2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编：三角函数（解析版）

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()mmA.-3mB.-C.D.3m33【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，1A1A而tanαtanβ=2，所以=×2b×kb×sin+×kb×b×sin，2222故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.π2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x-的交点个数为()6A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sinx的的最小正周期为T=2π，π2π函数y=2sin3x-的最小正周期为T=，63π所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-有三个周期的图象，6在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C23(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)-1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()1A.-1B.C.1D.221 【答案】D2【分析】解法一：令Fx=ax+a-1,Gx=cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令hx=f(x)-gx,x∈-1,1，可知hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.22【详解】解法一：令f(x)=gx，即a(x+1)-1=cosx+2ax，可得ax+a-1=cosx，2令Fx=ax+a-1,Gx=cosx，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到Fx,Gx均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0=G0，即a-1=1，解得a=2，2若a=2，令Fx=Gx，可得2x+1-cosx=02因为x∈-1,1，则2x≥0,1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，2可得2x+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，2则方程2x+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.2解法二：令hx=f(x)-gx=ax+a-1-cosx,x∈-1,1，原题意等价于hx有且仅有一个零点，22因为h-x=a-x+a-1-cos-x=ax+a-1-cosx=hx，则hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为0，即h0=a-2=0，解得a=2，2若a=2，则hx=2x+1-cosx,x∈-1,1，2又因为2x≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立，可得hx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即hx有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；故选：D.cosαπ4(全国甲卷数学(理)(文))已知=3，则tanα+=()cosα-sinα43A.23+1B.23-1C.D.1-32【答案】Bcosα【分析】先将弦化切求得tanα，再根据两角和的正切公式即可求解.cosα-sinαcosα【详解】因为=3，cosα-sinα13所以=3，⇒tanα=1-，1-tanα3πtanα+1所以tanα+==23-1，41-tanα故选：B.π5(新高考北京卷)已知fx=sinωxω>0，fx1=-1，fx2=1，|x1-x2|min=，则ω=()2A.1B.2C.3D.42 【答案】B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x1为fx的最小值点，x2为fx的最大值点，Tπ则x1-x2min==，即T=π，222π且ω>0，所以ω==2.T故选：B.πππ6(新高考天津卷)已知函数fx=sin3ωx+3ω>0的最小正周期为π．则函数在-12,6的最小值是()333A.-B.-C.0D.222【答案】Aππ【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得fx=-sin2x，再整体求出x∈-,时，2x的范126围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.π2π2【详解】fx=sin3ωx+=sin3ωx+π=-sin3ωx，由T==π得ω=，33ω3即fxππππ=-sin2x，当x∈-,时，2x∈-,，12663画出fx=-sin2x图象，如下图，ππ由图可知，fx=-sin2x在-,上递减，126ππ3所以，当x=时，fxmin=-sin=-632故选：A7(新高考上海卷)下列函数fx的最小正周期是2π的是()2222A.sinx+cosxB.sinxcosxC.sinx+cosxD.sinx-cosx【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.