2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.2　排列与组合

§10.2　排列与组合考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．(2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1性质(1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C常用结论1．排列数、组合数常用公式(1)A＝(n－m＋1)A.(2)A＝nA.(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.(4)kC＝nC.(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．12 (2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　×　)教材改编题1．A＋C等于(　　)A．35B．47C．45D．57答案　B解析　A＋C＝4×3＋＝47.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　)A．18B．24C．30D．36答案　C解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有CC＋CC＝30(种)．3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．答案　36解析　第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.12 题型一　排列问题例1　(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)A．576B．288C．144D．48答案　B解析　根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．答案　110解析　①当千位上排1或3时，符合题意的共有AAA个．②当千位上排2时，符合题意的共有AA个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个符合题意，形如41××的偶数有AA个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)符合题意．思维升华　对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1　(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　)A．18种B．36种C．72种D．108种答案　B解析　先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A种放法；再排剩余的3道程序，共有A种放法．则共有A·A＝36(种)放法．(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．答案　576012 解析　先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法，其余5人有A种排法，故不同的排法共有AAA＝5760(种)．题型二　组合问题例2　(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　)A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法答案　CD解析　如果4人全部为男生，选法有C＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C＝15(种)，女生的选法有C＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C＝28(种)，故C正确；在10人中任选4人，有C＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有C＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确．(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有(　　)A．80种B．180种C．260种D．420种答案　C解析　根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，则有CCA＝80(种)选法，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，则有CCA＝180(种)选法，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．思维升华　组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2　(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为(　　)12 A．12B．24C．34D．60答案　C解析　由题可知，选派4人去的总的选派种数为C＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．答案　252解析　构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C＝252(种)．题型三　排列与组合的综合问题命题点1　相邻、相间问题例3　(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是(　　)A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法答案　BCD解析　对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A种排法，故共有A·A＝576(种)排法，故A错误；对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种排法，故共有A·A＝1440(种)排法，故B正确；对于C，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C×2×1＝70(种)，故C正确；对于D，若甲站在排尾，则有A种排法，若甲不站在排尾，则有AAA种排法，12 故共有A＋AAA＝3720(种)排法，故D正确．命题点2　定序问题例4　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.答案　840解析　7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝A＝840(种)不同的排法．命题点3　分组、分配问题例5　(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)A．60B．90C．120D．150答案　D解析　满足条件的分法可分为两类，第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有CA种，即60种，第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有A种，即90种，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　)A．20种B．36种C．72种D．84种答案　C解析　将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为CCC，其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C··A，12 所以满足条件的不同的安排方案数为CCC－C··A＝90－18＝72.思维升华　求解排列、组合应用问题的常用方法捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3　(1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　)A．若A，B不相邻，共有72种排法B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法C．若A在B右边有60种排法D．若A，B两人站在一起有48种排法答案　ACD解析　对于A，若A，B不相邻，共有AA＝72(种)排法，故A正确；对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有A－2A＋A＝78(种)排法，故B错误；对于C，若A在B右边有＝60(种)排法，故C正确；对于D，若A，B两人站在一起有AA＝48(种)排法，故D正确．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是(　　)A．72B．120C．144D．168答案　B解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”．对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案　1680解析　先选出3人，有C种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C种选法，最后剩下的3人为一组，有C种选法．12 由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有·A＝1680(种)．课时精练1．若A＝6C，则m等于(　　)A．9B．8C．7D．6答案　C解析　因为A＝6C，所以m(m－1)(m－2)＝6×，即1＝，解得m＝7.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为(　　)A．10B．20C．30D．40答案　B解析　将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有CCA＝20(种)．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)A．1440种B．960种C．720种D．480种答案　B解析　先将5名志愿者排好，有A种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同的排法4AA＝960(种)．4．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有(　　)A．98个B．105个C．112个D．210个答案　D解析　当个位数字与百位数字为0,8时，有AA个；当个位数字与百位数字为1,9时，有AAA个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有AA＋AAA＝210(个)．12 5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)A．15B．20C．30D．42答案　C解析　四个篮球分成三组有C种分法，三组篮球进行全排列有A种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30(种)分法．6．(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为(　　)A．144B．150C．168D．192答案　D解析　由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，若没有限制则共有C·A＝240(种)安排方法；当两个女同学在一起时有A＝24(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起时有A＝24(种)方法，所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　)A．208B．204C．200D．196答案　C解析　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.8．(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法正确的是(　　)A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种12 D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法答案　BCD解析　对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则CCA＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有CC＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C(CC＋C)＝6×14＝84(种)，故D正确．9．(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．答案　36解析　依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C种方法﹐再将其进行全排列共有A种方法﹐由分步乘法计数原理得，共有CA＝36(种)安排方法．10．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．答案　216解析　根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有·A种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A种分法，所以共有·A·A＝216(种)不同的分配方案．11．(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，12 三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有(　　)A．144种B．216种C．288种D．432种答案　C解析　第一步：先将3名母亲全排列，共有A种排法；第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A种排法；第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有CC种排法．所以不同的排法共有AAACC＝288(种)．12．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案　96解析　先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C＝4(种)分法，再对应到4个人，有A＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．13．(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有(　　)A．36种B．44种C．48种D．54种答案　B解析　由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA12 种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．答案　10解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，所以A＝AA，解得n＝10.12