23个求极值和值域专题
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23个求极值和值域专题21、求函数fx()=+−+xx3x2的值域.2、求函数fx()=++x2713−+xx的值域.3、求函数fx()=−+x524−3x的值域.2x1+4、求函数fx()=的值域.x1−22x++bxc5、已知函数fx()=（其中b0<）的值域是[,]13，求实数bc,.2x1+222xyz++6、已知：xyz,,为正实数，且x++≥yzxyz，求函数fxyz(,,)=的最小值.xyz227、已知：2x++=3xy2y1，求：fxy(,)=++xyxy的最小值.12138、设函数fx()=−+x在区间[,]ab的最小值为2a，最大值为2b，求区间[,]ab.22229、已知：x+=y25，求函数fxy(,)=−++++8y6x508y6x50的最大值.2210、求函数：fx()=+++++x2x10x16x68的最小值.2xx−11、求函数：fx()=的值域.2x−+4x422x2x32x2x312、已知实数xxx123,,满足x11++=和x31++=，求x3的最小值.232322213、求函数：fxy1y(,)()(=−++−++−xy3)(2xy6)的最小值.14、已知：x1y25++−=，求函数：fxyxy(,)=+的最小值.22xy15、已知点Pxy(,)在椭圆+=1上，求fxy(,)=2x−y的最大值.4916、求函数：fx()=++−2x83x的值域.x217、求函数：fx()=++1x++2x2的值域.218、求函数：f()x1x1x2x2x3x3x=++−+++−+++−sinsinsinsinsinsin的最大值.19、设：xi(i=123,,,...,2003)为正实数，且满足x1+x2++...x2003=2003，试求：yxxxx=1++22+++3...x2002+x2003+x2003+x1的最小值.222xyz20、已知xyz,,为正实数，且满足++=2，2221x1y1z+++xyz求：fxyz(,,)=++的最大值.2221x1y1z+++1121、设α为锐角，求：f11()α=(++)()的最小值.sinααcos22、设α为锐角，求证：2ααα<+sintan.,xy+2yz523、已知xyz,,为正实数，求证：≤.xyz222++223个求极值和值域专题解析21、求函数fx()=+−+xx3x2的值域.2解析：函数fx()=+xx−+=+3x2x(x1x2−)(−)的定义域为：(,][,)−∞12+∞.3x−2函数的导函数为：fx1'()=+3122(x−−)()223x−32⑴当x1∈−∞(,]时，x0−<，则<−123122(x−−)()223x−2故fx1'()=+<03122(x−−)()22即：函数fx()在x1∈−∞(,]区间为单调递减函数，故：fx()≥=f11()；fx()≤=limfx()limfx(−)xx→−∞→+∞(x22++−3x2)()x22=lim(x++−3x2x)=limxx→+∞→+∞x22+++3x2x23+3x2+x33=lim=lim==xx→+∞x22+++3x2x→+∞32112+11+++xx23故：函数在该区间的值域是[,)1.23x−32⑵当x2∈[,)+∞时，x0−>，则fx1'()=+>023122(x−−)()22,即：函数fx()在x2∈[,)+∞区间为单调递增函数，故：fx()≥=f22()；2fx()≤limfx()=lim(x3x2x+++)=+∞xx→+∞→+∞故：函数在该区间的值域是[,)2+∞.3综上，函数的值域是[,)[,)12+∞.2本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.2、求函数fx()=++x2713−+xx的值域.解析：函数fx()的定义域是：x∈[,]013.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：ABC0,,>，则柯西不等式为：2221112[(Ax+27)+(B13−+x)(Cx)][++≥]f()xABC2111即：f()[(x≤−+ABCx)+(27A13B+)][++]ABC令：ABC0−+=，即：BAC=+①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：Ax+=27Cx②B13−=xCx③2222x+27C27C−A27A由②得：=，即：=，即：x=④xA2xA222CA−222227A27A将①④代入③得：(AC+−)(13)=C⋅2222CA−−CA222222即：(AC+)(13C−−=13A27A)27AC2222221340即：(AC+)(13C−=40A)27AC，即：(AC+)(−=)27⑤22AC试解⑤，由于27333=××，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.1340则：AC3+=，且−=3.