初高衔接之计算补充练习（解析版）
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初高衔接之计算补充练习由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。题型目录【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练【题型2】一元二次方程根于系数的关系【题型3】因式分解：含参十字相乘【题型4】齐次式计算：比值消元【题型5】解二元二次方程组【题型6】试根法解一元三次方程【题型7】立方和与立方差公式【题型8】二重根式的化简【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移【题型10】初识一元二次方程根的分布【课后作业】核心题型突破【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。1/18 知识扩充：三项完全平方公2222(x++=+++++yz)xyz222xyxzyz1．计算化简（1）(ab−+−+1)(1abab−)(−+)2【答案】41ab−【解析】原式=(ab−)1(22−−ab+)=41ab−1111（2）111−−−1.−2222234nn+1【答案】2n【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消11111111【解析】原式=111111+−+−+−11+−223344nn314253nn+−11=××××××223344nn132435nn−+11=××××××223344nnn+1=2n22．运用公式展开：(2abc−−=3)222【答案】4a++−9bc12ab−+4ac6.bc222【解析】原式=4a++−9bc12ab−+4ac6.bc4121【巩固练习1】已知a+=7，则a+等于________42aa【答案】32/18 41【解答】解：a+=7，4a221∴(a+=)9，2a2121∴a+=3或a+=−3（舍去）22aa222【巩固练习2】已知abc++=4，abbc++=ac4，则abc++=________【答案】82222【解答】a++=++−bc(abc)2(abbcac++=−=)168822【巩固练习3】已知x=232+，y=232−，则x++=3xyy．【答案】56【详解】解：∵x=232+，y=232−，xy=822∴x++3xyy2=++(xy)xy2=(232232++−+)8=56，故答案为：56．【题型2】一元二次方程根于系数的关系一元二次方程的根与系数bc2xx+=−，xx=。利用韦达定理可根与系数的关系：即ax++=bxc0的两根为xx12,，则1212aa222以求一些代数式的值（式子变形），如x+=+−x(xx)2xx1212123．已知xx,是方程222xx−=________12xx−+=310的两个实根，则有xx12+=________，12【答案】7，53/18 222【解析】xx12+=3，xx12=1，则x1+=+−x2(x1x2)27xx12=，2xx1−=+−2(x1x2)45xx12=2x，x，若xx++=221xx，求实数k的4．已知一元二次方程xxk−+=50的两个实数根为121212值．【答案】k=−92x和x，【详解】解：∵关于x的一元二次方程xxk−+=50的两个实数根是12∴xx12+=5，xx12=k，∵xx12++=221x1x2∴k+×=251∴k=−9．【巩固练习1】若p和q是关于x的一元二次方程xx2−+=520的两个不相等的实数根，2pq+−=53．【答案】20【详解】解：∵p和q是关于x的一元二次方程xx2−+=520的两个不相等的实数根，22∴pp−+=520即pp=52−，pq+=5，2∴pq+−=−+−=5352535pq(pq+−=×−=)555520，故答案为：20．2【巩固练习2】已知关于x的一元二次方程ax−21(a−)xa+−=10有两个实数根．(1)求a的取值范围．22(2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且xx12+=xx122，求a的值．【答案】(1)a≤1且a≠01(2)a=22【详解】（1）解：由题意，得：−−−214(a)aa(−≥10)且a≠0，解得：a≤1且a≠0；4/18 （2）∵该方程的两个实数根为x1，x2，21(a−)a−1∴x+=x,xx=，1212aa22a−121(a−)∴xx+=xxxxx(+=⋅x)=2，12121212aa11解得：a=，经检验a=是原方程的解．22【题型3】因式分解：含参十字相乘2十字相乘法：xpqxp+++=+()qxpxq()(+)2在二次三项式ax++≠bxca(0)中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即aaa=12×,常数项c可以分解成两个因数之积,即ccc=12×,把aac121,,,c2.