π【详解】对A，sinx+cosx=2sinx+，周期T=2π，故A正确；412π对B，sinxcosx=sin2x，周期T==π，故B错误；2222对于选项C，sinx+cosx=1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；222π对于选项D，sinx-cosx=-cos2x，周期T==π，故D错误，2故选：A．3 π8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-，下列说法正确的有()4A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.kπ【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=,k∈Z，即为f(x)零点，2πkππ令g(x)=sin2x-=0，解得x=+,k∈Z，即为g(x)零点，428显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；2πC选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为=π，C选项正确；2πkππD选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+,k∈Z，224ππkπ3πg(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+,k∈Z，4228显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.22【答案】-3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.tanα+tanβ4【详解】法一：由题意得tanα+β===-22，1-tanαtanβ1-2+1π3π因为α∈2kπ,2kπ+2,β∈2mπ+π,2mπ+2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，3π则α+β∈2m+2kπ+,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，2sinα+β2222则=-22，联立sinα+β+cosα+β=1，解得sinα+β=-.cosα+β3法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα1cosβ-1cosα==，cosβ==，222222sinα+cosα1+tanαsinβ+cosβ1+tanβ则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)-4-4-422=4cosαcosβ====-1+tan2α1+tan2β(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)242+2322故答案为：-.310(全国甲卷数学(文))函数fx=sinx-3cosx在0,π上的最大值是．【答案】24 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.πππ2π【详解】fx=sinx-3cosx=2sinx-3，当x∈0,π时，x-3∈-3,3，ππ5π当x-=时，即x=时，fxmax=2.326故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重2合，终边经过点P1,2，则7cosθ-2sin2θ=()11A.-B.C.-2D.255【答案】A【分析】由题意可知：tanθ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tanθ=2，227cosθ-4sinθcosθ7-4tanθ7-4×21所以7cosθ-2sin2θ====-.sin2θ+cos2θtan2θ+122+15故选：A.2πsinα-3cosα+2cosα2(2024·广东茂名·一模)已知cosα+π=-2sinα，则=()cos2α+1247A.-1B.-C.D.558【答案】D【分析】根据给定条件，求出tanα，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.1【详解】由cosα+π=-2sinα，得cosα=2sinα，则tanα=，22πsinα-3cosα+2cosαsin2α+3sinαcosα131372所以==tanα+tanα=+=.cos2α+12cos2α22848故选：Dx1-e3(2024·河北保定·二模)函数f(x)=cos2x的部分图象大致为()x1+eA.B.C.D.5 【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.x-xx1-e1-ee-1【详解】设gx=，则g-x===-gx，x-xx1+e1+e1+e所以gx为奇函数，设hx=cos2x，可知hx为偶函数，x1-e所以fx=cos2x为奇函数，则B，C错误，x1+e易知f0=0，所以A正确，D错误．故选：A.1π4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sinx+cosx)cosx-，若f(x)在区间-,m上的值243域为-,1，则实数m的取值范围是()2A.π,πB.π,ππ,7πD.