2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02（解析版）

2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．小于2的自然数集用列举法可以表示为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题设，小于2的自然数有，所以，列举法表示集合为.故选：C2．如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】由题设母线长为，则，可得.故选：D.3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，走过的角度大小为，综上，分针走过的角度是．故选：D．4．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是（   ）A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6【答案】D【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6，6，8，所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.故选：D5．若事件E与事件F相互独立，且，则=（    ）A．0B．C．D．【答案】B【详解】由题意.故选：B6．已知，则的最小值是（     ）A．2B．3C．4D．5【答案】C 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：C7．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由解得，，因为“”是“”的必要不充分的条件，所以“”是“”的必要不充分的条件，故选:B.8．函数的值域是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】在上单调递增，在上单调递减，故当处取得最大值，最大值为，又时，，当时，，故值域为.故选：B9．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（）的图象A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象故选：D.10．复数的虚部为（    ）A．2B．C．D．【答案】C 【详解】依题意，复数的虚部为.故选：C11．设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，，所以.故选：C12．已知，则（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】因为，所以，故选：D13．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为二次函数的对称轴为，又函数在区间上为不单调函数，所以，故选：C.14．已知，则的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D. 15．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【详解】根据余弦定理知，，所以，则,故三角形为直角三角形，故选：二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）16．某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．图中的值为B．估计这名学生考试成绩的众数为C．估计这名学生考试成绩的中位数为D．估计这名学生考试成绩的上四分位数约为【答案】ABD【详解】根据频率和等于得：，，故A正确；由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为，则估计众数也为，故B正确；，， 可知中位数落在内，即中位数的估计值不是，故C错误；上图各组对应的频率分别为：，，，，，上四分位数在内，设第百分位数约为，则：，得，故D正确．故选：ABD17．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.故选：BD18．已知，且，则函数与的图象可能是（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】AC【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，函数的图象单调递减且过点；若，则函数的图象单调递增且过点，而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合．故选：AC19．已知函数，则（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称【答案】BD【详解】因为，令，则，所以的对称轴方程为：，令，则D正确，A错误；令，则，所以的对称轴中心为：，令，则的一个对称中心为，则B正确，C错误.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题43分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）20．已知复数是纯虚数，则实数.【答案】1【详解】由复数是纯虚数，得，解得，所以实数.故答案为：121．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为．   【答案】【详解】该树枝的树梢有处，有处能找到食物，所以获得食物的概率为.故答案为：.22．命题“”为真命题，则取值范围为．【答案】【详解】因为命题“”为真命题，所以，所以，即取值范围为.故答案为：.23．方程解的个数为.【答案】1【详解】解法一：令，则；在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示.由图可知函数与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点.故原方程只有1个解.解法二：因为，，所以，说明函数在区间内有零点.又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解.故答案为：1 四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）24．（9分）已知向量，.(1)求与；(2)当为何值时，向量与垂直？【详解】（1）因为，，故，故.（2），，因为向量与垂直，故，故.25．（9分）一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车轿车轿车舒适型标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．(1)求抽取的轿车中，类轿车的数量；(2)求的值；(3)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率．【详解】（1）根据分层抽样原则知：类轿车的数量为.（2）由（1）得：抽取的类轿车的数量为，根据分层抽样原则知：，解得：.（3）根据分层抽样原则可知：抽取的个样本中，舒适型有辆，记为；标准型有辆，记为；从个样本中任意抽取个，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中至少有个舒适型的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件； 所求概率.26．（9分）给定函数，，．用表示，中的较大者，即.(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；(2)写出函数的值域；(3)若，则求a的值．【详解】（1）由，得，或，得到；得到或，故，故的图像如图：（2）由图象可知当时，取最小值，故值域为．（3）当时，，∴．当或时，或（舍）故或