排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到ac+ac,若它正好等于二次三项式ax2++bxc的一次项系数b,即1221ac+=acb,那么二次三项式就可以分解为两个因式axc+与axc+之积,即122111222axbxcaxcaxc++=(1122+)(+).5．分解因式：2x+−−=axxa0【答案】(xaa+)(−=10)22【详解】解：xaxxa+−−=⇒+−−=0xaxa(10)⇒+(xaa)(−=10)26．分解因式：xa+−(21)xa−+=．【答案】(x−11)(xa+−)5/18 27．x−−−(22axa)可因式分解为_______【答案】(x−+2)(xa)2【巩固练习1】ax−++(2a1)x2可因式分解为．【答案】(ax−−1)(x2)2【巩固练习2】xaxa−++(1)【答案】(x−−1)(xa)221【巩固练习3】x++axy+y(a≠0)．a1【答案】(xay++)xya【题型4】齐次式计算：比值消元齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系x228．已知：x−+=320xyy，则＝．y【答案】1或22x2【详解】等式两边同时除以y得到()3−)2+=0,解方程即可yc4224【巩固练习1】已知：ac>>0，且c−30ac+=a，则＝．a51−【答案】2【解析】原方程两边同时除以4cc42a得到()3()10,−⋅+=aa2解得()c2=35625−−==(51)−,即得c=51−.a244a2c2[说明]注意()是正数，要舍去负根a6/18 23xy+22【巩固练习2】已知：x+−=560xyy，则＝．2xy−9【答案】5或132yxy1【详解】原方程两边同时除以x2得到15+⋅−6=0解方程可得=−或1，从而原式=xyx6y23+x9=5或y132−x【题型5】解二元二次方程组二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解．二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式；(2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；7/18 (3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解．9．解下列方程组：223xyy−−+=30(1)21xy−=223xyy−−+=30,①解：2xy−=1,②由②，得yx=21−．③把③代入①，得3(xx22−−−−+=21)(21x)30．整理后，得xx2−−=230解得xx=−=1,3.12将x=−1代入③，得y1=−3x=3代入③得y2=5．2x=−1,x=3,所以原方程组的解是或y=−3y=5.224xy−=915,(2)2xy−=35.x=2,【答案】1y=−.3224xy−=915,①【解析】解：(2)2xy−=35.②由①，得(2xyxy−3)(2+=3)15.③将②代入③，得2xy+=33.④②+④，得4x=8．解得x=2．将x=2代入④，得4+3y=3．x=2,1解得y=−，所以原方程组的解是13y=−.38/18 22xy+=5【巩固练习1】xy+−=30x=2,【答案】1y=−.322xy+=5①【解析】解：xy+−=30②由②，得yx=−3．③222把③代入①，得xx+−=(35)．整理后，得xx−+=320解得xx12=1,=2.将x=1代入③，得y1=2x=2代入③得y=1．22x=1,x=2,所以原方程组的解是或y=2y=1.22x+−=xy20y【巩固练习2】22xy+=5x=2,【答案】1y=−.322x+−=xy20y①【解析】解：22xy+=5②由①，得(xyxy+2)(−=)0，即xy+=20或xy−=0x=−2,x=2,22将xy+=20代入②，得45yy+=，得y=±1，即或y=1.y=−1.1010x=,x=−,221022将xy−=0代入②，得yy+=5，得y=±，即或21010y=.y=−.229/18 【题型6】试根法解一元三次方程高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。10．解方程:32xx−+=340【答案】x=1或x=2【解析】猜测并验证得出x=−1是方程的一个根，那么(x−1)是方程的一个因式2故方程可以改写为(x−1)(ax++=bxc)0a=1322易得b=−4，则xx−+=+34(xxx1)(−+44)c=4解得x=1或x=2【巩固练习1】解方程：xx3−+=320【答案】x=1或x=2【解析】猜测并验证得出x=1是方程的一个根32xx−+=−32(xxx1)(+−2)xxx==1,=−2123【巩固练习2】解方程：xx32−+34【答案】xxx12==1,−=2,33【解析】猜测并验证得出x=1是方程的一个根322xx−+2−5x61=−(xx)(−−x6)xxx==1,−=2,312310/18 3【巩固练习3】xx−+=9100【解析】猜测并验证得出x=2是方程的一个根32xx−+=−910(xxx2)(+−25)xx==−=2,61,x−−61123【题型7】立方和与立方差公式3322立方差：ababaabb−=−⋅++()()3322立方和：a+=+⋅−+b()ab(aabb)11．