π,7π6262C.612612【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.2131π【详解】依题意，函数f(x)=3sinxcosx+cosx-=sin2x+cos2x=sin2x+，2226当x∈-π,mπ∈-π,2m+ππ=sin4π=-3,sinπ=1，4时，2x+636，显然sin-3322且正弦函数y=sinx在π,4ππ,m3,1上单调递减，由f(x)在区间-上的值域为-，2342ππ4ππ7π得≤2m+≤，解得≤m≤，263612π7π所以实数m的取值范围是,.612故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数fx=cosωxx∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函π3π数fx的图象向右平移个单位得到函数gx的图象.若fα+gα=，则cos4α+=()353716919A.B.C.-D.-25252525【答案】A35【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得≤ω<，结合223πfπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出gx，根据三角变换化简fα+gα=可得sin2α+=563，然后由二倍角公式可解.5【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，3π≤ωπ235因为函数fx在0,π内恰有两个对称中心，所以，解得≤ω<，5π>ωπ222又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，ππ2π将函数fx的图象向右平移3个单位得到函数y=cos2x-3=cos2x-3，6 2π即gx=cos2x-，32π因为fα+gα=cos2α+cos2α-331π3=sin2α+cos2α=sin2α+=，2265π2π327所以cos4α+3=1-2sin2α+6=1-2×5=25.故选：Aπ6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是，且f(x)在2ππ-,上单调，则ω=()61657911A.B.C.D.4444【答案】Bππ【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+，以2ωx+为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点44分析求解.π【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+，4ππx∈-,，且ω>1时，616πππππππππ可得2ωx+∈-ω+,ω+，且-ω+<0<ω+，434843484-πω+π≥-πππ342若f(x)在-6,16上单调，则πππ，解得1<ω≤2，ω+≤842ππ1又因为f(x)的一个零点是，则πω+=kπ,k∈Z，解得ω=k-,k∈Z，2447所以k=2,ω=.4故选：B.ππ7(2024·山东临沂·二模)已知函数fx=sin2x+φϕ<2图象的一个对称中心为6,0，则()ππA.fx在区间-,上单调递增835πB.x=是fx图象的一条对称轴6C.fxππ3在-,上的值域为-1,6425πD.将fx图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称12【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.ππ【详解】由题意可得2×+φ=kπk∈Z，解得φ=-+kπk∈Z，63πππ又ϕ<，故φ=-，即fx=sin2x-；2337 对A：当x∈-π,ππ∈-7π,π时，2x-，8331237ππ由函数y=sinx在-,上不为单调递增，123ππ故fx在区间-,上不为单调递增，故A错误；835ππ4π对B：当x=时，2x-=，6334π由x=不是函数y=sinx的对称轴，35π故x=不是fx图象的对称轴，故B错误；6对C：当x∈-π,ππ∈-2π,π时，2x-，643361则fx∈-1,，故C错误；25π对D：将fx图象上的所有点向左平移个长度单位后，125πππ可得y=sin2x+2×12-3=sin2x+2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.π8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示，若将函2数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()ππ3ππA.B.C.D.8482【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.ππ2πππ【详解】由f4=1，得sin4ω+φ=2，又点4,1及附近点从左到右是上升的，则4ω+φ=4+2kπ,k∈Z，5π5π5π由f8=0，点8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，ππππ联立解得ω=2，φ=-+2kπ,k∈Z，而|φ|<，于是φ=-，f(x)=2sin2x-，4244π若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-，4ππ3πkπ则-2θ-=-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-+,k∈N，4282π所以当k=1时，θ取得最小值为.8故选：A8 