2024年陕西省中考数学试题A卷【含答案、详细解析】

2024年陕西省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的倒数是（）A．B．C．D．2．如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ）A．B．C．D．3．如图，，，，则的度数为（    ）A．B．C．D．4．不等式的解集是（    ）A．B．C．D．5．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）  A．2个B．3个C．4个D．5个6．一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ）试卷第9页，共10页,A．B．C．D．7．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ）A．2B．3C．D．8．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）A．图象的开口向上B．当时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线二、填空题9．分解因式：=．10．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）11．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是．试卷第9页，共10页,  12．已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则0．13．如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为．三、解答题14．计算：．15．先化简，再求值：，其中，．试卷第9页，共10页,16．解方程：．17．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）18．如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：试卷第9页，共10页,．19．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．20．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．试卷第9页，共10页,21．如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）  22．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量试卷第9页，共10页,与行驶路程之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的关系式；(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．23．水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：组别用水量组内平均数ABC试卷第9页，共10页,D根据以上信息，解答下列问：(1)这30个数据的中位数落在________组（填组别）；(2)求这30户家庭去年7月份的总用水量；(3)该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少?24．如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．(1)求证：；(2)若的半径，，，求的长．试卷第9页，共10页,25．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．    已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；(2)点E在缆索上，，且，，求的长．26．问题提出（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）试卷第9页，共10页,  问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．  请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）试卷第9页，共10页,参考答案：1．C【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【详解】解：∵，∴的倒数是.故选C2．C【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C．3．B【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】，，，，，．故选B．4．D【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】解：，去括号得：，移项合并得：，解得：，故选：D．答案第13页，共14页,5．C【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得，，，为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C．6．A【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，∴，∴，，设正比例函数的解析式为：，把代入，得：，∴；故选A．7．B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．8．D【分析】答案第13页，共14页,本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．9．a（a﹣b）．【详解】解：=a（a﹣b）．故答案为a（a﹣b）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．10．0【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．【详解】解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0．11．/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．答案第13页，共14页,【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角，，，，，，，，．故答案为：．12．/小于【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可．【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴，∴．故答案为：．13．60【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，答案第13页，共14页,∴，∴平分，过点作，，则：，∵，且，∴，∴四边形的面积，∵，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．14．【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．【详解】解：．答案第13页，共14页,15．，6【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．【详解】解：；当，时，原式．16．【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解．17．见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形．【详解】解：等腰直角如图所示：答案第13页，共14页,18．见解析【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．19．(1)0.3(2)【分析】（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是，故答案为：0.3；（2）解：画树状图得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，∴两次摸出的小球都是红球的概率为．【点睛】本题考查求频率的公式、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．20．小峰打扫了．【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了答案第13页，共14页,，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，由题意，得：，解得：，答：小峰打扫了．21．山顶C点处的海拔高度为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，  在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴山顶C点处的海拔高度为．22．(1)y与x之间的关系式为；(2)该车的剩余电量占“满电量”的．【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；答案第13页，共14页,（2）先求得当时，y的值，再计算即可求解．【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为，将，代入得，解得，∴y与x之间的关系式为；（2）解：当时，，，答：该车的剩余电量占“满电量”的．23．(1)B(2)(3)【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出相应的量，是解题的关键．（1）根据中位数的定义进行求解即可；（2）根据组内平均用水量和组内户数求出这30户家庭去年7月份的总用水量即可；（3）用样本估计总体即可．【详解】（1）解：根据条形统计图可知：组有10户，B组有12户，C组有6户，D组有2户，∴将30个数据从小到大进行排序，排在第15和16的两个数据一定落在B组，∴这30个数据的中位数落在B组；（2）解：这30户家庭去年7月份的总用水量为：；（3）解：去年每户家庭7月份的用水量约为：，∵每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，∴今年每户家庭7月份的节约用水量约为：，答案第13页，共14页,∴估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约：．24．(1)见解析(2)．【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明；（2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可．【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵直线l与相切于点A，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是的直径，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，答案第13页，共14页,∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．(1)；(2)的长为．【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入得，解得，∴缆索所在抛物线的函数表达式为；（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，∴缆索所在抛物线的函数表达式为，∵，∴把代入得，，答案第13页，共14页,解得，，∴或，∵，∴的长为．26．（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；（2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可．【详解】解：（1）连接，  ∵，∴，∵，∴等边三角形，∵，∴，∴的长为；故答案为：；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下，解：∵，，∴，∴，∵，答案第13页，共14页,∴四边形是平行四边形，∵要在湿地上修建一个新观测点P，使，∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，  ∵，∴经过点的直线都平分四边形的面积，∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分，∴直线必经过的中点，∴是的中位线，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，作于点，  ∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，，∵，答案第13页，共14页,∴，∴，即，∴，在中，，∴．答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．答案第13页，共14页