则：A1=，C2=，B3=22AC227A27代入④得：x9===，即x9=时函数取得极大值.222CA21−−函数极大值为fx()==++9927139−+=++=962311,⑴当x09∈[,]时，函数fx()在本区间为单调递增函数.故：fx()≥=++=+f0()271303313即：函数fx()在x09∈[,]区间的值域是[33+1311,]⑵当x∈[,]913时，函数fx()在本区间为单调递减函数.故：fx()≥=++−+=+=+f13()1327131313401321013即：函数fx()在x∈[,]913区间的值域是[210+1311,]综上，函数fx()的值域是[33+1311,].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数fx()=−+x524−3x的值域.解析：函数fx()的定义域是：x58∈[,].待定系数法用于柯西不等式来解本题.22211设：AB0,>，则柯西不等式为：[(Ax5−+)(B24−3x)][+≥]f()xAB211即：f()[(x≤A3Bx−)+−+(5A24B)][+]AB令：A3B−=0，即：A=3B①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：Ax5−=B24−3x②22222x5−3Bx58−+−x3B+A即：A()(x5−=B24−3x)，即：=，即：=8x−A28x−A2222233B+A3A3A即：=，即：8x−=，即：x8=−③8x−A23B22+A3B22+A227B27923将①式代入③式得：x8=−=−=−=883B22+9B124423当x=时，函数fx()达到极大值.极大值为：42323233324⋅+24323⋅f()=−+524−⋅=3+−444444,33+24327=+=+=2344221324−−−3x3x5函数的导函数为：fx'()=−=2x5−224−3x2x524−−3x23⑴当x5∈[,]区间时，fx0'()<，函数fx()单调递增.故：4fx()≥f5()=+024−⋅=353即：函数fx()在本区间的值域是[,323].23⑵当x8∈[,]区间时，fx0'()>，函数fx()单调递减.故：4fx()≥f8()=−+=8503即：函数fx()在本区间的值域是[,]323.综上，函数fx()的值域是[,]323.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.x12+4、求函数fx()=的值域.x1−解析：函数fx()的定义域是：x∈−∞(,)(,)11+∞.则函数fx()为：22x1++x1fx()==±=±gx()（当x1<时取负号，当x1>时取正号）x1−()x1−2于是函数的极值在：gx0'()=222x1x12xx1()−()()+−−22即：gx'()==[(x+−−=1xx1)()]043()x1−−()x12即：(x+−−=1xx10)()，即：x1=−2()−+112⑴在x1∈−∞−(,)区间，函数fx()的极值为：fx()=−=1=−−−112在区间的边界有：,11+x12+x2limfx()=lim(−=)lim(−=)−1xx→−∞→−∞()x1−2x→−∞12()1−x2x1+limfx()=lim(−)=−∞2x1→→x1()x1−2故：函数fx()在该区间的值域是(,]−∞−.22x+12x⑵在x1∈(,)+∞区间，函数fx()==1+，为单调递减函数.22()x1−−()x12x1+故有：fx()≤limfx()=lim()=+∞；2x1→→x1()x1−2x+12xfx()≥=limfx()lim()=+=lim(1)122xx→+∞→+∞()x1−−x→+∞()x1故：函数fx()在该区间的值域是(,)1+∞.2综上，函数fx()的值域是(,−∞−](,)1+∞.本题方法属“单调性法”222x++bxc5、已知函数fx()=（其中b0<）的值域是[,]13，求实数bc,.2x1+解析：函数的定义域为xR∈.222将函数变形为：yx12()+=++xbxc，即：()2−yx++−=bx()cy0222其判别式不等式为：∆=−−−=−++−≥b42ycy()()(b8c42cy4y)()0b22即：[()−++−≥2c](2cy)y0①22而函数fx()的值域是[,]13，即：(y13y0−−≥)()，即：−+−≥34yy0②b2b2对比①②两式得：c2=，()−=2c−3，即()=1，因b0<，故：b2=−22故：实数b2=−，c2=.