2024年高考数学一轮复习讲练测：数列 第03讲 等比数列及其前n项和（练习）（解析版）

第03讲等比数列及其前n项和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（    ）A．400B．500C．600D．800【答案】C【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音为，所以，故，因为，所以.故选：C2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.所以，解得.，，解得.故选：D3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ）A．7B．8C．9D．10【答案】C18 【解析】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值为9；故选：C.4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（    ）A．3B．6C．9D．18【答案】B【解析】因为，，所以，解得，则．故选：B5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（    ）A．40B．81C．121D．156【答案】C【解析】设公比为，由可得，，因为，所以，因为，解得，所以，所以.故选：C.6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，18 所以为常数，又，所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C．7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（    ）A．4B．8C．32D．64【答案】D【解析】由可得，又，故，则，解得，即.故选：D8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（    ）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，所以，得，解得，因为，所以，则，即，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：B.9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ）18 A．B．C．D．【答案】BCD【解析】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，，故A错误；，故B正确；，，则，故C正确；，故D正确．故选：BCD．10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列【答案】BD【解析】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,显然当才相等，故A错误，而，作差可得成立，故B正确；若数列为等比数列，且，，设其公比为q，则，作商可得或所以或，故C错误；18 由题意得各项均不为0，而实数范围内，，即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由题意可得：，即，且，所以数列是以首项，公比的等比数列，则，可得，当时，，且满足上式，故，可得，即数列是以首项，公比的等比数列，可得，综上可得：，，，.故B、C正确，A、D错误.故选：BC.12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（）A．B．当时，最小C．当时，最小D．存在，使得【答案】AC18 【解析】对于A，∵，，∴，又，，∴，故A正确；对于B，C，等比数列满足，公比，，，，，为递增数列，由等比数列的性质，，又，，，，∵，，，∴，∵，，，∴，，，即，为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确；对于D，当时，，为递增数列，，故D错误.故选：AC13．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则_______．【答案】4【解析】由题意得，，解得，，故.故答案为：414．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.【答案】7【解析】由的公比为，所以，令，由于，所以成立的的最小值为7，18 故答案为：715．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件：，且，恒有，则______．【答案】【解析】，，故答案为：．16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则_________.【答案】【解析】不妨设点、，设点，则数列满足，，，所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，当时，，18 也满足，故对任意的，.所以，.故答案为：.17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．(1)求；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）若选①，因为，当时，，两式相减得，当时，，即，又，所以，故也满足，所以是首项为，公比为的等比数列，故；若选②，因为，所以，故.（2）由（1）知，则，①，②两式相减得，故.18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.18 (1)求和.(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以，即，得，解得或（舍），所以，所以，.（2）由（1）得，，所以.19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列和满足：，，（为常数，且）．(1)证明：数列是等比数列；(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．【解析】（1）因为，即，所以，而，所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以．因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，即，解得．所以．经检验，当时，，当时，，所以先增后减，在和时取得最大值，符合题意．此时．18 20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．【解析】（1）由题意，取，可得公比，则，取，可得公差，则；取，可得公差，则；取，可得公差，则；取，可得公差，则.（2）由{}单调递增，若时，，则，所以，两式相减，则，所以，而，故；若时，，则，所以，两式相减，则，18 所以，而，故.综上，.21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.【解析】（1）因为数列满足①，当时，，解得；当时，，②②-①得，即因，所以，从而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.因为等差数列满足.所以.设公差为，则，解得.所以.所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；（2）若选①，则有.所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以；若选②，则有，因为所以当时，对应的，由二项展开式可知能被3整除，18 此时为整数，满足题意；当时，对应的，由二项展开式可知所以除以3的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.22．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.(1)求证为等比数列；(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.【解析】（1）因为的等差中项为，所以，因为时，，则，所以，由得，又，两式相减得，即，所以有，所以，所以是等比数列，其首项为，公比为2.（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以.1．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则　　18 A．14B．12C．6D．3【答案】【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．前3项和为，，，，则，故选：．2．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则　　A．7B．8C．9D．10【答案】【解析】为等比数列的前项和，，，由等比数列的性质，可知，，成等比数列，，2，成等比数列，，解得．故选：．3．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；，则，，若是递增数列，，18 则，，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：．4．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则　　A．12B．24C．30D．32【答案】【解析】是等比数列，且，则，即，，故选：．5．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则　　A．B．C．D．【答案】【解析】设等比数列的公比为，，，，，，，，，，故选：．6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则　　A．16B．8C．4D．2【答案】【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有18 ，，．故选：．7．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则　　．【答案】．【解析】等比数列，，解得，而，可得，即，．故答案为：．8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则　　．【答案】189．【解析】等比数列的首项为3，公比为2，．故答案为：189．9．（2023•甲卷（理））记为等比数列的前项和．若，则的公比为　　．【答案】．【解析】等比数列中，，则，所以，解得．故答案为：．10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则　　．【答案】．【解析】在等比数列中，由，得，18 即，，则，故答案为：11．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则　　．【答案】．【解析】等比数列的前项和，，，，，整理可得，，解可得，，则．故答案为：12．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在18 ，此时，且满足，性质①成立，对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时与前提矛盾，如有两项与同时取得绝对值最小值，那么必有，此时，与前提条件矛盾，所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由②知，存在，且，因为是递增数列，，使得，即，所以，此时，，成等比数列，数学归纳法：（1）已证时，满足是等比数列，公比，（2）假设时，也满足是等比数列，公比，那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可，反证法：假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，那么，由等比数列得，由性质②得，同时，所以，18 所以，分别是等比数列中两项，即，，原式变为，所以，又因为，，，不存在这组解，所以矛盾，所以知，为等比数列，由数学归纳法知，是等比数列得证，同理，数列恒负，也是等比数列．18