9(2024·四川雅安·三模)已知函数fx=sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=fx-2logπx有且只有一个零点；π②当ω=2时，函数y=fx+φ为奇函数，则正数φ的最小值为；3π1③若函数y=fx在0,上单调递增，则ω的最小值为；321325④若函数y=fx在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为6,6.A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.13π【详解】依题意，ω>0，函数f(x)=22sinωx+2cosωx=2sinωx+3，π对于①：f(x)=2sin2x+3，令y=fx-2logπx=0，即fx=2logπx，作出函数y=f(x)和函数y=2logπx的图象，如图，7π13π5π观察图象知，两个函数在0,12上只有一个零点，f12=2sin2=2，13π13π1313当x=时，y=2logπ=2logπ+2logππ=2+2logπ>2，1212121213π当x>时，2logπx>2≥f(x)，12因此函数y=fx与函数y=2logπx的图象有且只有一个交点，①正确；ππ对于②：f(x+φ)=2sin2x+2φ+为奇函数，则2φ+=kπ,k∈Z，33πkππφ=-+,k∈Z，即正数φ的最小值为，②正确；623ππππ(ω+1)π对于③：当x∈0,3时，ωx+3∈3,3，由y=fx在0,3上单调递增，π(ω+1)π≤11得32，解得0<ω≤，正数ω有最大值，③错误；ω>022πππ对于④：当x∈(0,π)时，ωx+∈,ωπ+，而y=fx在(0,π)上恰有两个极值点，3333ππ5π713713由正弦函数的性质得2<ωπ+3≤2，解得6<ω≤6，因此ω的取值范围是6,6，④错误.综上，共2个正确，故选：B.9 3cosα10(2024·河北保定·二模)已知tanα=，则cos2α=()sinα+117777A.-B.C.D.-8899【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sinα，再结合二倍角公式即可求解.sinα3cosα【详解】因为=，cosαsinα+112所以4sinα+11sinα-3=0，1解得sinα=或sinα=-3(舍去)，427所以cos2α=1-2sinα=．8故选：B.11(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=msin(α-β)，tan(2α-β)=ntanα，则m，n的关系为()m+1mm+1A.m=2nB.n=C.n=D.n=mm-1m-1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin(3α-β)=sin[(2α-β)+α]=sin(2α-β)cosα+cos(2α-β)sinα，sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cosα-cos(2α-β)sinα，则sin(2α-β)cosα+cos(2α-β)sinα=msin(2α-β)cosα-mcos(2α-β)sinα，sin(2α-β)cosαm+1tan(2α-β)m+1即=，即==n.cos(2α-β)sinαm-1tanαm-1故选：Dα2α12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan=2，则sin+sinα的值是()222468A.B.C.D.5555【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项2ααα2αααsin+2sincostan+2tan22+2×282α22222【详解】当tan=2，则sin+sinα====22sin2α+cos2αtan2α+122+15222故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()311A.-1B.-C.-D.222【答案】C【分析】找出tanα和tanβ的关系，求出tanα和tanβ即可求解.【详解】∵sinαsinβ-3cosαcosβ=0，∴sinαsinβ=3cosαcosβ，10 tanα+tanβtanα+tanβ∴tanαtanβ=3①，∵sinα+β=2cosα+β，∴tanα+β=2⇒=2⇒1-tanαtanβ1-3=2，tanα=-1tanα=-3∴tanα+tanβ=-4②，由①②解得或，tanβ=-3tanβ=-1∵0<α<β<π，∴tanα<tanβ，tanα=-3tanα-tanβ1∴，∴tanα-β==-.tanβ=-11+tanαtanβ2故选：C.二、多选题214(2024·河北张家口·三模)已知函数f(x)=23cosx+2sinxcosx，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的一个周期为2ππB.函数f(x)的图象关于点,0对称3C.将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的5π最小值为1215π16-30D.若fα--3=，其中α为锐角，则sinα-cosα的值为22428【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据平移变化求g(x)，由奇π1ππ偶性可求出φ，可判断C；根据已知化简可得sinα-12=4，将目标式化为2sinα-12-6，由和差角公式求解可判断D.