类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略（教师版）

类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】1【类型二构造圆内接四边形转化角】5【类型三利用直径构造直角三角形转化角】9【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】15【典型例题】【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】1(2023·北京·九年级专题练习)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，BC=DC．若∠CBD=35°，则∠ABD的度数为()A.20°B.35°C.40°D.70°【答案】A【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CBD=35°，根据直径所对的圆周角为90度可得∠ADB=90°，进而可得∠CBA=90°-∠CAB=55°，∠ABD=∠CBA-∠CBD=20°．【详解】解：如图，连接AD，AC，∵BC=DC，∠CBD=35°，∴∠CAB=∠CBD=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CBA=90°-∠CAB=55°，∴∠ABD=∠CBA-∠CBD=55°-35°=20°，故选A．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆(或直径)所对的圆周角是直角．【变式训练】1(2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习)如图，在⊙O中，点A是BC的中点，若∠ADC=24°，则∠AOB的度数为()1 A.12°B.24°C.36°D.48°【答案】D【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵点A是BC的中点，∴AC=AB，∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)如图，点A，B，C都在⊙O上，B是AC的中点，∠OBC=50°，则∠AOB等于°．【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC=80°，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案．【详解】解：∵∠OBC=50°，OB=OC，∴∠OCB=50°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=80°，∵B是AC的中点，∴AB=BC，∴∠AOB=∠BOC=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．3(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=60°，则∠ADC的度数为．2 【答案】30°/30度【分析】根据垂径定理得到AB=AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA⊥BC，∴AB=AC，1∴∠ADC=∠AOB=30°，2故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，∠A=50°，则∠B=．【答案】65°/65度1【分析】连接AC．利用等弧所对圆周角相等，得出∠DAC=∠BAC，从而得出∠BAC=∠DAB=25°，再2利用直径所对圆周角是直角，最后由直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC．∵BC=CD，∴∠DAC=∠BAC．∵∠DAB=50°，1∴∠BAC=∠DAB=25°．2∵AB为直径，∴∠ACB=90°．∴∠B=90°-∠BAC=65°，故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．【类型二构造圆内接四边形转化角】1(2022秋·山西临汾·九年级统考期末)⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，若∠OBA=50°，则∠C的3 度数为()A.150°B.140°C.130°D.100°【答案】B【分析】在优弧AB上取一点E，连接AE、BE，由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=80°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AEB的度数，最后由圆内接四边形的性质可得答案．【详解】解：如图，在优弧AB上取一点E，连接AE、BE，∵∠OBA=50°，OA=OB，∴∠AOB=80°，11∴∠AEB=∠AOB=×80°=40°．22∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠AEB+∠C=180°，∴∠C=180°-∠AEC=140°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E=150°，则弧CD所对的圆心角的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】D【分析】连接DE，OC，根据圆内接四边形的性质可得∠B+∠AED=180°，从而得到∠CED=30°，进而得到∠COD=2∠CED=50°，即可求解．【详解】解：如图，连接DE，OC，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AED=180°，∵∠B+∠AEC=150°，∴∠CED=30°，4 ∴∠COD=2∠CED=60°，∴弧CD所对的圆心角的度数为60°．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．2(2023·江苏盐城·统考一模)如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOC=∠ABC，那么∠ABC的度数为°．【答案】120【分析】如图：在优弧AC上取一点D，连接AD、CD，由圆周角定理和圆的内接四边形可得∠ADC=1∠AOC，∠ADC+∠ABC=180°，再结合∠AOC=∠ABC求得∠ABC=120°．2【详解】解：如图所示，在优弧AC上取一点D，连接AD、CD，1∴∠ADC=∠AOC，∠ADC+∠ABC=180°，2∵∠AOC=∠ABC，1∴∠ADC=∠ABC21∴∠ABC+∠ABC=180°，2∴∠ABC=120°故答案为：120．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)如图，在⊙O中，C为AB上的点，BC=2AC．若∠ACB=120°，则∠OBC=．【答案】50°【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，∵∠ACB=120°，∴∠D=180°-∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠D=120°，5 ∵BC=2AC，∴∠BOC=2∠AOC，∴∠BOC=80°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，添加辅助线构造圆心角和圆周角是解题的关键．4(2023·吉林松原·校联考三模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B=°．【答案】116【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接AC、CE，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D=180°，∴∠CAE=180°-128°=52°，∵AC=AE，1∴∠ACE=∠AEC=180°-52°=64°，2∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B=180°，∴∠B=180°-64°=116°，故答案为：116．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【类型三利用直径构造直角三角形转化角】1(2023·湖北襄阳·统考一模)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB=40°，则∠ADC的度数是°．6 【答案】130【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠B=50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．【详解】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-50°=130°．故答案为：130．