2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03（解析版）

2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数，则在复平面上的点在（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】复数在复平面上的对应的点为，所以在复平面上的点在第四象限.故选：D.2．，，则（    ）A．B．C．D． 【答案】B【详解】因为，，所以.故选：B.3．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则第10次出现正面向上的概率为，故选：A．4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ）A．B．C．2D．【答案】A【详解】因为为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选:A.5．将化为弧度制，正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】.故选：C.6．已知向量，，且，则（    ）A．9B．3C．6D．5【答案】C【详解】因为，，且，所以，解得.故选：C7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条B．4条C．5条D．6条【答案】B【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.8．函数的零点个数是（    ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】令，解得，所以函数的零点个数是个.故选：C.9．某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（    ）人A．B．C．D．【答案】B【详解】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，由分层抽样可得，解得.故选：B.10．（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，故选：D11．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（    ） A．29分钟B．27分钟C．29.5分钟D．30.5分钟【答案】B【详解】健身运动时间在30分钟以下的比例为，在25分钟以下的比例为，因此百分位数一定位于内，由，可以估计健身运动时间的样本数据的百分位数是27分钟．故选：B12．若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，，，所以.故选：A13．的内角的对边分别为，若，则（    ）A．B．C．或D．或【答案】D【详解】因为，则由正弦定理可得：，又，且，所以或．故选：．14．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（    ）A．至少一个黑球与至少一个红球B．至少一个黑球与都是黑球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少一个黑球与都是红球【答案】C【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．对于A，至少一个黑球与至少一个红球，能同时发生的情况有“恰有一个黑球 ”，故不是互斥事件，不符合要求；对于B，至少一个黑球与都是黑球，能同时发生的情况有“都是黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；对于C，恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，符合要求；对于D，至少一个黑球与都是红球，不能同时发生且“至少一个黑球”与“都是黑球”必有一个发生，是对立事件，不符合要求；故选：C．15．如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，在中，，，，，故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）16．若，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则 C．若，则D．若，则【答案】AD【详解】若，则，所以，即，A正确；若，，则，B错误；取，满足，但，C错误；若，则，所以，即，D正确.故选：AD17．已知向量，若，则实数m的值可以为（    ）A．B．0C．1D．2【答案】ABC【详解】因为，所以，解得或0或．故选：ABC18．下列计算正确的有（    ）A．B．C．D．已知，则【答案】CD【详解】A：，错误；B：，错误；C：，正确；D：，正确.故选：CD19．已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（    ） A．直线是图象的一条对称轴B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C．的最小正周期为D．在区间上单调递增【答案】ACD【详解】由得，∴.又，∴，∴.根据“五点法”可得，解得，故.令，得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B不正确；的最小正周期为，故C正确；当时，，故此时单调递增，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题43分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）20．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】命题“，”是假命题，故，解得或. 故答案为：.21．已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为.【答案】/0.25【详解】由题意，在中，，，∵复数为纯虚数∴，∴复数是纯虚数的概率为：，故答案为：.22．若（，且）是奇函数，则.【答案】/【详解】由，可得，因为是奇函数，所以，所以，解得.故答案为：.23．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为.【答案】【详解】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，，设直线BC方程为，则，解得，所以BC方程为，设，所以，得.故答案为：. 四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）24．（9分）如图，在四棱锥中，底面四边长为2的菱形，∠ABC=60°，底面，，M为的中点，N为BC的中点.(1)证明：直线平面；(2)求点B到平面OCD的距离．【详解】（1）如图，(1)证明:取OB中点,连接ME,NE，，平面OCD，平面OCD，所以ME平面OCD同理，平面OCD，平面OCD，所以NE平面OCD,平面MNE,平面MNE平面OCD，而平面，平面；（2）由题意得，；，CD边上的高等于,， ，.故点B到平面OCD的距离为25．（9分）已知函数且，且的图象过点.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【详解】（1）的图象过点，，又（2）在R上单调递增.26．（9分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，.(1)若，求，的值；(2)求面积的最大值.【详解】（1）由题设，又，所以，故.故，.（2）由.而，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.