2024年延安中学八下期中数学试卷

2024年04月福州延安中学八年级数学期中考试一．选择题（共10小题）1．下列式子为最简二次根式的是()11A．B．3C．8D．x22．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()111A．，，B．3，4，5C．2，3，4D．1，3，43453．下列函数中，是一次函数的是()2x112A．yB．y1C．yx1D．yx3x4．已知函数y(m3)x2，若函数值y随x的增大而减小，则m的值不可能是()A．0B．1C．2D．55．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是()A．当BAC90时，平行四边形ABCD是菱形B．当ABC90时，平行四边形ABCD是矩形C．当ACBD时，平行四边形ABCD是菱形D．当ABBC且ACBD时，平行四边形ABCD是正方形6．一次函数y2x1的图象，可由函数y2x1的图象()A．向左平移2个单位长度而得到B．向右平移2个单位长度而得到C．向上平移2个单位长度而得到D．向下平移2个单位长度而得到17．在同一平面直角坐标系中，函数ykx与yxk的图象大致是()2第1页（共32页） A．B．C．D．8．已知一次函数y2x1m的图象不过第三象限，则m的取值范围是()A．m0B．m1C．m1D．m19．若样本x，x，x，，x的平均数为10，方差为4，则对于样本x3，x3，123n12x3，，x3，下列结论正确的是()3nA．平均数为10，方差为2B．众数不变，方差为4C．平均数为7，方差为2D．中位数变小，方差不变10．如图，在矩形ABCD中，DC3，AD3DC，P是AD上一个动点，过点P作PGAC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为()33A．B．C．3D．342二．填空题（共6小题）11．在函数y1x中，自变量x的取值范围是．第2页（共32页） 12．某同学对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，统计后发现：在22九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为S7.5，S2.6，则九甲乙月份每天营业额较稳定的超市是（填（甲”或“乙”)．13．有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是（写出一个即可）．14．如图，直线yxb与直线ykx6交于点P(3,5)，则关于x的不等式kx6xb的解集是．15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DEAB于点E，连接OE，若AB10，OE6，则菱形ABCD的面积为．16．如图，平面直角坐标系中，已知直线yx上一点P(1,1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90至线段PD，过点D作直线ABx轴，垂足为B，直线AB与直线yx交于点A，且BD2AD，连接CD，直线CD与直线yx交于点Q，则点Q的坐标为．三．解答题（共8小题）17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DEAF，DEAF第3页（共32页） 于点G．（1）求证：ABFDAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．18．已知一次函数ykxb的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,2)，4且与正比例函数yx的图象交于点C．3（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）求点C的坐标；（3）求这两个函数图象与x轴所围成的AOC的面积．19．快递员张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，到达小区后将快递投放到快递专柜，然后原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，张师傅距离快递公司的路程y（千米）与从公司出发所用时间x（小时）的函数图象如图所示，根据图象回答问题：（1）合理解释线段AB表示的实际意义；（2）图中a，直线BC的函数表达式为．（3）出发t小时，快递员距离快递公司10千米，求t的值．第4页（共32页） 20．每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如表：成绩（单50x6060x7070x8080x9090x100位：分）人数（单28121612位：人）其中80x90分的成绩如下：81，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，90；请回答：（1）直接写出此次竞赛成绩的中位数；（2）根据表格估计此次竞赛成绩的平均数；（3）根据数据，请写出两条可以获得的信息．21．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0a20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且ab4，若最大利润为4950元，请直接写出a的值．22．如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）求出AC的长；第5页（共32页） （2）若PCD是等腰三角形时，直接写出AP的长；（3）若AP2，求出CF的长．23．如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）求证：PCCF．24．已知直线a:y(x1)k1与x轴交于点P、与y轴交于点Q．（1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：（直接写出结果）；（2）直线b:y(k1)xk与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断BQM的面积是否为定值？