数学高考总复习全套教案第04讲基本初等函数doc高中数学
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普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案(讲座4)—根本初等函数一.课标要求1.指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。(3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;(4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;(2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;3.知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1)。20/20\n二.命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考察,大多以根本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法那么,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进展变形处理。预测2022年对本节的考察是:1.题型有两个选择题和一个解答题;2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,那么难度会加大。三.要点精讲1.指数与对数运算(1)根式的概念:①定义:假设一个数的次方等于,那么这个数称的次方根。即假设,那么称的次方根,1)当为奇数时,次方根记作;2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作。②性质:1);2)当为奇数时,;20/20\n3)当为偶数时,。(2).幂的有关概念①规定:1)N*;2);n个3)Q,4)、N*且。②性质:1)、Q);2)、Q);3)Q)。(注)上述性质对r、R均适用。(3).对数的概念①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数。1)以10为底的对数称常用对数,记作;2)以无理数为底的对数称自然对数,,记作;②根本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数);2);3);4)对数恒等式:。③运算性质:如果那么20/20\n1);2);3)R)。④换底公式:1);2)。2.指数函数与对数函数(1)指数函数:①定义:函数称指数函数,1)函数的定义域为R;2)函数的值域为;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数。②函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴);3)对于相同的,函数的图象关于轴对称。①,②,③①,②,③,③函数值的变化特征:(2)对数函数:①定义:函数称对数函数,1)函数的定义域为;2)函数的值域为R;20/20\n3)当时函数为减函数,当时函数为增函数;4)对数函数与指数函数互为反函数。②函数图像:1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴);4)对于相同的,函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征:①,②,③.①,②,③.四.典例解析题型1:指数运算例1.(1)计算:;(2)化简:。解:(1)原式=;20/20\n(2)原式=。点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保存;一般的进展指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。例2.已知,求的值。解:∵,∴,∴,∴,∴,∴,又∵,∴。点评:此题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。题型2:对数运算20/20\n例3.计算(1);(2);(3)。解:(1)原式;(2)原式;(3)分子=;分母=;原式=。点评:这是一组很根本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的根本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法那么,以及学习数式变换的各种技巧。例4.设、、为正数,且满足(1)求证:;(2)假设,,求、、的值。20/20\n证明:(1)左边;解:(2)由得,∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得,代入得,∵,∴………………………………④由③、④解得,,从而。点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法那么为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5.设关于的方程R),(1)假设方程有实数解,求实数b的取值范围;(2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。解:(1)原方程为,,时方程有实数解;(2)①当时,,∴方程有唯一解;②当时,.20/20\n的解为;令的解为;综合①、②,得1)当时原方程有两解:;2)当时,原方程有唯一解;3)当时,原方程无解。点评:具有一些综合性的指数、对数问题,问题的解答涉及指数、对数函数,二次函数、参数讨论、方程讨论等各种根本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通过解题学习不断积累经历。例6.(2022辽宁文13)方程的解为。解:考察对数运算。原方程变形为,即,得。且有。从而结果为。点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。题型4:指数函数的概念与性质例7.设()20/20\nA.0 B.1C.2D.3解:C;,。点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。例8.已知试求函数f(x)的单调区间。解:令,那么x=,t∈R。所以即,(x∈R)。因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)在[0,+∞)上的单调性。任取,,且使,那么(1)当a>1时,由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。(2)当0<a<1时,由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。综合所述,[0,+∞]是f(x)的单调增区间,(-∞,0)是f(x)的单调区间。点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。题型5:指数函数的图像与应用例9.假设函数的图象与x轴有公共点,那么m的取值范围是()A.m≤-1B.-1≤m<0C.m≥1D.0<m≤120/20\n解:,画图象可知-1≤m<0。答案为B。点评:此题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。例10.设函数的取值范围。解:由于是增函数,等价于 ①1)当时,,①式恒成立;2)当时,,①式化为,即;3)当时,,①式无解;综上的取值范围是。点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。题型6:对数函数的概念与性质例11.(1)函数的定义域是()A.B.C.D.20/20\n(2)(2022湖北)设f(x)=,那么的定义域为()A.B.(-4,-1)(1,4)C.(-2,-1)(1,2)D.(-4,-2)(2,4)解:(1)D(2)B。点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法那么的对应关系。例12.