2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第9章　§9.4　列联表与独立性检验

§9.4　列联表与独立性检验考试要求　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．知识梳理1．分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．2．列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y的方法称为χ2独立性检验．如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　　)(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　　)(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(　　)(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(　　)教材改编题1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，6 用下列最适合的统计方法是(　　)A．均值B．方差C．独立性检验D．回归分析2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)y1y2合计x1a835x2113445合计b4280A.27,38B．28,38C．27,37D．28,373．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．题型一　列联表与χ2的计算例1　(1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：男女合计喜欢ab73不喜欢c25合计74则a－b－c等于(　　)A．7B．8C．9D．10(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：体育课不及格体育课及格合计文化课及格57221278文化课不及格164359合计73264337在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为(　　)6 A．1.255B．38.214C．0.0037D．2.058听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．跟踪训练1　某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.会外语不会外语合计男ab20女6d合计1850题型二　列联表与独立性检验例2　(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司在甲、乙两城之间长途客车准点的概率；(2)能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表．(2)根据公式χ2＝计算．(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．6 跟踪训练2　为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚．为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A组，将“70后与80后”作为B组，并从A，B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整理数据后获得如下列联表：单位：人年龄段认知情况合计知晓不知晓A组(90后与00后)7525100B组(70后与80后)4555100合计12080200(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人，问应在A组、B组中各抽取多少人？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)能否依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关？附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三　独立性检验的综合应用例3　体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020－2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到如表数据：6 数学成绩(分)[30，50)[50，70)[70，90)[90，110)[110，130)[130，150]人数(人)2512535030015050运动达标的人数(人)104514520010743约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”．(1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数；(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“数学成绩达标”是否与“运动达标”相关．数学成绩达标人数数学成绩不达标人数合计运动达标人数运动不达标人数合计附：χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)．α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．跟踪训练3　某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．x(个)23456y(十万元)2.5344.566 (1)该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析两个店的顾客下单率有无差异．参考公式：＝，＝－；χ2＝，x0.1＝2.706.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6