若是定值，求BQM的面积；若不是，说明理由；（3）如图，过点Q在第二象限内作线段CQPQ，且CQAQ，连接AC，取AC的中点D．当k满足1k3时，求点D运动的路径长．第6页（共32页） 第7页（共32页） 2024年04月福州延安中学八年级数学期中考试重组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列式子为最简二次根式的是()11A．B．3C．8D．x2【考点】74：最简二次根式【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件对各个选项进行判断即可．1【解答】解：被开方数含分母，不是最简二次根式，A不正确；x3是最简二次根式，B正确；8被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不正确；1被开方数含分母，不是最简二次根式，D不正确；2故选：B．2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()111A．，，B．3，4，5C．2，3，4D．1，3，4345【考点】勾股定理的逆定理【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．121212【解答】解：A、()()()，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合453题意；222B、345，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；222C、234，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；222D、1(3)4，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：B．3．下列函数中，是一次函数的是()第8页（共32页） 2x112A．yB．y1C．yx1D．yx3x【考点】一次函数的定义【专题】运算能力；一次函数及其应用【分析】根据一次函数的定义ykxb(k0)逐项验证即可．2x121【解答】解：由一次函数的定义知，yx是一次函数，333故选：A．4．已知函数y(m3)x2，若函数值y随x的增大而减小，则m的值不可能是()A．0B．1C．2D．5【考点】F7：一次函数图象与系数的关系【专题】533：一次函数及其应用【分析】由一次函数y随x的增大而减小，得到m3小于0，求出不等式的解集即可得到m的范围，并确定其结论．【解答】解：一次函数y(m3)x2，y随x的增大而减小，一次函数为减函数，即m30，解得：m3，所以m的值不可能为5，故选：D．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是()A．当BAC90时，平行四边形ABCD是菱形B．当ABC90时，平行四边形ABCD是矩形C．当ACBD时，平行四边形ABCD是菱形D．当ABBC且ACBD时，平行四边形ABCD是正方形【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定第9页（共32页） 【专题】矩形菱形正方形；推理能力【分析】根据有一个角等于90的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定．【解答】解：A．当ABC90时，平行四边形ABCD是矩形而不是菱形，故该选项不正确，符合题意；B．当ABC90时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项正确，不符合题意；C．当ACBD时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；D．当ACBD且ACBD时，平行四边形ABCD是正方形，故该选项正确，不符合题意．故选：A．6．一次函数y2x1的图象，可由函数y2x1的图象()A．向左平移2个单位长度而得到B．向右平移2个单位长度而得到C．向上平移2个单位长度而得到D．向下平移2个单位长度而得到【考点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换【专题】一次函数及其应用；应用意识【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y2x1的图象向下平移2个单位后所得直线的解析式为：y2x1．故选：D．17．在同一平面直角坐标系中，函数ykx与yxk的图象大致是()2A．B．第10页（共32页） C．D．【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象【专题】推理能力；一次函数及其应用；几何直观【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．1【解答】解：A、由函数ykx的图象，得k0，由yxk的图象，得k0，2故符合题意；1B、由函数ykx的图象，得k0，由yxk的图象，得k0，k值相矛盾，2故不符合题意；1C、由函数ykx的图象，得k0，由yxk的图象不正确，故不符合题意；21D、由函数ykx的图象，得k0，由yxk的图象不正确，故不符合题意；2故选：A．8．已知一次函数y2x1m的图象不过第三象限，则m的取值范围是()A．m0B．m1C．m1D．m1【考点】一次函数图象与系数的关系【专题】几何直观；一次函数及其应用【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：一次函数y2x1m的图象不过第三象限，1m0，解得m1．故选：D．第11页（共32页） 9．若样本x，x，x，，x的平均数为10，方差为4，则对于样本x3，x3，123n12x3，，x3，下列结论正确的是()3nA．平均数为10，方差为2B．众数不变，方差为4C．平均数为7，方差为2D．中位数变小，方差不变【考点】众数；方差；中位数；算术平均数【专题】应用意识；统计的应用【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．