已知231xx−+=310，求x+3x【答案】182111【解析】x+=3，故原式=xx+⋅+−=318xxx22【巩固练习1】(xxxxxx+1)(−1)(−+1)(++1)6【答案】x−1.226【解析】原式=(xxx+1)(−+1)(xxx−1)(++=−1)x123+23−33【巩固练习2】设x=，y=，求xy+的值.23−23+【答案】270222(2+3)+−(23)【解析】直接计算可得xy=+=1,xy=14，2223−2222故原式=(xyxx+)(−+=+⋅+−yy)(xyxy)(()3xy)=1414(−=3)270211/18 [说明]注意综合使用完全平方公式与立方和公式．【题型8】二重根式的化简二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现!2abA+=(a+b)=++ab24ab=++abab，要化简AB+，则ab=4B12．化简根式：843+【答案】26+ab+=82a=2【解析】8438212+=+⇒⇒，故843+=+=+(26)26ab=12b=613．化简根式：743−【答案】23−2【解析】7437212−=−=−=(34)23−【巩固练习1】化简根式：7−40【答案】26+ab+=72a=2【解析】7−=407210+⇒⇒，故7−=−=−40(25)52ab=10b=5【巩固练习2】化简根式：945−−+625【答案】-322【解析】=−9220625−+=(52−)−(51+=−−−=−)52513【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移axb+分式型函数：形如y=的函数，它是由反比例函数平移得到的cxd+axb+分离常数法：把函数y=中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还cxd+12/18 会用到分离常数法．x+2k14．已知函数y=是由反比例函数y=平移得到的，求k的值.12x−1xxx+2−+13x−133【答案】yk1===+=+⇒=13xxxxx−−−−−11111x+2【巩固练习1】已知函数y=，求y的取值范围34x−41041010xx−+−【答案】x+23333113y===+=+≠343434343343xxxxx−−−−−−+21x【巩固练习2】求函数y=的对称中心x−1−+−+−−+21221221xxx1【答案】y===−=−−2x−1x−1xx−−11x−1111右移12个单位下移个单位yy=−→=−→=−y−2xx−−11x右移12个单位下移个单位对称中心：(0,0)→(1,0)→(1,2−)【题型10】初识一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.13/18 2.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0恒成立）3.判定△符号.4.判定对称轴的位置.总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在R上根的分布情况①方程有两个不等的实数根2⇔∆=b−40ac>;②方程有两个相等的实数根2⇔∆=b−40ac=;③方程没有实数根2⇔∆=b−40ac<（2）一元二次方程的根的“0”分布2∆=b−40ac>b①方程有两个不等正根,xx12⇔xx12+=−>0；acxx=>012a2∆=b−40ac>b②方程有两个不等负根,xx12⇔xx12+=−<0acxx=>012ac③方程有一正根和一负根,设两根为xx,0⇔=<xx1212a215．关于x的一元二次方程(m−2)x+(21mxm++−=)20有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）14 18="" 3a="">43B．<<m241c．−<<m223d．m>且m≠24【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.【详解】根据题意可知；mm−≠⇒≠202，m−2>0m−221m+3由韦达定理可得−>0，解得<<m2，故选：bm−24=+−−>22Δ(21420mm)()22【巩固练习1】已知关于x的方程x+2(a+2)xa+−=10有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为．【答案】−<<11a【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.22【详解】设方程关于x的方程x+2(a+2)xa+−=10的两根分别为x1、x2，22Δ=+−42410(aa)(−>)则，解得−<<11a.2xx=−<a1012故答案为：−<<11a.2【巩固练习2】关于x的方程x−4mx++=260m至少有一个负根，则m的取值范围是（）33a．