此法称为“判别式法”.222xyz++6、已知：xyz,,为正实数，且x++≥yzxyz，求函数fxyz(,,)=的最小值.xyz,3解析：首先设xyza===，代入x++=yzxyz得：3a=a，即：a3=，则：2222xyz++xyz++⑴当xyz=33时，由均值不等式QAnn≥，即：≥得：3322222(x++yz)()xyzxyz++≥≥332222x++yz()xyzxyz则：fxyz(,,)=≥==3xyz3xyz3222xyz++32⑵当xyz<33时，由均值不等式AGnn≥，即：≥()xyz得：322232x++≥yz3()xyz22232xyz++3()xyz33则：fxyz(,,)=≥=≥=3xyzxyz3()xyz3()332222()xyz++⑶当xyz>33时，由均值不等式QAnn≥，即：xyz++≥322222(x++yz)()xyz代入已知条件x++≥yzxyz，得：xyz++≥≥332222x++yz()xyzxyz33则：fxyz(,,)=≥=≥=3xyz3xyz33222xyz++故：由⑴、⑵、⑶得，fxyz(,,)=的最小值是3.xyz本题先确定xyz=均值，然后在xyz>均值和xyz<均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.227、已知：2x++=3xy2y1，求：fxy(,)=++xyxy的最小值.222解析：由已知条件2x++=3xy2y1得：xy=+−2x()y12代入fxy(,)=++xyxy得：fxyzxyx(,)==++=+++−yxy2xy1()2即：2xy()()+++−+=xy1z0()2令：txy=+，则方程变为：2t+−+=t()1z0219采用判别式法得：∆=+⋅⋅+≥1421z0()，即：()1z+≥−，即：z≥−88,9故：fxy(,)=++xyxy的最小值是−.此题采用的是“判别式法”812138、设函数fx()=−+x在区间[,]ab的最小值为2a，最大值为2b，求区间[,]ab.22解析：首先，fx()是一个偶函数，在(,)−∞0区间单调递增，在(,)0+∞区间单调递减.⑴当0ab<<时，fx()为单调递减函数，即：fa()>fb().故：fa()是最大值为2b，fb()是最小值为2a.即：1213fa()=−+=a2ba2+−=4b13022即：（*）fb()=−+=1b2132ab2+−=4a1302222（*）两式相减得：(a−−−=b)()4ab0，即：ab4+=①222则:()a+=b16，即：()a+=−b162ab②22（*）两式相加得：(a+++=b)()4ab26将①②式代入后化简得：ab=3③由①③得：a1=，b3=.则区间[,]ab为[,]13.1313⑵当a0<、b0>时，fx()的最大值是f0()=，即：b=.221213i.若ab>，则fx()的最小值为：fa()=−+=a2a，222即：a+−=4a130，解之及a0<可得：a=−−217，13故此时区间[,]ab为[−−217,].41213ii.若ab<则fx()的最小值为：fb()=−+=b2a，221221311313131313339即：ab=−+=−()+=−=⋅=(1)，4444441641664则：a0>.不符合题设，即此时无解.⑶当ab0<<时，由fx()是一个偶函数可得：fa()<fb()，故：,fa()是最小值为2a，fb()是最大值为2b，即：1213fa()=−+=a2aa2+−=4a13022即：fb()=−+=1b2132bb2+−=4b130222则：ab,为一元二次方程x+−=4x130的两个根，ab4+=−由韦达定理得：，则由ab=−13得：ab=−13ab,异号，不符合题设，即此时无解.13综上，区间[,]ab为[,]13或[−−217,].本题采用“分别讨论法”和“极值法”.4229、已知：x+=y25，求函数fxy(,)=−++++8y6x508y6x50的最大值.22解析：由x+=y25可知，函数fxy(,)的定义域是：x∈−[,]55，y∈−[,]55有均值不等式aqnn≤，即：228y6x−++++508y6x50(8y6x−++50)(8y6x++50)≤2222(8y6x−++50)(8y6x++50)即：fxy(,)≤=228y50+2即：fxy(,)≤285×+=50610当y5=时，x0=，f05(,)=610，即可以取到不等式的等号。故：函数fxy(,)的最大值是610.