专题17 利用导数求函数的极值(教师版)

专题17利用导数求函数的极值一、多选题1．下列命题正确的有（）A．已知且，则B．，则C．的极大值和极小值的和为D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.【详解】A选项，由条件知且，所以，即；B选项，有，，而；C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，所以；D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以51 有两个零点即可∴，解得故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.2．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时，，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；51 当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；51 当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（）A．的单调减区间是B．的极小值是﹣6C．过点只能作一条直线与的图象相切D．有且只有一个零点【答案】BCD【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．【详解】因为，令，得或，51 则在，上单调递增；令，得，则在上单调递减．所以极小值为，极大值为，而，故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；设过点的直线与的图象相切，切点为，因为，，所以切线方程为．将代入，得．令，则，所以在，上单调递增，在上单调递减．因为，，，所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．故选：BCD．【点睛】51 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．4．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（）A．无极小值B．有极小值C．无极大值D．有极大值【答案】AD【分析】将函数的解析式变形为，利用复合函数的求导法则可求得，利用导数可求得函数的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：，所以，令得，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以有极大值且为，无极小值.故选：AD.【点睛】51 本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.5．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（）A．在单调递增B．在单调递增C．在上有极大值D．在上有极小值【答案】AC【分析】首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.【详解】由得，则即，设，即在单调递增，在单调递减即当时，函数取得极小值.故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.6．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（）51 A．的单调减区间是B．的极小值是C．当时，对任意的且，恒有（a）（a）D．函数有且只有一个零点【答案】BCD【分析】由，知，令，得，，分别求出函数的极大值和极小值，知错误，正确；由，且，令利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故正确；【详解】解：，其导函数为．令，解得，，当时，即，或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，错误，正确；令，则故在上，即在51 上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即对任意的，恒有，即，故正确；故选：．【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．二、单选题7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有极大值B．有极小值C．有极大值D．有极小值【答案】A【分析】51 由函数的图象，可得时，；时，；时，.由此可得函数的单调性，则答案可求.【详解】解：函数的图象如图所示，∴时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.∴有极大值.故选：A.【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.8．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（）①的解集是；②是极大值，是极小值；③没有最大值，也没有最小值；④有最大值，没有最小值；⑤有最小值，没有最大值.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】51 直接不等式可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤【详解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正确；由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以②错误；因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题9．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；51 ④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】A【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；则是函数的极小值点，故①正确；∵在上单调递增，不是函数的最小值点，故③不正确；∵函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故④不正确.故选：A【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1.先求出原函数的定义域；2.对原函数求导；3.令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；51 4.若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．10．已知函数，函数零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】令，讨论的取值范围：当时或当时，可得或，讨论的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令，则，（1）当时，，即，即.当时，有一个解.当时，，，；，，且.当时，，而，所以方程无解.（2）当时，，由（1）知，即.当时，有一个解.51 当时，，所以无解.综上，函数有两个零点.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.11．设函数，则（）A．有极大值且为最大值B．有极小值，但无最小值C．若方程恰有3个实根，则D．若方程恰有一个实根，则【答案】C【分析】求导后求出函数的单调区间，再根据当时，；、，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.【详解】，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，，，再由，，可画出函数图象草图，51 如图，由图象可知，为函数的极大值但不是最大值，故A错误；为函数的极小值，且为最小值，故B错误；若要使有3个实根，则要使函数的图象与函数的图象有3个交点，则，故C正确；若要使恰有一个实根，则要使函数的图象与函数的图象仅有1个交点，则或，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题.三、解答题12．已知函数.（1）若，求在区间上的极值；（2）讨论函数的单调性.51 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当时，，所以，，列表；单调递减极小单调递增所以，在区间上的有极小值，无极大值；（2）函数的定义域为，.当时，，从而，故函数在上单调递减；当时，若，则，从而；若，则，从而.51 故函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.13．设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为；（2）.