m≥b．m≤−1c．m≥或m≤−1d．m<−122【答案】b【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.22【详解】当方程没有根时，∆=16mm−8−24<0，即2mm−−<30，3解得−<<1m；215 18="" 2="">−1，即关于x的方程x−4mx++=260m没有一个负根时，m>−1，2所以关于x的方程x−4mx++=260m至少有一个负根的充要条件是m≤−1，课后练习221．已知x=−23，y=+23，求x+−y3xy的值．【答案】11【详解】解：x=−23，y=+23，∴+=−++=xy23234．xy=−+=(23231)()．22∴+−xy3xy22=++−(x25xyy)xy2=+−(xy)5xy=−×1651=11．2222．已知abc++=28，abbc++=ac4，则abc++=________【答案】±62222【解答】(abc++=+++)abc2(abbcac++=+=)288363．若m，n是方程22xx++22024=0的两个实数根，则mmn+−的值为．【答案】40482【详解】解：∵m、n是方程xx+−22023=0的两个实数根，∴2mn=2024，m+−=2m20240，∴2mm+=22024，22∴mmnm+−=+2mmn−+=()2024−−(2024)=4048．故答案为：4048．4．对以下式子进行因式分解ax2−−−212ax（其中a≠0）（2）22（1）()xxa−+−212xmxm2−−−33（3）mx−−+224mxx（其中m≠0）（4）()16/18 【答案】（1）(ax+−1)(x2)；（2）(1)x−−ax(1)−+a（3）(x−−22)(mx)（4）(x+−3)(xm)xy−5．若x22−=32yxy，求xy+22【答案】或−2522xxx【解析】原式两边同除y，得−⋅−=230，解得=3或−1yyyx−1xy−y2则==或−2xy+25x+2yxy−=2,6．解方程组：22x−−=2yxy0.【答案】22【解析】解：x一20y−=xy可以化为(xyxy−20)(+=)，∴xy−=20或xy+=0．xy−=20xy+=0,则原方程可以变为或xy−=2xy−=2,x=4x=1解得或y=2y=−17．解方程：25xxx32−−+=60【答案】x=2或x=15．或x=−1【解析】解：猜并且检验x=2是方程的一个根，322那么方程可以改写为2x−−+=−5xx6(x2)(ax++=bxc)0322故2xxx−−+=−56(x2)2(xx−−3)再次因式分解可得(xxx−2)(2−+=3)(1)0原方程的根为x=2或x=15．或x=−18．化简二重根式：1343−17/18 【答案】231−2【解析】1343−=−13212=(121−=−)2319．设x+=y5,xy=1，求xy33+的值.【答案】11033222【解析】xyxyxx+=+⋅−+=+⋅+−()(yy)(xyxy)()3xy=×−=5(253)110−+21x10．已知函数y=，求y的取值范围和对称中心x−1【答案】y≠−2，对称中心：−+−−+−−21223223xxx3【解析】y===+=−+2，x−1x−1xx−−11x−13因为≠0，故y≠−2x−1333右移12个单位下移个单位函数图像平移：yy=→=→=y−2xx−−11x右移12个单位下移个单位对称中心：(0,0)→(1,0)→(1,2−)211．*求关于x的方程ax++=210x至少有一个负实根，求a的取值范围.【答案】a≤11【详解】①当a=0时，方程为210x+=，解得x=−，符合要求．22②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax++=210x有实根的充要条件是判别式∆≥0，即440−≥a，解得a≤1，212x+=x−,xx=，设方程ax++=210x的两根分别为xx12,，则1212aaa≤12①方程ax++=210x有一负根一正根的充要条件为1，解得a<0；<0aa≤122−<0②方程ax++=210x有两个负根的充要条件为，解得01<≤a，a1>0a2综上所述，当a≤1时，方程ax++=210x至少有一个负实根.18/18</a1012故答案为：−<<11a.2【巩固练习2】关于x的方程x−4mx++=260m至少有一个负根，则m的取值范围是（）33a．m≥b．m≤−1c．m≥或m≤−1d．m<−122【答案】b【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.22【详解】当方程没有根时，∆=16mm−8−24<0，即2mm−−<30，3解得−<<1m；215></m2，故选：bm−24=+−−></m241c．−<<m223d．m></xx1212a215．关于x的一元二次方程(m−2)x+(21mxm++−=)20有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）14>
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