的曲线是椭圆，则，即且，即“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件； ，，不等式恒成立等价于恒成立，等价于；“”是“对，不等式恒成立”必要不充分条件；是首项为正数的等比数列，公比为，当，时，满足，但此时，则不成立，即充分性不成立，反之若，则，，即，则，即成立，即必要性成立，则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件．：空间向量，1，，，0，，则，，，解得，故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件．变式1、知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【解析】由x2－6x＋8<0，得(x－2)(x－4)<0，解得2<x<4，所以A＝(2，4).因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B.因为B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，①若a＝0，则B＝∅，不合题意，故舍去；②若a>0，则B＝(a，3a)， 则解得≤a≤2；③若a<0，则B＝(3a，a)，与A⊆B矛盾，故舍去．综上所述，实数a的取值范围是.变式2、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】由p：|1－|≤2，得－2≤1－≤2，解得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0，解得1－m≤x≤1＋m.因为p是q的充分不必要条件，所以且等号不同时成立，解得m≥9，所以实数m的取值范围是[9，＋∞).变式3、　已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】由p：|1－|≤2，得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0，得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0.设集合A＝[－2，10]，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}．因为p是q的充分不必要条件，所以A⊆B.①若m>0，则B＝[1－m，1＋m]，则且等号不同时成立，解得m≥9；②若m＝0，则B＝{1}与A⊆B矛盾，故舍去；③若m<0，则B＝[1＋m，1－m]，则且等号不同时成立，解得m≤－9.综上，实数m的取值范围是(－∞，－9]∪[9，＋∞). 方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．考向三含有量词的否定例3、（1）写出下列命题的否定，并判断真假．（1），都有；（2），；（3）至少有一个二次函数没有零点；（4）存在一个角，使得．（2）下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)，；②∃x∈(0,1)，；③∀x∈(0，＋∞)，x>；④∀x∈，x<.其中真命题的序号为________．【解析】（1）(1)是全称命题．：，所以是真命题．(2)是全称命题．：，，如时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以是真命题．(3)是存在性命题．：所有二次函数都有零点，如二次函数.，.因为是真命题，所以是假命题．(4)是存在性命题．：，设任意角终边与单位圆的交点为则显然有，所以是真命题．（2）　②④对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题； 对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；对于③，当0<x<时，>1>x，故③是假命题；对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题变式1、（2022·广东佛山·高三期末）设命题，则p的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题的否定为.故选：B.变式2、（深圳市南山区期末试题）命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（）A.任意一个无理数，都不是有理数B.存在无理数，使得不是有理数C.任意一个无理数，都是有理数D.不存在无理数，使得是有理数【答案】A【解析】【详解】根据特称命题否定是全称命题得命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为“任意一个无理数，都不是有理数”故选：A.方法总结：1、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定．考向四存在性问题与恒成立问题例4　已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a 的取值范围．【解析】因为f(x)＝x＋的定义域为，所以f′(x)＝1－＝<0，所以f(x)在区间上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝1＋4＝5，f(x)max＝f＝＋8＝.因为g(x)＝2x＋a在区间[2，3]上单调递增，所以g(x)min＝g(2)＝4＋a，g(x)max＝g(3)＝8＋a.因为∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以f(x)min≥g(x)min，所以5≥4＋a，解得a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1].变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x2∈[2，3]，∃x1∈，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围．【解析】由例4可知f(x)max＝，g(x)max＝8＋a.因为∀x2∈[2，3]，∃x1∈，使得f(x1)≥g(x2)，所以f(x)max≥g(x)max，所以≥8＋a，解得a≤，故实数a的取值范围是.变式2、若∀x∈(0，＋∞)，，则实数m的取值范围为．【答案】(－¥，12]【解析】由题意可知，x∈(0，＋∞)，所以＝4x＋≥2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，则m≤12，即实数m的取值范围为(－¥，12]．变式3、若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)　【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题， 当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题（或）为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求的最大值（或最小值），即（或）．（2）对于存在量词命题（或）为真的问题实质就是不等式能成立问题，通常转化为求的最小值（或最大值），即（或）．1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若a，b，c的平均数大于1，则，∴，∴，即a，b，c的平均数大于1，反之亦成立，故选：C．2、（2022·山东德州·高三期末）已知向量，，则是为钝角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为，，所以，则，若，则，当时，得，但当时反向，此时 依然成立，而夹角为，所以由不能推出为钝角；反之，若为钝角，则且，即且，能推出；因此，“”是为钝角的必要不充分条件.故选：B3、（2022·山东烟台·高三期末）命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.故选：A.4、（汕头市高三期末试题）已知集合，集合，则以下命题为真命题的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【详解】由题知，集合，集合，所以是真子集，所以，或，或，，只有A选项符合要求，故选：A.5、（2022·浙江绍兴·模拟预测）中，“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中，因为，所以，即若，则，即，若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知所以“”是“”的充要条件故选：C6、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】由p：|1－|≤2，得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.设集合A＝[－2，10]，B＝[1－m，1＋m].因为q是p的充分不必要条件，所以B⊆A，所以且等号不同时成立，解得m≤3，所以0<m≤3，故实数m的取值范围是(0，3].7、(2022·江苏扬州期中)(本小题满分10分)已知集合，记函数的定义域为集合B．(1)当a＝1时，求A∪B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝1时，A＝{x|0≤x≤1}，，则B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤1}． (2)由题意可知，AàB，且A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|－≤x≤}，则≥1，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为(0，1]