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数学高考总复习全套教案第29讲等比数列doc高中数学

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普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案(讲座29)—等比数列一.课标要求:1.通过实例,理解等比数列的概念;2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式;3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二.命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位,是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等根底知识和根本性质的灵活应用,对根本的运算要求比较高,解答题大多以数列知识为工具。预测07年高考对本讲的考察为:(1)题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目;(2)关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点;(3)解决问题时注意数学思想的应用,象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜测、等价转化、分类讨论等,它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三.要点精讲1.等比数列定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即::数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列,它们15/15\n的公比依次是2,5,。(注意:“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)2.等比数列通项公式为:。说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:假设为等比数列,那么。3.等比中项如果在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。4.等比数列前n项和公式一般地,设等比数列的前n项和是,当时,或;当q=1时,(错位相减法)。说明:(1)和各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆;(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。四.典例解析题型1:等比数列的概念例1.“公差为0的等差数列是等比数列”;“公比为的等比数列一定是递减数列”;“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”;“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”,以上四个命题中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列;命题2中可知an+1=an×,an+1<an未必成立,当首项a1<0时,an<0,那么an>an,即an+1>an,此时该数列为递增数列;15/15\n命题3中,假设a=b=0,c∈R,此时有,但数列a,b,c不是等比数列,所以应是必要而不充分条件,假设将条件改为b=,那么成为不必要也不充分条件。点评:该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论,为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2.命题1:假设数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),那么数列{an}是等比数列;命题2:假设数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),那么数列{an}是等差数列;命题3:假设数列{an}的前n项和Sn=na-n,那么数列{an}既是等差数列,又是等比数列;上述三个命题中,真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由命题1得,a1=a+b,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1。假设{an}是等比数列,那么=a,即=a,所以只有当b=-1且a≠0时,此数列才是等比数列。由命题2得,a1=a+b+c,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2na+b-a,假设{an}是等差数列,那么a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时,数列{an}才是等差数列。由命题3得,a1=a-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列,即公差为0的等差数列,因此只有当a-1≠0;即a≠1时数列{an}才又是等比数列。15/15\n点评:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,上述三个命题均涉及到Sn与an的关系,它们是an=,正确判断数列{an}是等差数列或等比数列,都必须用上述关系式,尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题,选择A。题型2:等比数列的判定例3.(2000全国理,20)(Ⅰ)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;(Ⅱ)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列。解析:(Ⅰ)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有:(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),将cn=2n+3n代入上式,得:[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],即[(2-p)2n+(3-p)3n]2=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3。(Ⅱ)证明:设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn。为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1·c3。事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,c1·c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2),由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不为零,因此c22≠c1·c3,故{cn}不是等比数列。点评:此题主要考察等比数列的概念和根本性质,推理和运算能力。15/15\n例4.(2022京春,21)如图3—1,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的图3—1内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB,BC相切,…,圆On+1与圆On外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去.记圆On的面积为an(n∈N*),证明{an}是等比数列;证明:记rn为圆On的半径,那么r1=tan30°=。=sin30°=,所以rn=rn-1(n≥2),于是a1=πr12=,故{an}成等比数列。点评:该题考察实际问题的判定,需要对实际问题情景进展分析,最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3:等比数列的通项公式及应用例5.一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列。解析:设所求的等比数列为a,aq,aq2;那么2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);解得a=2,q=3或a=,q=-5;故所求的等比数列为2,6,18或,-,。15/15\n点评:第一种解法利用等比数列的根本量,先求公比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁。例6.(2022年陕西卷)已知正项数列,其前项和满足且成等比数列,求数列的通项解析:∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3。又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2)。当a1=3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3。点评:该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系,最终求得结果。题型4:等比数列的求和公式及应用例7.(1)(2022年辽宁卷)在等比数列中,,前项和为,假设数列也是等比数列,那么等于()A.B.C.D.(2)(2022年北京卷)设,那么等于()A.B.C.D.(3)(1996全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,假设S3+S6=2S9,求数列的公比q;解析:(1)因数列为等比,那么,因数列也是等比数列,15/15\n那么即,所以,应选择答案C。