2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）（解析版）

重难点突破02向量中的隐圆问题目录技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆25 心，为半径的圆．技巧三．定幂方和型若为定点，，则的轨迹为圆．证明：．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解题型一：数量积隐圆例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，因为，所以设，则，，所以，所以，即（为任意角），25 所以（其中），所以的最大值为，最小值为，所以①③错误，因为，所以（其中）因为，所以，所以，所以的最小值为，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A．B．25 C．D．【答案】D【解析】由题知，以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，  则，，由题意设，则，，，，，可得.故选：D例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，以直角顶点为原点，射线分别为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，25   令角的始边为射线，终边经过点，由，得，而，于是，因此，其中锐角由确定，显然，则，所以的取值范围是.故选：D变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A．B．C．D．【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则.又为圆O上的点P到D的距离，则，∴的最小值为.故选：A.变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若25 ，，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.【答案】/【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，设的中点为S，连接，则，所以，又为直角三角形，所以，故①，设，则由①可得，25 整理得：，从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以，因为，所以；解法2：如图，因为,所以，故四边形为矩形，由矩形性质，，所以，从而，故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内，所以.故答案为：.题型二：平方和隐圆例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】依题意，可为与x轴、y轴同向的单位向量，设化简得：运用辅助角公式得：，25 即得：，故；故答案为：例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.【答案】【解析】因为且，所以；又因为，所以；由，所以；根据可知：，左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，所以，所以.故答案为：.例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．25 【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设，则，所以，所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切，所以，所以.故选：B变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，∵直线与点，直线上存在点满足，∴，整理,得①，∵直线上存在点M,满足，∴方程①有解，∴，解得：，故选D.变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（     ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，25 ，，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，，即．圆心到直线的距离，或．故选：C．变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.【答案】【解析】解析：设，因为，所以，化简得，则圆C：与圆：有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为代入可得，故答案为：.25 题型三：定幂方和隐圆例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得：直线，因此直线经过定点；设点坐标为，；，化简得：，因此点为与直线的交点．所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径解得：故答案为例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示，作，，，取的中点，连接，以点为圆心，为半径作圆，25 ，，，所以，为等边三角形，为的中点，，所以，的底边上的高为，，，所以，，所以，，由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，因此，的最大值为.故选：B.例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由推出，所以，如图，25 终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即，故选：A变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（    ）A．B．2C．D．1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得，设，则，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，利用三角函数求的最值．由得：，即，设，则，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，则，所以当时，|DC|取最大值，25 故选：C．变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若，，则的最大值为_______．【答案】【解析】因为，则，即，因为，即，作，，，，则，，则，固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：，设，则，因为，，故，当时，等号成立，即的最大值为.故答案为：.变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．25 【答案】【解析】由得，，故，或或，设，，以O为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，则，令，则，，由，或或，得B点在以为圆心，为半径的圆上，又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线，上，则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，不妨以为例，则的最小值为故答案为：变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.【答案】25 【解析】因为，即，可得，设，，则，则，设，则，因为，，则或，因为，则或，令，则或，根据对称性，可只考虑，由，记点、、，则，，所以，，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，所以，.故答案为：.变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.【答案】/【解析】设，则由得，可得，由得，25 因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故答案为：题型四：与向量模相关构成隐圆例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．【答案】【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，，，，的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，点在单位圆内，点在单位圆外，则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，所求最小值为.故答案为：.例11．（2023·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．【答案】【解析】作图，，则，，25 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值则为，因为，，当，，三点共线时，，所以.故答案为：.例12．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.【答案】/【解析】如图，设，，，，，则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，，所以点在射线上，所以，作点关于射线对称的点，则，且，所以（当且仅当点三点共线时取等号）所以的最小值为，故答案为：.变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.【答案】【解析】如图，为直线上的任意一点，过圆心作，连接，由，25 可得，由，当共线时取等号，又是的中点，所以，所以.则此时，的最小值为.故答案为：变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.【答案】/【解析】设，因为，所以，因为，所以，，整理得，可得点在以为圆心，半径为的圆上，，当时，可得，即25 圆心在在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小，且长度最小值为，此时的最小值为.故答案为：.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.【答案】/【解析】法一　由，得.如图所示，分别作,作，由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,作，则,所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,故||的最大值是,故答案为：法二　由，得，建立如图所示的平面直角坐标系，则，25 设，由，得，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.所以故答案为：变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______【答案】/【解析】由、是单位向量，且，则可设，，，所以，向量满足，，即，它表示圆心为，半径为的圆，又表示圆上的点到坐标原点的距离，因为，所以．故答案为：．变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_________．【答案】【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设，设，由得：，即，即，25 则的终点在以为圆心，半径为的圆上，故的最大值为，故答案为：变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．【答案】【解析】如图，设为AB中点，令，则  ①，因为，故有，  ②，由①②得，从而，因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.，，当且仅当时，即时等号成立.25 故答案为：变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.【答案】5【解析】令，，，，令，设，则，，令，若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，显然，函数在取得最值，，故答案为：5.变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，则的最大值为________．【答案】【解析】设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，25 ∵则A(4,0)，B(2,2)，设C(x,y)，∵，∴，即，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，∵圆心到A的距离为，∴的最大值为.故答案为：.变式20．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，则的最大值是________【答案】【解析】依题意，为单位向量，设，则，当且仅当，即时等号成立.故答案为：25 25