【分析】（1）当时，，对求导判断单调性、即可求得极值；（2）对求导，利用导函数得符号判断出的单调递增区间是，单调递减区间是，然后对参数进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数有2个零点时实数的取值范围.51 【详解】（1）的定义域是，当时，，.令，得或（舍）.所以在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极小值，极小值为.无极大值（2）函数的定义域为，令，则，所以当时，；当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.①令，得，当，的最小值为，即有唯一的零点；②当时，的最小值为，51 且，即不存在零点；③当时，的最小值，又，，所以函数在上有唯一的零点，又当时，，，令，则，解得，可知在上递减，在上递增，所以，所以，所以函数在上有唯一的零点，所以当时，有2个不同的零点，综上所述：实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.51 14．（1）已知，，若，且图象在点处的切线方程为，求的值.（2）求函数在上的极值.【答案】（1），，；（2）极大值为，极小值为.【分析】（1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解；（2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为，所以即，由可得，因为图象在点处的切线方程为，所以，，即，，所以，，；（2）由可得，所以当时，；当时，；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数在上的极大值为，51 极小值为.15．已知函数.(1)若函数，求函数的极值；(2)若在时恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）的极大值是，无极大值；（2）.【分析】（1）先写函数并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数，再研究函数最大值得到的取值范围，即得结果.【详解】解：（1），定义域为，.；；当变化时，的变化情况如下表:1-0+↘极小值↗由上表可得的极大值是，无极大值；51 （2）由在时恒成立，即，整理为在时恒成立.设，则，当时，，且，.当时，，设在上单调递增，当时，；当时，，，使得∴当时，；当时，.∴当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增..，，∴当时，，51 的最小值是.【点睛】利用导数研究函数的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.16．已知函数，（其中）.（1）求函数的极值；（2）若函数在区间内有两个零点，求正实数的取值范围；（3）求证：当时，.（说明：是自然对数的底数，）【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1），利用导数求出其单调性，然后可得极值；（2），利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解；（3）问题等价于求证；设，利用导数求出其最大值，然后证明即可.51 【详解】（1）∵，∴，由，得，由，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.（2）函数，则，令，∵，解得，或（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.函数在区间内有两个零点，只需，即，∴，51 故实数的取值范围是.（3）问题等价于，由（1）知的最小值为.设，，易知在上单调递增，在上单调递减.∴，∵，∴，∴，故当时，【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解.17．已知函数，．（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）1个．【分析】（1）先求得，然后求，对分成和两种情况进行分类讨论，结合单调性求得的极值.51 （2）首先判断在上递增，结合零点存在性定理判断出的零点个数.【详解】（1），，，．，①当时，恒成立，在上是增函数，无极值．②当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值，无极大值．（2）由（1）知，当时，的极小值，结合的单调性可知，即恒成立．在上是增函数，，，在中有一个零点，函数的零点个数为1个．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：51 1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；3.分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.18．已知函数，在时取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.【分析】（1）利用极值定义，列式，求出值并验证即可；（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.【详解】解：（1）函数，则，函数在时取得极值，故，解得，此时，，函数确实在时取得极小值.故的值是；（2）因为，当时，当时，故函数的单调增区间是，单调减区间是.19．已知函数，是奇函数.51 （1）求的表达式；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）极大值，极小值.【分析】（1）求导，由得到的表达式，然后利用是奇函数求解.（2）由（1）知，求导，再利用极值的定义求解.【详解】（1）函数，所以，所以，因为是奇函数，所以，所以，解得，所以的表达式为.（2）由（1）知，51 则，当或时，，递减；当时，，递增；所以当时，取得极大值，当时，取得极小值.【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，求不等式的解集；（3）当时，若当，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）；（3）.【分析】（1）先代入参数对函数求导，令，列表判断单调性，即得极值情况；（2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式，即得结果；（351 ）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果；【详解】（1）当，定义域令，得列表如下：-0+↘极小值↗∴当时，有极小值，无极大值；（2）当令令列表如下：1-0+51 ↘极小值↗当时，有极小值，即在单调递增，，故不等式即，故解集为；（3）当，当，恒有成立，即，恒有成立.令令，在单调递增，①若，即，，即，即在单调递增.成立.即时，当，恒有成立.②若，即，取在单调递增，，使得，∵当，即，51 在上单调递减，∴当时，不恒成立，即不恒成立.综上：.【点睛】利用导数研究函数极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和③根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.21．已知函数(aR).（1）讨论的极值；（2）若a＝2，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】(1)先写定义域求导，对a分类讨论研究函数导数的正负，即确定函数的单调性和极值情况；(2)a＝2时令化简不等式得，讨论t进行参数分离，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题，即得结果.【详解】解：（1）由题意，函数的定义域为，且51 ∴（i）当a=0时，恒成立，则在定义域上单调递增，此时无极值；（ii）当a≠0时，，可令，解得，所以①当时，且当时，此时，即单调递减；当时，此时，即单调递增，则的极小值为=，无极大值；②当时，且当时，此时，即单调递增；当时，此时，即单调递减，则的极大值为=，无极小值；综上所述，当a=0时，无极值；当时，有极小值，无极大值；当时，有极大值，无极小值.（2）若a＝2，，不等式化为则令，则不等式化为，所以①当时，参变分离得，设，，则在上单调递增，∴.51 ②当时，不等式化为0>-1，显然成立.③当时，，则，可令，解得，且当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，所以，所以.综上所述，要使不等式恒成立，需实数m的取值范围为.【点睛】利用导数研究函数的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.22．已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求.51 【详解】解：由题意可知函数的定义域为R.（1）因为.