2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02（解析版）

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，则等于（    ）．A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.【详解】由集合，根据交集的定义可知.故选：A．2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）   A．  B．  C．  D．  【答案】B【分析】根据题意，结合旋转体的定义，即可求解.【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.故选：B.3．命题“对任意的”的否定是（    ）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】“对任意的”的否定是：存在.故选：C．4．已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（    ）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算即得.【详解】由弧长公式得弧长，所以扇形的周长为.故选：C5．某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（    ）成绩（单位：环）678910人数12241A．2B．8C．8.2D．8.5 【答案】D【分析】利用中位数的定义即可得解.【详解】将射击成绩由小到大排列：，第个数分别为，因而中位数为.故选：D.6．下列命题中真命题是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.【详解】对于A，若，显然不能得出，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：D7．掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ）A．和有可能同时发生B．和是对立事件C．和是对立事件D．和是互斥事件【答案】C【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.【详解】依题意，事件，对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确；对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确；对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误；对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.故选：C8．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）．A．B．C．或D．或【答案】C 【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.【详解】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，所以或，即或.故选：C9．已知向量，若与垂直，则（    ）A．13B．C．11D．【答案】A【分析】由垂直向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，所以，若与垂直，则，解得：.故选：A.10．已知函数是奇函数，则的值可以是（     ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正弦型函数的奇偶性，得到关于的方程，找到满足条件的值即可.【详解】是奇函数，则只需，所以，所以时，.故选：D.11．已知，则（    ）A．B．3C．D．5【答案】C【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.【详解】由题意.故选：C.12．已知，则（    ） A．B．C．1D．2【答案】B【分析】化弦为切，代入求值.【详解】.故选：B13．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ）A．平行B．相交C．异面D．不平行【答案】A【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，则，故选：A.14．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.【详解】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即.故选：B. 15．在中，若，且，则的面积为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.【详解】由，故，故选：D二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）16．今年第5号台风“杜苏芮”于7月28日9时55分在福建晋江登陆，为1949年以来登陆福建的第二强台风，登陆后强度迅速减弱并一路北上影响黄淮、华北，给华北、黄淮等地带来较大范围的特大暴雨．华中地区某市受此次台风影响，最高气温同比有所下降，测得七天的最高气温分别是28，26，25，27，29，27，25（单位：℃），则（    ）A．该组数据的极差为4B．该组数据的众数为27C．该组数据的中位数为27D．该组数据的第70百分位数为28【答案】AC【分析】根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可.【详解】将这组数据按照从小到大的顺排列得，则该组数据的极差为，故A正确；该组数据的众数为和，故B错误；该组数据的中位数为27，故C正确；因为，所以该组数据的第70百分位数为第个数据，即，故D错误.故选：AC.17．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）A．与B．与C．与D．与 【答案】BC【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.【详解】A选项中：与对应关系不同，故不是同一函数，故A不正确；B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同，故是同一函数，故B正确；C选项中：当时，，当时，，所以，故与是同一函数，故C正确；D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D不正确.故选：BC．18．已知，则函数的图象可能是（    ）A．  B．    C．    D．    【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.19．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（    ） A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用正切函数的性质即可求解.【详解】由已知，令，得．当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以D正确；当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以B正确；当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以A正确；显然选项C错误.故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题43分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）20．正方体中，异面直线与所成角的大小为.【答案】/【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得.【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角，而，因此.所以异面直线与所成角的大小为.故答案为：21．已知函数是偶函数，则．【答案】1【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即，即，于是有，解得.故答案为：.22．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则．【答案】9【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果.【详解】数据1、2、3、4、5依次记为，数据3、6、9、12、15依次记为，则有，所以，即.故答案为：923．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．【答案】【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.【详解】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得．故常数a的取值范围为．故答案为：四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）24．已知向量， (1)若，求的值；(2)若，与垂直，求实数t的值；(3)若，求向量在向量上的投影向量的坐标．【答案】(1)2；(2)；(3)【分析】（1）利用向量平行得出，结合齐次式求解可得答案；（2）先求解向量坐标，利用垂直可得参数的值；（3）利用投影向量的公式可得答案.【详解】（1）因为向量，，，所以，即，则.（2）因为，所以，则，，因为与垂直，所以，所以.（3）因为，所以，投影向量.25．为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率．【答案】(1)，平均数为 (2)【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数公式计算平均数；（2）首先求出，各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）依题意可得，解得.又，即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时.（2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为所以利用分层抽样的方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，，记中的人为，，，，中的人为，，从这人中随机选出人，则样本空间共15个样本点；设事件：选出的人都来自，则共个样本点，所以.26．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的.(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数.【答案】(1)10.5万元(2)158【分析】（1）将代入解析式求出y，然后验证是否满足条件即可；（2）将问题转化为不等式恒成立问题，结合单调性即可求解.【详解】（1）当时，， 因为，所以，符合要求，故该企业可获得10.5万元奖金.（2），因为为正整数，所以在上单调递增，由题意知对时恒成立，故，解得.又，即在时恒成立，即所以正整数.综上，故最小正整数的值为158.