【解答】解：样本x，x，x，，x的平均数为10，方差为4，123n样本x3，x3，x3，，x3的平均数为7，方差为4，众数和中位数123n变小．故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，DC3，AD3DC，P是AD上一个动点，过点P作PGAC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为()33A．B．C．3D．342【考点】垂线段最短；三角形中位线定理；矩形的性质【专题】矩形菱形正方形；推理能力【分析】取AP的中点F，连接EF，作GHAD于H，作ETGH于T，设APm，分别表示出PG，PH，PF，EF，进而表示出ET和GT，进而表示出EG，进一步得出结果．【解答】解：（方法一）：如图1，取AP的中点F，连接EF，作GHAD于H，作ETGH于T，设APm，四边形ABCD是矩形，第12页（共32页） D90，ABCD3，CDCD3tanDAC，AD3CD3DAC30，PGAC，11PGAPm，APT90DAC60，221113PHPGcosAPGmcos60m，GHPGsinAPGmsin60m，2424E是BP的中点，131EFAB，PFm，22233111GTGHHTGHEFm，ETFHPFPHmmm，42244在RtEGT中，2223321213329EGGTET(m)(m)(m)，4244216333当m时，EG的最小值为，24故选：A；如图2，延长PG至Q，使GQPG，连接AQ，BQ，PGAC，AQAP，QAP2CAD60，BAQ90QAP30，E是BP的中点，1EGBQ，213当BQAQ时，BQ最小，此时BQAB，223EG的最小值为：，4故选A．第13页（共32页） 二．填空题（共6小题）11．在函数y1x中，自变量x的取值范围是x1．【考点】函数自变量的取值范围【专题】函数及其图象；运算能力【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：1x0，解得：x1，故答案为：x1．12．某同学对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，统计后发现：在22九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为S7.5，S2.6，则九甲乙月份每天营业额较稳定的超市是乙（填（甲”或“乙”)．【考点】方差【专题】数据分析观念；统计的应用【分析】根据方差的意义求解即可．22【解答】解：S7.5，S2.6，甲乙22SS，乙甲九月份每天营业额较稳定的超市是乙，第14页（共32页） 故答案为：乙．13．有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是4（写出一个即可）．【考点】中位数【专题】统计的应用；运算能力【分析】根据中位数的意义求解即可．【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4，增加一个数a后，这列数的中位数仍不变，则这组数据从小到大排列为：2，3，4，a，4，6或2，3，4，4，a，64a4或a4，2a4．故答案为：4．14．如图，直线yxb与直线ykx6交于点P(3,5)，则关于x的不等式kx6xb的解集是x3．【考点】一次函数与一元一次不等式【专题】用函数的观点看方程（组)或不等式；几何直观【分析】观察函数图象得到当x3时，函数ykx6的图象都在yxb的图象下方，所以关于x的不等式kx6xb的解集为x3．【解答】解：由函数图象知，当x3时，kx6xb，即不等式kx6xb的解集为x3．故答案为：x3．15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DEAB于点E，连接OE，若AB10，OE6，则菱形ABCD的面积为96．第15页（共32页） 【考点】菱形的性质【专题】推理能力；运算能力；矩形菱形正方形【分析】由RtBED中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边1的一半，OE6，则BOODOEBD6，根据勾股定理求出AO8，得出2AC16，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，DEAB，BED90，BD2OE2612，1OBBD6，2AOB90，2222OAABOB1068，AC2OA16，11菱形ABCD的面积为：ACBD121696．22故答案为：96．16．如图，平面直角坐标系中，已知直线yx上一点P(1,1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90至线段PD，过点D作直线ABx轴，垂足为B，直线AB与直线yx交于点A，且BD2AD，连接CD，直线CD与99直线yx交于点Q，则点Q的坐标为(，)．44第16页（共32页） 【考点】FI：一次函数综合题【专题】16：压轴题【分析】过P作MNy轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DHy轴，交y轴于H，CMPDNPCPD90，求出MCPDPN，证MCPNPD，推出DNPM，PNCM，设ADa，求出DN2a1，得出2a11，求出a1，得出D的坐标，在RtDNP中，由勾股定理求出PCPD5，在RtMCP中，由勾股定理求出CM2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是ykx3，把D(3,2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：过P作MNy轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DHy轴，交y轴于H，CMPDNPCPD90，MCPCPM90，MPCDPN90，MCPDPN，P(1,1)，OMBN1，PM1，在MCP和NPD中CMPDNPMCPDPNPCPDMCPNPD(AAS)，DNPM，PNCM，第17页（共32页） BD2AD，设ADa，BD2a，P(1,1)，DN2a1，则2a11，a1，即BD2．