2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.3　等比数列

§6.3　等比数列考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)(5)若或则等比数列{an}递增．若或则等比数列{an}递减．常用结论1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．13 (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　×　)(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　√　)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)教材改编题1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)A．31B．32C．63D．64答案　C解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．答案　1,3,9或9,3,1解析　设这三个数为，a，aq，则解得或∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一　等比数列基本量的运算例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)13 A．14B．12C．6D．3答案　D解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　)A.B.C.D．4答案　A解析　设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝，所以＝＝q6＝.思维升华　等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1　(1)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)A．2B．3C．4D．5答案　A解析　∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由题意，得得q2＝4，又q>0，∴q＝2.13 (2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(　　)A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍C．M>3D．N<7答案　D解析　设该等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，故q12＝＝2.插入的第8个数为a9＝a1q8＝，故A正确；插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，所以＝＝q4＝，故B正确；M＝＝＝－1－，要证M>3，即证－1－>3，即证>4，即证>，即证12>2，而12>6>2成立，故C正确；N＝M＋3.因为12>(1.4)6>(1.9)3>2，所以>，所以>5，所以－1－>4，即M>4，13 所以N＝M＋3>7，故D错误．题型二　等比数列的判定与证明例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解　选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，又因为＝2(n≥2)，且a2＝2a1，所以{an}为等比数列．思维升华　等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．跟踪训练2　在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.13 (1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明　因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即＝.因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以＝2，所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)解　由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以Sn＝－n＝3·2n－n－3.题型三　等比数列的性质例3　(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　)A.B．3C．±D．±3答案　B解析　∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝a＝9，又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，∴＝＝3.(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为______．答案　24解析　由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋12≥24，当且仅当S4＝6时等号成立．综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n13 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　)A．40B．36C．54D．81答案　C解析　在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·2＝24×2＝54.(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　∵an＝192，∴q＝＝＝＝－2，又Sn＝＝S奇＋S偶，即＝255＋(－126)，解得a1＝3.(3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)A．2B．4C．8D．16答案　A解析　∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，∴＋＋…＋＝＋＋＋＝(a1＋a8)＋(a2＋a7)＋(a3＋a6)＋(a4＋a5)＝(a1＋a2＋…＋a8)＝2.13 课时精练1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于(　　)A．1B．－1C．3D．－3答案　A解析　设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，∴解得∴a3＝a1q2＝×32＝1.2．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)A．2B．3C．4D．5答案　C解析　令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3．若等比数列{an}中的a5，a2019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023等于(　　)A.B．1011C.D．1012答案　C解析　由题意得a5a2019＝3，根据等比数列性质知，a1a2023＝a2a2022＝…＝a1011a1013＝a1012a1012＝3，于是a1012＝，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023＝log3(a1a2a3…a2023)＝log3＝.4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”13 构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　)A．16B．12C．10D．8答案　B解析　由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，∴S7＝＝1016,127a1＝1016，解得a1＝8，∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.5．(多选)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　)A．{an＋Sn}是等差数列B．{an·Sn}是等比数列C．{a}是等差数列D．是等比数列答案　ACD解析　由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；a＝a，∴{a}是常数列，为等差数列，因此C正确；＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确；anSn＝na，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确．6．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为(　　)A.B．1C．2D．3答案　C解析　由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝13 ＝∈，故选C.7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.答案　3　202解析　由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－，∵an>0，∴q＝－不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202.8．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为__________.(写出一个即可)答案　an＝3n－1(答案不唯一)解析　设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比数列，∴b＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)．9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.10．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解　(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，所以an＝3n－1，Sn＝＝.(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，13 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3.故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．11．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是(　　)A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为0答案　AD解析　对于A，k不可能为0，正确；对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　)A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项答案　A解析　根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，则q3＝＝－，则q＝－，则Sn＝＝＝，若n为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>；若n为偶数，则Sn＝，此时有S2<S4<…<Sn<，故S1最大，S2最小．13 13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.答案　－9解析　{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，相邻两项相除＝－，＝－，＝－，＝－，很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，q＝－或q＝－(|q|>1，∴此种情况应舍)，∴q＝－，∴6q＝－9.14．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________.答案　　解析　由题意得a1＝1－a1，故a1＝.当n≥2时，由得an＝－an＋an－1，则＝，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝.15．将正整数按照如图所示方式排列：试问2024是表中第________行的第________个数．答案　11　100113 解析　由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2047(个)数，故2024在表中第11行，又表中第11行有210＝1024(个)数，故2024是表中第11行的第1001个数．16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.(1)求数列{an}的公比q；(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．解　(1)由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2.因为a1≠0，所以q2＝4，由题意得q>0，所以q＝2.(2)由(1)得Sn＝＝a1(2n－1)，an＝a1·2n－1，所以＝.所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，所以t≤＋n2－6n＋.令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.当n＝1时，f(1)＝4－＝；当n＝2时，f(2)＝1－＝；当n≥3时，f(n)单调递增，所以f(n)≥f(3)＝－.所以t≤－，故实数t的最大值为－.13