π【详解】对于A，因为f(x)=31+cos2x+sin2x=2sin2x++3，32π所以f(x)的最小值周期T==π，所以2π是函数f(x)的一个周期，A正确；2πππ对于B，因为f3=2sin2×3+3+3=3，π所以，点,0不是函数f(x)的对称中心，B错误；3ππ对于C，由题知，gx=f(x-φ)=2sin2(x-φ)+3+3=2sin2x+3-2φ+3，πππkπ若函数g(x)为偶函数，则-2φ=+kπ,k∈Z，得φ=--,k∈Z，321225π因为φ>0，所以φ的最小值为，C正确；1215π15πππ1对于D，若f2α-24-3=2sin22α-24+3=2sinα-12=2，π1则sinα-=，124ππ5ππ15因为α为锐角，-<α-<，所以cosα-=，121212124πππ所以sinα-cosα=2sinα-4=2sinα-12-63π1π=22sinα-12-2cosα-1211 311156-30=22×4-2×4=8，D正确.故选：ACD15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数fx=sinx⋅cosx，则()A.fx是奇函数B.fx的最小正周期为2π1πC.fx的最小值为-D.fx在0,上单调递增22【答案】AC1【分析】首先化简函数fx=sin2x，再根据函数的性质判断各选项.21【详解】fx=sinx⋅cosx=sin2x，函数的定义域为R，21对A，f-x=-sin2x=-fx，所以函数fx是奇函数，故A正确；22π对B，函数fx的最小正周期为=π，故B错误；21对C，函数fx的最小值为-，故C正确；2对D，x∈0,πππ,π，2x∈0,π，函数fx不单调，fx在0,上单调递增，在上单调递减，故D2442错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数fx=sinx-3cosx，则()A.fx是偶函数B.fx的最小正周期是ππC.fx的值域为-3,2D.fx在-π,-上单调递增2【答案】AC【分析】对于A，直接用偶函数的定义即可验证；对于B，直接说明f0≠fπ即可否定；对于C，先证明5π-3≤fx≤2，再说明对-3≤u≤2总有fx=u有解即可验证；对于D，直接说明f->62πf-即可否定.3【详解】对于A，由于fx的定义域为R，且f-x=sin-x-3cos-x=-sinx-3cosx=sinx-3cosx=fx，故fx是偶函数，A正确；对于B，由于f0=sin0-3cos0=-3，fπ=sinπ-3cosπ=3，故f0≠fπ，这说明π不是fx的周期，B错误；2对于C，由于fx=sinx-3cosx≤sinx+3cosx=sinx+3cosx22≤sinx+3cosx+3sinx-cosx2222=sinx+3cosx+23sinxcosx+3sinx+cosx-23sinxcosx22=4sinx+4cosx=4=2，且fx=sinx-3cosx≥-3cosx≥-3，故-3≤fx≤2.5π5π而对-3≤u≤2，有f0=-3≤u，f6=2≥u，故由零点存在定理知一定存在x∈0,6使得fx=u.所以fx的值域为-3,2，C正确；12 5π2ππ5π2ππ对于D，由于-π<-6<-3<-2，f-6=2>3=f-3，故fx在-π,-2上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.ππ17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数fx=sin2x+φ0<φ<的图象关于直线x=对212称，且hx=sin2x-fx，则()ππA.φ=B.hx的图象关于点,0中心对称126ππ5πC.fx与hx的图象关于直线x=对称D.hx在区间,内单调递增4612【答案】BCDπ【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A，先求出hx=sin2x-，然后利用正弦函数的对称性求3解判断B，根据对称函数的性质判断C，结合正弦函数的单调性代入验证判断D.πππ【详解】由题意得2×+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=+kπ，k∈Z，1223ππ又因为0<φ<，所以φ=，A错误；23ππ由φ=可知fx=sin2x+，33π13π则hx=sin2x-sin2x+3=2sin2x-2cos2x=sin2x-3，ππkπ令2x-=kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z，362ππ令k=0，得x=，所以点,0是曲线y=hx的对称中心，B正确；66πππ4ππ因为f2-x=sin22-x+3=sin3-2x=sin2x-3=hx，π所以fx与hx的图象关于直线x=对称，C正确；4π5ππππ5π当x∈6,12时，2x-3∈0,2，故hx在区间6,12内单调递增，D正确.故选：BCDπ18(2024·浙江金华·三模)已知函数fx=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφω>0,0<φ<的部分图象2如图所示，则()πA.φ=B.ω=26ππ1C.fx+6为偶函数D.fx在区间0,2的最小值为-2【答案】ACDπ【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出fx=sin2x+，可得A正确，B错误；由诱导公式可得613 C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.