直线yx，ABOB3，22在RtDNP中，由勾股定理得：PCPD(31)(21)5，在22RtMCP中，由勾股定理得：CM(5)12，则C的坐标是(0,3)，设直线CD的解析式是ykx3，1把D(3,2)代入得：k，31即直线CD的解析式是yx3，391xyx34即方程组3得：，yxy9499即Q的坐标是(，)，44②当点C在y轴的负半轴上时，作PNAD于N，交y轴于H，此时不满足BD2AD，第18页（共32页） 99故答案为：(，)．44三．解答题（共8小题）17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DEAF，DEAF于点G．（1）求证：ABFDAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定【专题】矩形菱形正方形；推理能力【分析】（1）根据矩形的性质得DABB90，由等角的余角相等可得ADEBAF，利用AAS可得ABFDAE(AAS)；（2）由全等三角形的性质得ADAB，即可得四边形ABCD是正方形．第19页（共32页） 【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，DABB90，DEAF，DABAGD90，BAFDAF90，ADEDAF90，BAFADE，在ABF和DAE中，BAFADEABFDAE，DEAFABFDAE(AAS)；（2）ABFDAE，ADAB，四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形．18．已知一次函数ykxb的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,2)，4且与正比例函数yx的图象交于点C．3（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）求点C的坐标；（3）求这两个函数图象与x轴所围成的AOC的面积．【考点】一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题第20页（共32页） 【专题】一次函数及其应用；运算能力【分析】（1）用待定系数法可得一次函数的表达式；（2）联立解析式解方程组，可得C的坐标；（3）根据三角形面积公式列式计算可得AOC的面积．【解答】解：（1）把A(3,0)，B(0,2)代入ykxb得：3kb0，b22k解得3，b22一次函数的表达式为yx2；32yx23（2）由得：4yx3x3，y4点C的坐标为(3,4)；11（3）SOA|y|346，AOCC22这两个函数图象与x轴所围成的AOC的面积是6．19．快递员张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，到达小区后将快递投放到快递专柜，然后原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，张师傅距离快递公司的路程y（千米）与从公司出发所用时间x（小时）的函数图象如图所示，根据图象回答问题：（1）合理解释线段AB表示的实际意义张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；（2）图中a，直线BC的函数表达式为．（3）出发t小时，快递员距离快递公司10千米，求t的值．第21页（共32页） 【考点】一次函数的应用【专题】一次函数及其应用【分析】（1）AB段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，根据题意，AB段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；（2）OA表示张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，BC段表示原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，即可求出直线BC；（3）分为两种情况：当出发至离公司10千米时，当回公司至离公司10千米时，【解答】解：（1）AB段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，根据题意，AB段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；故答案为：张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜（2）根据题意，OA表示张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，其速度为：301.520(km/h)，BC段表示原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，故其速度为：201.530(km/h)，故时间为：30301h，故a213h；直线BC的函数函数图象为直线，设ykxb，2kb30k30把B(2,30)，C(3,0)代入ykxb，得，解得，3kb0b90直线BC的函数表达式为：y30x90．故答案为：3，y30x90．（3）分为两种情况：当出发至离公司10千米时，t10200.5h，8当回公司至离公司10千米时，1030x90，解得x．3第22页（共32页） 20．每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如表：成绩（单50x6060x7070x8080x9090x100位：分）人数（单28121612位：人）其中80x90分的成绩如下：81，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，90；请回答：（1）直接写出此次竞赛成绩的中位数；（2）根据表格估计此次竞赛成绩的平均数；（3）根据数据，请写出两条可以获得的信息．【考点】用样本估计总体；加权平均数；中位数；频数（率)分布表【专题】数据分析观念；统计的应用【分析】（1）根据中位数的定义进行计算；（2）根据平均数的定义进行计算；（3）分析表格，获得相应的信息．