所以，由，得，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以为一个零点.所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.令，则，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有最小值，时，，时，.51 若方程有两个非零实根，则，即.若，方程只有一个非零实根，所以.综上，.【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.23．函数.（1）求的极大值和极小值；（2）已知在区间D上的最大值为20，以下3个区间D的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？请说明理由.①；②；③【答案】（1）极大值25，极小值-7；（2）区间①③不符，区间②符合，理由见解析.【分析】（1）先求解出，根据分析得到的单调性，从而的极值可求；（2）根据在所给区间上的单调性以及极值，分析得到的最大值，由此判断所给区间是否符合条件.【详解】(1)，令，或，当时，当时，当时，在和上单调递减，在上单调递增，51 的极大值为，极小值为(2)当区间为①时，在上递减，在上递增，，，所以，不符合；当区间为②时，在上递减，在上递增，，，所以，符合；当区间为③时，在上递减，在上递增，，，所以，不符合，综上可知：区间①③不符，区间②符合.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间不含参数，则只需对求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间含有参数，则需对求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.51 24．已知函数.（1）求函数的极小值；（2）关于的不等式在上存在解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值；（2）由参变量分离法得出在区间上有解，令，可得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，进而可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，.当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为；（2）由得，令，由在有解知，，，51 令，则.当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数在区间上单调递增，，，所以，，使得，即，且当时，，，此时函数单调递减，则；当时，，，此时函数单调递增，则.所以，当时，，则.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式在区间上有解的问题，考查参变量分离法的应用，属于中等题.25．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间51 （Ⅱ）设，若函数在有两个零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）在单调递增，在单调递减；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导函数的正负得函数的增减区间.（Ⅱ）分离常数转化为两个函数图像的交点个数，再利用求导求函数的值域，最后得参数范围.【详解】（Ⅰ）当时,则定义域为时，得，解得的单调增区间为时，得，解得的单调减区间为（Ⅱ）因为函数在有两个零点所以在有两个实根51 即在有两个实根所以函数与图象有两个交点令解得当时，，单调递增；当时，，单调递减所以为极大值点，取得极大值，也是最大值又，因为函数与图象有两个交点所以所以.51 【点睛】本题求函数的单调区间和最值问题，都是利用导函数来解决.利用导数求单调区间和极值一般步骤为：求函数的定义域求导令导函数大于0.解得对应x范围即为增区间；令导函数小于0.解得对应x范围即为减区间最后判断极值点求出极值求出特定区间的端点对应的函数值，与极值比较得最值.26．已知函数的极大值为2.（1）求a的值和的极小值；（2）求在处的切线方程.【答案】（1），极小值为；（2）.【分析】（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出，即可得出极小值；51 （2）根据（1）的结果，先得到，，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】（1）由得，令或，令，所以在和上单调递增，在上单调递减，故在处取极大值，即.则在处取得极小值；（2）由（1）知，故，由导数的几何意义可得，在处的切线斜率为.故其切线方程为：，即.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：（1）对函数求导；（2）解导函数对应的不等式，得出单调区间；（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.27．已知函数.51 （1）讨论的极值；（2）若方程在上有实数解，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形讨论函数的单调性，进而得极值；（2）题意等价于在上有实数解，对函数进行求导，当时，恒成立；当时，通过判断单调性及最值可得结果.【详解】（1）函数的定义域是，由已知可得.当时，，在上单调递减.此时无极值；当时，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以有极小值，无极大值.综上，当时，无极值；51 当时，的极小值为，无极大值.（2）令.方程在上有实数解，即在上有零点.当，时，，，所以，此时不存在零点.当时，.因为，所以，，所以，故在上单调递增.所以，.所以要使在上有零点，则，即，解得.即的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；51 （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解28．设函数，其中，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的极值.【答案】（1），，；（2）极小值为0，极大值为.【分析】（1）由导数的几何意义可得，再由点在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为，切线的斜率为，所以，又，所以，所以，由点在直线上，可得，即，所以；（2）由（1）得，则，51 当时，；当时，；所以的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，极大值为.29．已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）若，试讨论函数在上的零点个数.【答案】（1）当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值；（2）当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点．【分析】（1）把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．【详解】（1）当时，，，，令得或，得51 所以函数在上单调递减，在，上单调递增所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，（2），令得或因为，所以，所以当，即时，在上单调递减，若函数有零点，则，解得：，若函数无零点，则，即当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，51 所以在上递减，，即，所以在上递增，，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点．【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．30．如图，等腰梯形中，，，BC中点为O，连接DO，已知，，设，，梯形的面积为；（1）求函数的表达式；（2）当时，求的极值；（3）若对定义域内的一切都成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）51 【分析】（1）分别计算，，的面积，得到函数的表达式；（2）利用导数研究函数的极值；（3）由，恒成立，转化为，恒成立，再构造函数，，利用导数研究函数的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得在递增，得到答案.【详解】（1）连接，作于，于，如图所示则，又，则故，（2）由，则，，则，51 由，则，当时，，当时，，故在递增，在递减，故的极值为（3）由，恒成立，则，恒成立，则，恒成立，令，，则，，令，，则，，令，，则，则在递增，则，则，则在递增，则在递增，则，故【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.51