本题采用aqnn≤，称为“均值不等式”.2210、求函数：fx()=+++++x2x10x16x68的最小值.222222解析：函数fx()=+++++=+++++x2x10x16x68(x1)3(x8)2其定义域为：xr∈令：m=−+((x13),)，n=(x82+,)2222则：m=++()x13，n=++()x82，mn75+=(,)22于是：fx()=+≥+=+=mnmn7549+=2574,−+()x13当mn>，则柯西不等式为：221122[(A2x++)(B83x−)][+≥++−](2x83x)=f()xAB21111即：f()[(x≤++−A2x)B83x()][+=++−][(2A8B)(A3Bx)][+]①ABAB令：A3B−=0，则：A=3B②由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：,22A2x+=B83x−，即：A2x()()+=B83x−，2222228B−2A即：()A+=3Bx8B−2A，则：x=③22A+3B228B−18B105将②代入③得：x==−=−9B22+3B126555763242函数的极值为：f()−=2−+83−⋅−()=+=6666635⑴在x2∈−−[,]区间，函数fx()单调递增，故：6fx()()≥−=f22+−+()28−⋅−=3()214242于是，函数fx()在该区间的值域是[,]14.358⑵在x∈−[,]区间，函数fx()单调递减，故：638881442fxf()≥()=+2()+−⋅83()=+=03333342242于是，函数fx()在该区间的值域是[,].3342242综上，函数fx()的值域是[,].33此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.x217、求函数：fx()=++1x++2x2的值域.2x2解析：函数fx()=++1x++2x2的定义域是：xR∈.本题采用判别式法.2x2令：y=fx()−=+1x++2x2①2x2则：y−=x++≥2x20②2,2x2222x即：()y−=++x2x2，即：y−+=++yxx2x224322即：x+++−=()(2yx2y)0③42322由③的判别式得：∆=+()2y−⋅⋅−4()2y=4y+−≥4y20421211131322即：yy+≥，即：yy++≥+=，即：()()y+≥242442213131313故：y+≥或y+≤−，即：y≥−+或y≤−−22222222x13由于②式即y0−≥的条件必须那满足，故y≥−+.22213+13+此时，fxy1()=+≥，函数fx()的值域为[,)+∞.此法为“判别式法”.2218、求：f()x1x1x2x2x3x3x=++−+++−+++−sinsinsinsinsinsin的最大值.解析：由均值不等式AQ≤得：nn1x1x1x1x+sin+−sin(+sin)(+−sin)≤=1222x2x2x2x+sin+−sin(+sin)(+−sin)≤=2223x3x3x3x+sin+−sin(+sin)(+−sin)≤=322所以,两边相加得：fx()(≤++2123)在x0=时，f0()=++21(23)，即不等式的等号可以取到.故:fx()的最大值为21()++23.此法为“均值不等式”.19、设：xi(i=123,,,...,2003)为正实数，且满足x1+x2++...x2003=2003，试求：yxxxx=1++22+++3...x2002+x2003+x2003+x1的最小值.解析：由均值不等式AQ≤得：nn,xx12+x1+≤x22=2xx12+2xx23+x2+≤x23=2xx23+2……xx2002+2003x2002+≤x20032=2x2002+x20032xx2003+1x2003+≤x21=2x2003+x12不等式两边分别相加得：2(x1+xx22++...2003)≤(x1+++xx2...2002+xx2003+2003+x1)即：y≥×=2200320032当xx1=2=...=x2003=1时，y=20032，即不等式的等号可以取到.故：y的最小值是20032.此法为“均值不等式”.222xyz20、已知xyz,,为正实数，且满足++=2，2221x1y1z+++xyz求：fxyz(,,)=++的最大值.2221x1y1z+++222111xyz解析：由++=3−++=()321−=2222221x1y1z+++1x1y1z+++由柯西不等式得：222xyz2xyz111()++≤++()()++2222222221x1y1z+++1x1y1z1x1y1z++++++xyz2即：()++≤×=2122221x1y1z+++xyz故：fxyz(,,)=++≤22221x1y1z+++因此，fxyz(,,)的最大值是2.