(2)D;(3)解:假设q=1,那么有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1。由S3+S6=2S9,得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3≠1,故q3=-,所以q=-。点评:对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式,对应好首项和公比求出最终结果即可。例8.(1)(2022江苏,18)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10;(2)(2022全国春季北京、安徽,20)在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3……,an,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3……an,Bn=b1+b2+b3+……+bn.(Ⅰ)求数列{An}和{Bn}的通项;(Ⅱ)当n≥7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论。15/15\n(3)(2022天津理,22)已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….(Ⅰ)求a3;(Ⅱ)证明an=an-2+2,n=3,4,5,…;(Ⅲ)求{an}的通项公式及其前n项和Sn。解析:(1)∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,b2b4=b32.已知a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32.得b3=2b32.∵b3≠0∴b3=,a3=.由a1=1,a3=知{an}的公差为d=,∴S10=10a1+.由b1=1,b3=知{bn}的公比为q=或q=.当q=时,,当q=时,。(2)(Ⅰ)设公比为q,公差为d,等比数列1,a1,a2,……,an,2,等差数列1,b1,b2,……,bn,2。那么A1=a1=1·qA2=1·q·1·q2A3=1·q·1·q2·1·q3又∵an+2=1·qn+1=2得qn+1=2,15/15\nAn=q·q2…qn=q(n=1,2,3…)又∵bn+2=1+(n+1)d=2∴(n+1)d=1B1=b1=1+dB2=b2+b1=1+d+1+2dBn=1+d+…+1+nd=n(Ⅱ)An>Bn,当n≥7时证明:当n=7时,23.5=8·=AnBn=×7,∴An>Bn设当n=k时,An>Bn,那么当n=k+1时,又∵Ak+1=·且Ak>Bk∴Ak+1>·k∴Ak+1-Bk+1>又∵k=8,9,10…∴Ak+1-Bk+1>0,综上所述,An>Bn成立.(3)(Ⅰ)解:由题设得a3a4=10,且a3、a4均为非负整数,所以a3的可能的值为1,2,5,10.假设a3=1,那么a4=10,a5=,与题设矛盾.假设a3=5,那么a4=2,a5=,与题设矛盾.假设a3=10,那么a4=1,a5=60,a6=,与题设矛盾.15/15\n所以a3=2.(Ⅱ)用数学归纳法证明:①当n=3,a3=a1+2,等式成立;②假设当n=k(k≥3)时等式成立,即ak=ak-2+2,由题设ak+1ak=(ak-1+2)·(ak-2+2),因为ak=ak-2+2≠0,所以ak+1=ak-1+2,也就是说,当n=k+1时,等式ak+1=ak-1+2成立;根据①和②,对于所有n≥3,有an+1=an-1+2。(Ⅲ)解:由a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及a2k=a2(k-1)+2,a2=3得a2k-1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,…,即an=n+(-1)n,n=1,2,3,…。所以Sn=点评:本小题主要考察数列与等差数列前n项和等根底知识,以及准确表述,分析和解决问题的能力。题型5:等比数列的性质例9.(1)(2022江苏3)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,那么a3+a4+a5=()(A)33(B)72(C)84(D)189(2)(2000上海,12)在等差数列{an}中,假设a10=0,那么有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,假设b9=1,那么有等式成立。15/15\n解析:(1)答案:C;解:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4应选C。(2)答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*);解:在等差数列{an}中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,所以a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n,假设a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+a17-n,相应地等比数列{bn}中,那么可得:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)。点评:此题考察了等比数列的相关概念及其有关计算能力。例10.(1)设首项为正数的等比数列,它的前n项和为80,前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q。(2)在和之间插入n个正数,使这个数依次成等比数列,求所插入的n个数之积。(3)设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=03,lg3=0.4)解析:(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,依题意设:a1>0,Sn=80,S2n=6560。∵S2n≠2Sn,∴q≠1;15/15\n从而=80,且=6560。两式相除得1+qn=82,即qn=81。∴a1=q-1>0即q>1,从而等比数列{an}为递增数列,故前n项中数值最大的项为第n项。∴a1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54。∴qn-1=81-54=27∴q==3。∴a1=q-1=2故此数列的首为2,公比为3。(2)解法1:设插入的n个数为,且公比为q,那么。解法2:设插入的n个数为,。(3)解法一设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有:,15/15\n化简得,设数列{lgan}前n项和为Sn,那么Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)=nlga1+n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)-n(n-1)lg3=(-)·n2+(2lg2+lg3)·n可见,当n=时,Sn最大,而=5,故{lgan}的前5项和最大,解法二接前,,于是lgan=lg[108()n-1]=lg108+(n-1)lg,∴数列{lgan}是以lg108为首项,以lg为公差的等差数列,令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,∴n≤=5.5,由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大。点评:第一种解法利用等比数列的根本量,先求公比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁;第二种解法利用等比数列的性质,与“首末项等距”的两项积相等,这在解题中常用到。题型6:等差、等比综合问题15/15\n例11.(2022年广东卷)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为。(Ⅰ)求数列的首项和公比;(Ⅱ)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列.求数列的前10项之和。解析:(Ⅰ)依题意可知:,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前10项之和为155。点评:对于出现等差、等比数列的综合问题,一定要区分开各自的公式,不要混淆。五.思维总结1.等比数列的知识要点(可类比等差数列学习)(1)掌握等比数列定义=q(常数)(nN),同样是证明一个数列是等比数列的依据,也可由an·an+2=来判断;(2)等比数列的通项公式为an=a1·qn-1;(3)对于G是a、b的等差中项,那么G2=ab,G=±;15/15\n(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q≠1两类,当q=1时,Sn=na1,当q≠1时,Sn=,Sn=。2.等比数列的判定方法①定义法:对于数列,假设,那么数列是等比数列;②等比中项:对于数列,假设,那么数列是等比数列。3.等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,那么有;②对于等比数列,假设,那么,也就是:,如以下图:。③假设数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。如以以下图所示:15/15

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发布时间:2022-08-25 23:29:26 页数:15
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文章作者:U-336598

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