2024年江苏省扬州市中考数学试题【含答案、详细解析】

2024年江苏省扬州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数2的倒数是（    ）A．B．2C．D．2．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（   ）A．B．C．D．3．下列运算中正确的是（    ）A．B．C．D．4．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（    ）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是(  )A．B．C．D．6．如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（    ）A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体试卷第9页，共9页,7．在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ）A．0B．1C．2D．48．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ）A．676B．674C．1348D．1350二、填空题9．近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为．10．分解因式：．11．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（精确到0.01）．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为．14．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为．15试卷第9页，共9页,．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要分钟．16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为．17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为．18．如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为．试卷第9页，共9页,三、解答题19．（1）计算：；（2）化简：．20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．21．2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生试卷第9页，共9页,参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组B组C组aD组E组成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：(1)本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；(2)这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．22．2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．试卷第9页，共9页,(1)若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；(2)小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．23．为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？24．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，试卷第9页，共9页,求此时直线所夹锐角的度数．25．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．(1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．26．如图，已知及边上一点．试卷第9页，共9页,(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．27．如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．试卷第9页，共9页,28．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知，，是的外接圆，点在上（），连接、、．【特殊化感知】（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）试卷第9页，共9页,,参考答案：1．D【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数的概念是解题的关键．【详解】解：∵，∴的倒数为，故选：D．2．C【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．3．B【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘法，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；B、，正确，符合题意；C、，原选项错误，不符合题意；D、，原选项错误，不符合题意；故选：B．4．B【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可．答案第21页，共21页,【详解】解：这45名同学视力检查数据中，出现的次数最多，因此众数是．故选：B．5．D【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.【详解】∵点关于原点的对称点为，∴的坐标为（-1，-2），故选D．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．6．C【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴该几何体是三棱柱，故选：C．7．B【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当时，，∴与y轴的交点为；由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点．∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．8．D答案第21页，共21页,【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于，即前2024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有个．故选：D9．【分析】根据科学记数法的要求，将18700000变为，分别确定a和n的值即可．本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】，故答案为：．10．【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式，故答案为：．11．0.53【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.5312．答案第21页，共21页,【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．13．5【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径．【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，∴圆锥的底面半径为，故答案为：5．14．【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵一次函数的图象与轴交于点，∴当时，，即时，，∴关于的方程的解是．故答案为：．15．【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．【详解】解：根据题意，设分钟追上，答案第21页，共21页,∴，解得，，∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟，故答案为：．16．【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：，∴，如图，过作于点，交于点，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距离为，故答案为：．17．【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；答案第21页，共21页,【详解】解：如图，过点作轴于点．∵点A的坐标为，∴，∵，轴，设，则，由对称可知，，∴，∴，，∴，∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，∴，解得：，∵反比例函数图象在第一象限，∴，故答案为：．18．【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据答案第21页，共21页,，利用，即可求出结果．【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，∴点B为定点，的长度为定值，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴点H在以为直径的圆上运动，如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，∴当与相切时最大，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．答案第21页，共21页,19．（1）；（2）【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．【详解】解：（1）；（2）．20．，整数和为6【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．【详解】解：，由①得，，解得，；由②得，，移项得，，解得，，∴原不等式组的解为：，∴所有整数解为：，∴所有整数解的和为：．答案第21页，共21页,21．(1)20，条形统计图见详解(2)D(3)300人【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．（2）按照中位数的定义解答即可．（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．【详解】（1），C组人数为：，补全条形统计图如图所示：故答案为：20（2），，∴200名学生成绩的中位数会落在D组．（3）（人）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键．22．(1)(2)【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键．答案第21页，共21页,（1）直接利用概率公式进行计算即可；（2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可；【详解】（1）解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能，∴选中东关街的概率是，故案䅁为：；（2）列表如下：小亮    小明CDECDE共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，∴小明和小亮选到相同景区的概率：；答：小明和小亮选到相同景区的概率．23．B型机器每天处理60吨垃圾【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意，得，解得．经检验，是所列方程的解．答：B型机器每天处理60吨垃圾．24．(1)四边形是菱形，理由见详解答案第21页，共21页,(2)【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形；（2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下，如图所示，过点作于点，过点作于点，根据题意，四边形，四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵宽度相等，即，且，∴，∴，∴平行四边形是菱形；（2）解：如图所示，过点作于点，根据题意，，答案第21页，共21页,∵，∴，由（1）可得四边形是菱形，∴，在中，，即，∴．25．(1)(2)【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，∴，设，∴，∴，∴，答案第21页，共21页,∴当时，，无解，不符合题意，舍去；当时，，；∴．26．(1)作图见详解(2)作图见详解(3)【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴；点O即为所求（2）解：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，∵是直径，∴，即，答案第21页，共21页,根据作图可得，∴，即，是点到的距离，∵，∴，∴，点即为所求点的位置；（3）解：如图所示，根据作图可得，，连接，∴在中，，∴，∴，∵是直径，∴，∴，设，则，∴在中，，解得，（负值舍去），∴，在中，．【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．答案第21页，共21页,27．(1)或；(2)；(3)．【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可；（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可；（）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：设，则，∵四边形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，则，解得：或，∴或；（2）设，则，∵四边形、是正方形，∴，，，∴，，∵，答案第21页，共21页,∴，∴，∴，∴，即，∴，当时，有最大，最大值为；（3）连接，∵四边形是正方形，∴，即点在对角线所在直线上运动，如图，作关于的对称点，连接，过作于点，∴，四边形为矩形，则点三点共线，，∴，∴，∵，点是的中点，∴，∴，∴当三点共线时，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，故答案为：．答案第21页，共21页,【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．28．（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解；（2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论；（3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解．【详解】解：∵，，∴是等边三角形，则∵是的外接圆，∴是的角平分线，则∴∵四边形是圆内接四边形，∴∴设交于点，则，设，则答案第21页，共21页,在中，∴∴，∵是直径，则，在中，∴∴（2）如图所示，在上截取，∵∴∴是等边三角形，∴，则∴∵四边形是圆内接四边形，∴∴；∵，，∴是等边三角形，则∴，又∵∴在中答案第21页，共21页,∴∴，∴即；（3）解：①如图所示，当在上时，在上截取，∵∴又∵∴，则∴即又∵∴∴∴∵∴如图所示，作于点，在中，，∴答案第21页，共21页,∴∴，即②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，∵四边形是圆内接四边形，∴又∵∴，则∴即，又∵∴∴∴，∵同①可得∴∴答案第21页，共21页,综上所述，当在上时，；当在上时，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键．答案第21页，共21页