对于,(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事;(2)结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别;(3)结合(1)(2)两问,说明实数a的取何值时的值域为(4)实数a的取何值时在内是增函数。解:记,那么;(1)不一样;定义域为R恒成立。得:,解得实数a的取值范围为。20/20\n值域为R:值域为R至少取遍所有的正实数,那么,解得实数a的取值范围为。(2)实数a的取何值时在上有意义:命题等价于对于任意恒成立,那么或,解得实数a得取值范围为。实数a的取何值时函数的定义域为:由已知得二次不等式的解集为可得,那么a=2。故a的取值范围为{2}。区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值)(3)易知得值域是,又得值域是,得,故a得取值范围为{-1,1}。(4)命题等价于在上为减函数,且对任意的恒成立,那么,解得a得取值范围为。点评:该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题,“恒为正”与“取遍所有大于零的数”20/20\n不等价,同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况,解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进展处理。题型7:对数函数的图像及应用例13.当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是()解:当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>1时,y=(1-a)x为减函数。答案:B点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种根本函数的图像,二是把握图像的性质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。例14.设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。(1)求点D的坐标;(2)当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围。解:(1)易知D为线段AB的中点,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)),所以由中点公式得D(a+2,log2)。(2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=…=log2,其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。由S△ABC=log2>1,得0<a<2-2。20/20\n点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理复杂问题。题型8:指数函数、对数函数综合问题例15.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上,且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;(2)假设对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),假设a取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由。解:(1)由题意知:an=n+,∴bn=2000()。(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减,∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()-1>0,解得a<-5(1+)或a>5(-1)。∴5(-1)<a<10。(3)∵5(-1)<a<10,∴a=7∴bn=2000()。数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数n≥2,Bn=bnBn-1。于是当bn≥1时,Bn<Bn-1,当bn<1时,Bn≤Bn-1,因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1,20/20\n由bn=2000()≥1得:n≤20。∴n=20。点评:此题题设从函数图像入手,表达数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。例16.已知函数为常数)(1)求函数f(x)的定义域;(2)假设a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。(3)假设函数y=f(x)是增函数,求a的取值范围。解:(1)由∵a>0,x≥0∴f(x)的定义域是。(2)假设a=2,那么设,那么故f(x)为增函数。(3)设①20/20\n∵f(x)是增函数,∴f(x1)>f(x2)即②联立①、②知a>1,∴a∈(1,+∞)。点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可。题型9:课标创新题例17.对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的,均有,那么称f(x)与g(x)在上是接近的,否那么称f(x)与g(x)在上是非接近的,现有两个函数与,给定区间。(1)假设与在给定区间上都有意义,求a的取值范围;(2)讨论与在给定区间上是否是接近的。解:(1)两个函数与在给定区间有意义,因为函数给定区间上单调递增,函数在给定区间上恒为正数,故有意义当且仅当;20/20\n(2)构造函数,对于函数来讲,显然其在上单调递减,在上单调递增。且在其定义域内一定是减函数。由于,得所以原函数在区间内单调递减,只需保证当时,与在区间上是接近的;当时,与在区间上是非接近的。点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有对数式的函数的是否“接近”进展研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。例18.设,,且,求的最小值。解:令,∵,,∴。20/20\n由得,∴,∴,∵,∴,即,∴,∴,∵,∴当时,。点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。五.思维总结1.(其中)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进展它们之间的相互转化,选择最好的形式进展运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底;2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进展数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经历;3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法那么及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识;20/20\n4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识构造表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要到达滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析;5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最根本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类;6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力。20/20
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