2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第08讲 函数模型及其应用（课件）

第08讲函数模型及其应用导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．2020年II卷第3题，5分2020年I卷第6题，5分高考对函数模型的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同y轴x轴 2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 【例1】（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过．已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为．请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（）A．甲、乙两车均超速B．甲车超速但乙车未超速C．乙车超速但甲车未超速D．甲、乙两车均未超速【答案】C【解析】对于甲车，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；对于甲车，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故选：C．题型一：二次函数模型，分段函数模型 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元．其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（）A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元【答案】C【解析】该企业每年利润为当时，在时，取得最大值；当时，（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；由，可得该企业每年利润的最大值为．故选：C【解题方法总结】1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．题型一：二次函数模型，分段函数模型 【例2】（2023·全国·高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，则年后的设备维护费用为，所以年的平均费用为（万元），当且仅当时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为．故选：B．题型二：对勾函数模型 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元．【答案】【解析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解．由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，即，所以月利润为，当且仅当时，即时取等号，即月最低利润为万元．故答案为：．【解题方法总结】1、解决此类问题一定要注意函数定义域；2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．题型二：对勾函数模型 【例3】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3．从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，．经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率．已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（）（参考数据：，A．m3B．m3C．m3D．m3【答案】B【解析】据题意，，两式相除可得，又因为，故选：B．题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 【对点训练3】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（）小时．（参考数据：）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，，则，，所以，则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时．故选：D．题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设初始状态为，则，，又，，即，，，，，．故选：D．【解题方法总结】1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题．题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 【例4】（2023·全国·高三专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要．则的值为_________．【答案】【解析】由题意，把，，，代入中，得，所以，所以，解得．故答案为：．题型四：已知函数模型的实际问题 【对点训练5】（2023·四川宜宾·统考模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是______年前．【答案】【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，令，可得，所以，解得年．故答案为：年．【解题方法总结】求解已知函数模型解决实际问题的关键（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．题型四：已知函数模型的实际问题 【例5】（2023·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）（参考数据：）A．2次B．3次C．4次D．5次【答案】D【解析】设经过次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，则，即，不等式两边取常用对数得：，解得：，故至少需要过滤5次．故选：D题型五：构造函数模型的实际问题 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得因为，所以，即，解得，所以【解题方法总结】构建函数模型解决实际问题的步骤（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．题型五：构造函数模型的实际问题 04PARTONE真题感悟 1．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln2≈0．69）（）A．1．2天B．1．8天C．2．5天D．3．5天2．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名3．（2018·浙江·高考真题）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．B8B10 感谢观看THANKYOU