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1(2023·安徽宣城·校考三模)如图，AE是直径，点B、C、D在半圆上，若∠B=125°，则∠D=．【答案】145°/145度【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角为90度可得∠ABE=90°，进而可得∠CBE=35°，再根据圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】解：如图，连接BE，∵AE是直径，点B在半圆上，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=125°-90°=35°，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠CBE=180°，∴∠D=180°-∠CBE=145°，故答案为：145°．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．2(2023·辽宁营口·校联考一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．7 【答案】61°/61度【分析】如图，连接BC，证明∠ACB=90°，求出∠ABC，可得结论．【详解】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=61°，∴∠D=∠ABC=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．3(2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，且BC=CD，连接AD,AC,∠CAB=25°，P为ABC一动点(点P不与点A，C重合)，连接DP，在运动过程中，DP与AC相交于点M，连接DC．(1)∠BAD的度数为．(2)当DM=DC时，∠PDC的度数为．【答案】50°100°【分析】(1)根据BC=CD，可得∠CAD=∠CAB=25°，进而可求∠BAD的度数；(2)由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，然后可求∠PDC的度数．【详解】(1)∵BC=CD，∠CAB=25°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∴∠BAD=50°；(2)连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ACD=180-50°-90°=40°∵DM=DC，∴∠DMC=∠ACD=40°，8 ∴∠PDC=180°-40°-40°=100°．故答案为：(1)50°；(2)100°．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是熟练掌握圆的性质．4(2022秋·浙江杭州·九年级统考期末)如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，且点E是CD的中点，连接DE．(1)求证：△ABC是等腰三角形．(2)若BC=10，CE=6，求线段AD的长．【答案】(1)证明见解析36(2)AD=5【分析】(1)连接BE，根据直径所对的圆周角为直角，得出BE⊥AC，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出BE是∠ABC的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；(2)连接CD，根据勾股定理，得出BE=8，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出S△ABC=11482S△BCE=48，再根据三角形的面积公式，得出S△ABC=AB⋅CD=×10×CD=48，解得CD=，再根22514据勾股定理，得出BD=，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．5【详解】(1)证明：如图，连接BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°，∴BE⊥AC，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∴∠DBE=∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分线，∴△ABC是等腰三角形；(2)解：如图，连接CD，在Rt△BCE中，∵BC=10，CE=6，22∴BE=BC-CE=8，11∴S△BCE=CE⋅BE=×6×8=24，22又∵BE⊥AC，△ABC是等腰三角形，∴BE是△ABC的中线，AB=BC=10，9 ∴S△ABC=2S△BCE=48，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，11∴S△ABC=AB⋅CD=×10×CD=48，2248解得：CD=，52214∴BD=BC-CD=，51436∴AD=AB-BD=10-=．55【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】1(2023·江苏连云港·校联考三模)如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【分析】根据圆周角定理求解即可．1【详解】∠APB=∠AOB=45°，2故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．【变式训练】1(2023·辽宁朝阳·校联考三模)如图，点A、B、C、D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为()A.30°B.45°C.60°D.无法确定【答案】A10 1【分析】连接OC，证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，根据圆周角定理得出∠A=∠BOC=230°即可．【详解】解：连接OC，如图所示：∵四边形OBCD是平行四边形，∴BC=OD，∴BC=OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，1∴∠A=∠BOC=30°，故A正确．2故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明△OBC为等边三角形，求出∠BOC=60°．2(2023·广西防城港·统考一模)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OA⊥BC，∠ADC=30°，则∠AOB的度数为()A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】D【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得：AC=AB，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵OA⊥BC，∴AC=AB，∵∠ADC=30°，∴∠AOB=2∠ADC=2×30°=60°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．3(2023·广东佛山·校考三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC，连接OA，OB，若∠BAO=70°，则∠D=()A.40°B.60°C.45°D.30°11 【答案】A【分析】连接OC，证明△OAB≌△OCBSSS，得出∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠BAO=70°，则∠ABC=140°，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接OC，AB=BC在△OAB和△OBC中，OB=OB，OA=OC∴△OAB≌△OCBSSS，∵∠BAO=70°，OA=OB=OC，∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠BAO=70°，∴∠ABC=140°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D=180°-∠ABC=40°，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．4(2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是()A.30°B.35°C.45°D.60°【答案】D【分析】根据内接四边形的性质，得到∠BCD+∠BAD=180°，进而得到∠BAD=60°，再根据圆周角定理得到∠BOD=120°，即可求出∠DOE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∴∠DOE=180°-∠BOD=60°，故选D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．12