此法为“柯西不等式”.1121、设α为锐角，求：f11()α=(++)()的最小值.sinααcos,11111解析：f11()α=(+)(+=)1+++sinαcosαsinαcosαααsincos11将与通分，并与最后一项合并得：sinαcosαsinαα++cos12(sinαα++cos1)f1()α=+=1+①sincosαα2sincosαα222由(sinαα+=++cos)sinαcosα2sincosαα=12+sincosαα得：22sincosαααα=+−(sincos)111=++(sinααcos)(sinαα+−cos)代入①式得：212(sinαα++cos)f1()α=+=1+②(sinαα++cos11)()sinαα+−cos再由辅助角公式得：22πsinαα+=cos22(sinα+cos)α=sin(α+)224代入②式得：2f1()α=+③π21sin(α+−)4π由③式及α为锐角，当sin(α+)达到最大值1时，f()α达到最小值，4π2即：当sin(α+=)1时，f()α=1+=322+.421−π故，当α=时，f()α达到最小值，最小值为322+.4此法为“辅助角公式法”.22、设α为锐角，求证：2ααα<+sintan.π解析：因为α为锐角，函数定义域为：α∈(,)0，所以，αααα,sin,cos,tan>02构造函数：f2()α=+−sinαtanαα则函数的导函数为：,321cosαα+−12cosf2'()αα=cos+−=22cosααcos3244cosα+−(12cosααα+cos)cos−f'()α=2cosα322cosαα(11−cos)(+−cosα)2==−+cos(ααα1cos)tan2cosα因为：cosα>0，10−>cosα，tanα>0，所以：f0'()α>π即：在定义域α∈(,)0区间，函数f()α为单调递增函数，2故：f()α>=f00()，即：2ααα<+sintan.证毕.xy+2yz523、已知xyz,,为正实数，求证：≤.xyz222++2解析：采用待定系数法解本题：22222222222令：xyzxaybyz++=+++，（a0b0>>,），则：ab1+=，xy+2yzxy+2yzxy++2yz1xy2yz于是，=≤=⋅xyzxaybyz2++22(2+22)(+22+2)(2axy)(+2byz)2abxy+yzaxy++2yz1xy2yz即：≤⋅①xyz222++2abxy+yzab2222115令：=2，则代入ab1+=得：a+=4a1，即：a=，即：=a52a2b15xy+2yz5将=2，=代入①式得：≤.证毕.a2a2xyz222++2此法为“待定系数法”.另一种方法：参数法xy+2yz5m2n+5令：x=my，z=ny，代入≤得：≤xyz222++2mn122++22222222即证：()m2n+≤++mn1，即证：m−⋅+−⋅+≥mn2n10，555,12221222即证：(mn1−+)(−+)−−≥()()055551222即证：(mn0−)(+−)≥55而这是显然成立的.证毕.</fb()，故：,fa()是最小值为2a，fb()是最大值为2b，即：1213fa()=−+=a2aa2+−=4a13022即：fb()=−+=1b2132bb2+−=4b130222则：ab,为一元二次方程x+−=4x130的两个根，ab4+=−由韦达定理得：，则由ab=−13得：ab=−13ab,异号，不符合题设，即此时无解.13综上，区间[,]ab为[,]13或[−−217,].本题采用“分别讨论法”和“极值法”.4229、已知：x+=y25，求函数fxy(,)=−++++8y6x508y6x50的最大值.22解析：由x+=y25可知，函数fxy(,)的定义域是：x∈−[,]55，y∈−[,]55有均值不等式aqnn≤，即：228y6x−++++508y6x50(8y6x−++50)(8y6x++50)≤2222(8y6x−++50)(8y6x++50)即：fxy(,)≤=228y50+2即：fxy(,)≤285×+=50610当y5=时，x0=，f05(,)=610，即可以取到不等式的等号。故：函数fxy(,)的最大值是610.本题采用aqnn≤，称为“均值不等式”.2210、求函数：fx()=+++++x2x10x16x68的最小值.222222解析：函数fx()=+++++=+++++x2x10x16x68(x1)3(x8)2其定义域为：xr∈令：m=−+((x13),)，n=(x82+,)2222则：m=++()x13，n=++()x82，mn75+=(,)22于是：fx()=+≥+=+=mnmn7549+=2574,−+()x13当mn>
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