【详解】由题意得fx=sin2ω+φ，11由图象可得f0=⇒sinφ=，22ππ又0<φ<，所以φ=，264ππ3π由五点法可得ω×+=⇒ω=1，362π所以fx=sin2x+.6πA：由以上解析可得φ=，故A正确；6B：由以上解析可得ω=1，故B错误；πππC：fx+6=sin2x+6+6=cos2x，故C正确；D：当x∈0,ππ∈π,7ππ∈-1,12⇒2x+666时，sin2x+62，1所以最小值为-，故D正确；2故选：ACD.19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P-3,4为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称，则()3πA.cosπ+α=B.β=2kπ++2αk∈Z527C.tanβ=D.角β的终边在第一象限24【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P-3,4，433所以：OP=5，所以sinα=，cosα=-，所以cosπ+α=-cosα=，故A对；5554324又sin2α=2sinα⋅cosα=2××-=-，55252232427cos2α=cosα-sinα=-5-5=-25，724所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-,-，2525247因为角β的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为,，25257所以tanβ=，且β的终边在第一象限，故CD正确；24π又因为终边在直线y=-x的角为：kπ-,k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y=-x对称，42α+βππ所以=kπ-⇒β=2kπ--2αk∈Z，故B错误.242故选：ACD14 20(2024·广东佛山·二模)已知函数fx=sinx+cos2x与gx=sin2x+cosx，记hx=λfx+22μgx，其中λ，μ∈R且λ+μ≠0．下列说法正确的是()πA.hx一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则hx在0,上总有零点2C.hx可能为偶函数D.hx在区间0,2π上的图象过3个定点【答案】ABDπ【分析】对于A：计算hx+2π，化简即可；对于B：求出hx，然后计算h0h的正负即可；对于C：计2fx=0算hx,h-x是否恒相等即可；对于D：令，求解x即可.gx=0【详解】对于A，∀x∈R，hx+2π=λfx+2π+μgx+2π=λfx+μgx=hx，A正确；对于B，hx=λcosx-2sin2x+μ2cos2x-sinx，π则h0=λ+2μ，h=-3μ，2π因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h0h<0，2π由零点存在定理知hx在0,上总有零点，故B正确；2对于C，hx=λsinx+λcos2x+μsin2x+μcosx，h-x=-λsinx+λcos2x-μsin2x+μcosx，由hx=h-x得2λsinx+2μsin2x=2λsinx+2μ⋅2sinxcosx=2sinxλ+2μcosx=0对x∈R恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C错误；fx=0对于D，令，gx=02sinx+cos2x=1-2sinx+sinx=-sinx-12sinx+1=0则sin2x+cosx=cosx2sinx+1=0sinx=1或sinx=-1⇒2，即x∈-π+2kπ,π+2kπ,7π+2kπ，k∈Z，cosx=0或sinx=-16262ππ7π故所有定点坐标为-6+2kπ,0，2+2kπ,0，6+2kπ,0，k∈Z，π7π11π又因为x∈0,2π，所以函数hx的图象过定点2,0，6,0，6,0，故D正确；故选：ABD．1ππ21(2024·湖南·二模)已知函数fx=cos2x-，把y=fx的图象向右平移个单位长度，得233到函数y=gx的图象，以下说法正确的是()πA.x=是y=fx图象的一条对称轴6π2πB.fx的单调递减区间为kπ+,kπ+k∈Z63C.y=gx的图象关于原点对称1D.fx+gx的最大值为2【答案】ABD15 1【分析】根据题意，求得gx=-cos2x的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐2项判定，即可求解.1ππ【详解】将函数fx=cos2x-的图象向右平移个单位长度，23311得到函数y=gx=cos2x-π=-cos2x的图象，22π1对于A中，令x=，求得fx=，即为函数y=fx最大值，62π所以直线x=是函数fx图象的一条对称轴，所以A正确；6ππ2π对于B中，令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z，363π2π可得fx的单调减区间为kπ+,kπ+,k∈Z，所以B正确.631对于C中，由于gx=-cos2x是偶函数，可得函数gx的图象关于y轴对称，所以C错误.21π1对于D中，由fx+gx=2cos2x-3+-2cos2x1131=cos2x+sin2x-cos2x2222311π1=sin2x-cos2x=sin2x-≤，442621即fx+gx的最大值为，所以D正确.2故选：ABD.ππ222(2024·广东江门·一模)已知函数f(x)=sin2ωx+3+sin2ωx-3+23cosωx-3(ω>0)，则下列结论正确的是()πA.若fx相邻两条对称轴的距离为，则ω=22πB.当ω=1，x∈0,时，fx的值域为-3,22ππC.当ω=1时，fx的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为y=2cos2x+66πD.