初高衔接之计算补充练习（原卷版）

初高衔接之计算补充练习由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。题型目录【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练【题型2】一元二次方程根于系数的关系【题型3】因式分解：含参十字相乘【题型4】齐次式计算：比值消元【题型5】解二元二次方程组【题型6】试根法解一元三次方程【题型7】立方和与立方差公式【题型8】二重根式的化简【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移【题型10】初识一元二次方程根的分布【课后作业】核心题型突破【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。1/11 知识扩充：三项完全平方公2222(x++=+++++yz)xyz222xyxzyz1．计算化简（1）(ab−+−+1)(1abab−)(−+)21111（2）111−−−1.−2222234n22．运用公式展开：(2abc−−=3)4121【巩固练习1】已知a+=7，则a+等于________42aa222【巩固练习2】已知abc++=4，abbc++=ac4，则abc++=________22【巩固练习3】已知x=232+，y=232−，则x++=3xyy．【题型2】一元二次方程根于系数的关系一元二次方程的根与系数bc2xx+=−，xx=。利用韦达定理可根与系数的关系：即ax++=bxc0的两根为xx12,，则1212aa222以求一些代数式的值（式子变形），如x+=+−x(xx)2xx1212123．已知xx,是方程2xx22+=________，xx−=________12xx−+=310的两个实根，则有12122/11 2x，x，若xx++=221xx，求实数k的4．已知一元二次方程xxk−+=50的两个实数根为121212值．【巩固练习1】若p和q是关于x的一元二次方程xx2−+=520的两个不相等的实数根，2pq+−=53．2【巩固练习2】已知关于x的一元二次方程ax−21(a−)xa+−=10有两个实数根．22(1)求a的取值范围．(2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且xx12+=xx122，求a的值．【题型3】因式分解：含参十字相乘2十字相乘法：xpqxp+++=+()qxpxq()(+)2在二次三项式ax++≠bxca(0)中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即aaa=12×,常数项c可以分解成两个因数之积,即ccc=12×,把aac121,,,c2.排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到ac+ac,若它正好等于二次三项式ax2++bxc的一次项系数b,即1221ac+=acb,那么二次三项式就可以分解为两个因式axc+与axc+之积,即122111222axbxcaxcaxc++=(1122+)(+).5．分解因式：2x+−−=axxa03/11 26．分解因式：xa+−(21)xa−+=．27．x−−−(22axa)可因式分解为___________2【巩固练习1】ax−++(2a1)x2可因式分解为．2【巩固练习2】因式分解：xaxa−++(1)221【巩固练习3】因式分解：x++axy+y(a≠0)．a【题型4】齐次式计算：比值消元齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系x228．已知：x−+=320xyy，则＝．yc4224【巩固练习1】已知：ac>>0，且c−30ac+=a，则＝．a23xy+22【巩固练习2】已知：x+−=560xyy，则＝．2xy−4/11 【题型5】解二元二次方程组二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解．二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式；(2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解．22223xyy−−+=304xy−=915,9．解下列方程组：(1)(2)21xy−=2xy−=35.2222xy+=5x+−=xy20y【巩固练习1】【巩固练习2】22xy+−=30xy+=55/11 【题型6】试根法解一元三次方程高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。10．解方程:32xx−+=340【巩固练习1】解方程：xx3−+=320【巩固练习2】解方程：xx32−+343【巩固练习3】xx−+=9100【题型7】立方和与立方差公式3322立方差：ababaabb−=−⋅++()()3322立方和：a+=+⋅−+b()ab(aabb)6/11 11．已知231xx−+=310，求x+3x22【巩固练习1】(xxxxxx+1)(−1)(−+1)(++1)23+23−33【巩固练习2】设x=，y=，求xy+的值.23−23+【题型8】二重根式的化简二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现!2abA+=(a+b)=++ab24ab=++abab，要化简AB+，则ab=4B12．化简根式：843+13．化简根式：743−【巩固练习1】化简根式：7−407/11 【巩固练习2】化简根式：945−−+625【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移axb+分式型函数：形如y=的函数，它是由反比例函数平移得到的cxd+axb+分离常数法：把函数y=中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还cxd+会用到分离常数法．x+2k14．已知函数y=是由反比例函数y=平移得到的，求k的值.12x−1xx+2【巩固练习1】已知函数y=，求y的取值范围34x−−+21x【巩固练习2】求函数y=的对称中心x−1【题型10】初识一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：8/11 1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.2.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0恒成立）3.判定△符号.4.判定对称轴的位置.总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在R上根的分布情况①方程有两个不等的实数根2⇔∆=b−40ac>;②方程有两个相等的实数根2⇔∆=b−40ac=;③方程没有实数根2⇔∆=b−40ac<（2）一元二次方程的根的“0”分布2∆=b−40ac>b①方程有两个不等正根,xx12⇔xx12+=−>0；acxx=>012a2∆=b−40ac>b②方程有两个不等负根,xx12⇔xx12+=−<0acxx=>012ac③方程有一正根和一负根,设两根为xx,0⇔=<xx1212a215．关于x的一元二次方程(m−2)x+(21mxm++−=)20有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）3313A．m>B．<<m2C．−<<m2D．m>且m≠2442422【巩固练习1】已知关于x的方程x+2(a+2)xa+−=10有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为．9/11 2【巩固练习2】关于x的方程x−4mx++=260m至少有一个负根，则m的取值范围是（）33A．m≥B．m≤−1C．m≥或m≤−1D．m<−122模块三【课后练习】221．已知x=−23，y=+23，求x+−y3xy的值．2222．已知abc++=28，abbc++=ac4，则abc++=________3．若m，n是方程22xx++22024=0的两个实数根，则mmn+−的值为．4．对以下式子进行因式分解ax2−−−212ax（其中a≠0）（2）22（1）()xxa−+−212xmxm2−−−33（3）mx−−+224mxx（其中m≠0）（4）()xy−5．若x22−=32yxy，求xy+210/11 xy−=2,6．解方程组：22x−−=2yxy0.7．解方程：25xxx32−−+=608．化简二重根式：1343−9．设x+=y5,xy=1，求xy33+的值.−+21x10．已知函数y=，求y的取值范围和对称中心x−1211．*求关于x的方程ax++=210x至少有一个负实根，求a的取值范围.11/11