若fx在区间0,上有且仅有两个零点，则5≤ω<86【答案】BCDπ【分析】根据三角恒等变换化简fx=2sin2ωx+，进而根据周期可判断A，根据整体法求解函数的值3域判断B，根据函数图象的平移可判断C，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D.ππ2【详解】f(x)=sin2ωx+3+sin2ωx-3+23cosωx-3ππππ=sin2ωxcos+cos2ωxsin+sin2ωxcos-cos2ωxsin+3cos2ωx3333π=sin2ωx+3cos2ωx=2sin2ωx+，3ππ2π对于A，若fx相邻两条对称轴的距离为，则T=2×=π=,故ω=1，A错误，222ω对于B，当ω=1，fxππππ4π=2sin2x+3，当x∈0,2时，2x+3∈3,3，则fx的值域为-3,2，B正确，16 π对于C，当ω=1，fx=2sin2x+，3πfx的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为6πππ2ππfx+6=2sin2x+6+3=2sin2x+3=2cos2x+6，C正确，对于D，当x∈0,ππ∈π,2ωπ+π时，2ωx+，63363πππ若fx在区间0,上有且仅有两个零点，则2π≤2ω+<3π，解得5≤ω<8，故D正确，663故选：BCD三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f(x)=sinxcosωx,x∈R．①若ω=1，则f(x)的最小正周期是；，②若ω=2，则f(x)的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f(x)的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f(x)的值域.12π【详解】当ω=1时，f(x)=sinxcosx=sin2x，函数f(x)的最小正周期为=π；222当ω=2时，f(x)=sinxcos2x=sinx(1-2sinx)，令sinx=t∈[-1,1]，232g(t)=t(1-2t)=-2t+t，求导得g(t)=-6t+1，6666当-1≤t<-或<t≤1时，g(t)<0，当-<t<时，g(t)>0，66666666函数g(t)在-1,-6，6,1上单调递减，在-6,6上单调递增，6666g(-1)=1,g6=9，g(1)=-1,g-6=-9，所以g(t)min=-1,g(t)max=1，f(x)的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f(x)=sinωx-2cosωx(ω>0)，且fα+x=fα-x.若两个不等的实数x1,x2满足fx1fx2=5且x1-x2min=π，则sin4α=.4【答案】-/-0.85【分析】利用辅助角公式化简f(x)的解析式，再由题意可得函数关于x=α对称，且最小正周期T=π，即可π求出ω的值，从而得到2α=φ++kπ,k∈Z，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．2【详解】因为f(x)=sinωx-2cosωx=5sinωx-φ，其中tanφ=2，由fα+x=fα-x，可得fx关于x=α对称，又两个不等的实数x1,x2满足fx1fx2=5且x1-x2min=π，2π所以fx的最小正周期T=π，又ω>0，所以=π，解得ω=2，ω所以fx=5sin2x-φ，ππ所以2α-φ=+kπ,k∈Z，则2α=φ++kπ,k∈Z，22π所以sin4α=sin2φ++kπ=sin2φ+π+2kπ=-sin2φ217 -2sinφcosφ-2tanφ-2×24====-.sin2φ+cos2φtan2φ+122+154故答案为：-5π325(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<，tanα=mtanβ，cosα-β=，若满足条件的α与β存25在且唯一，则m=，tanαtanβ=.1【答案】1934【分析】由tanα=mtanβ得到sinαcosβ=mcosαsinβ，再结合cosα-β=，利用sinα-β=-，得5544m-4m+1到cosαsinβ=-，sinαcosβ=-，从而sinα+β=，再由满足条件的α与5m-15m-15m-1-4m+1β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sinα+β==1，求得m即可.5m-1sinαmsinβ【详解】解：由tanα=mtanβ，得=，即sinαcosβ=mcosαsinβ，cosαcosβππ因为0<α<β<，tanα=mtanβ，所以-<α-β<0，0<m<1，223又cosα-β=，所以sinα-β<0，54从而sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=m-1cosαsinβ=-，54所以cosαsinβ=-，5m-14m所以sinαcosβ=mcosαsinβ=-，5m-1-4m+1所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=，5m-1π因为α,β∈0,，所以α+β∈0,π，2因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，-4m+11所以sinα+β==1，所以m=，经检验符合题意，5m-191所以tanα=tanβ，94tanα-tanβtanα-9tanα则tanα-β=-==，31+tanαtanβ1+9tan2α1解得tanα=，32所以tanαtanβ=9tanα=1.1故答案为：，19-4m+1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sinα+β==1，求出m，由此即可顺利得解.5m-118