【解答】解：（1）此次竞赛成绩的中位数为第25个和第26个数据的平均数，8282所以中位数为82；2552658751285169512（2）80.6（分)，50答：估计此次竞赛成绩的平均数为80.6分；12（3）①90分以上有12人，占总人数的24%，50②有2人成绩小于或等于60分，应加强学生的环保意识．（答案不唯一，只要言之有理均可）．21．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．第23页（共32页） （1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0a20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且ab4，若最大利润为4950元，请直接写出a的值．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用【专题】运算能力；一次函数及其应用【分析】（1）根据题中等量关系建立函数关系式．（2）根据一次函数增减性求最值．（3）建立关于a，b的方程组求值．【解答】解：（1）由题意得：y(220160)x(160120)(100x)20x4000，x60（2）由题意得：，160x120(100x)1500060x75，y20x4000中，200，y随x的增大而增大，当x75时，y最大207540005500（元)．（3）ab4，ba4，由题意得：y(220160a)x(160120b)(100x)(60a)x(40b)100(40b)x(242a)x100a3600．60x75，0a20，当0a12时，242a0，y随x的增大而增大，当x75时，y最大(242a)75100a36004950，第24页（共32页） a9，符合题意．当a12时，y10012360048004950，不合题意．当12a20时，242a0，y随x的增大而减小．当x60时，y最大(242a)60100a36004950，a4.5，不合题意，舍去．综上，a9．22．如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）求出AC的长；（2）若PCD是等腰三角形时，直接写出AP的长；（3）若AP2，求出CF的长．【考点】四边形综合题【专题】推理能力；几何综合题【分析】（1）利用勾股定理看求出AC；（2）分三种情况讨论计算即可得出结论；（3）连接DE，如图2，根据圆周角定理可判断点P、C、F在以DE为直径的圆上，再利用圆的内接四边形的性质得到APDCFD，接着根据等角的余角相等得到ADPCDF，于是可判断APD∽CDF，然后利用相似比可求出CF的长．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB6，AD8，ADC90，DCAB6，第25页（共32页） 22ACADDC10；（2）要使PCD是等腰三角形，分3种情况：①当CPCD时，APACCP1064；②当PDPC时，PDCPCD，PCDPADPDCPDA90，PADPDA，PDPA，PAPC，1APAC5；2③当DPDC时，如图1，过点D作DQAC于Q，则PQCQ，11SADDCACDQ，ADC226810DQ，24DQ，522224218CQDCDQ6()，5536PC2CQ，53614APACPC10；5514综上所述，若PCD为等腰三角形，AP的长为4或5或；5（3）解：连接DE，如图2，EPDECDEFD90，点P、C、F在以DE为直径的圆上，第26页（共32页） 四边形DPCF为圆的内接四边形，APDCFD，ADPPDC90，PDCCDF90，ADPCDF，APD∽CDF，APAD，CFCD28，CF632CF．423．如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）求证：PCCF．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质【专题】几何图形【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（2）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质解答即可．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB6，AD8，ADC90，DCAB6，第27页（共32页） 22ACADDC10，要使PCD是等腰三角形，①当CPCD时，APACCP1064，②当PDPC时，PDCPCD，PCDPADPDCPDA90，PADPDA，PDPA，PAPC，1APAC5，2③当DPDC时，如图1，过点D作DQAC于Q，则PQCQ，11SADDCACDQ，ADC22ADDC24DQ，AC52218CQDCDQ，536PC2CQ，53614APACPC10；5514所以，若PCD是等腰三角形时，AP4或5或；5（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，四边形ABCD和PEFD是矩形，ADCPDF90，ADPPDCPDCCDF，ADPCDF，BCD90，OEOD，1OCED，2在矩形PEFD中，PFDE，1OCPF，2第28页（共32页） 1OPOFPF，2OCOPOF，OCFOFC，OCPOPC，OPCOFCPCF180，2OCP2OCF180，PCF90，PCCF．24．已知直线a:y(x1)k1与x轴交于点P、与y轴交于点Q．（1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：(1,1)（直接写出结果）；（2）直线b:y(k1)xk与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断BQM的面积是否为定值？若是定值，求BQM的面积；若不是，说明理由；（3）如图，过点Q在第二象限内作线段CQPQ，且CQAQ，连接AC，取AC的中点D．当k满足1k3时，求点D运动的路径长．第29页（共32页） 【考点】一次函数综合题【专题】推理能力；代数几何综合题；几何直观；运算能力【分析】（1）对于y(x1)k1，令x1，求出y的值，即可解答；（2）分别求出M(0,k)，B(1,1)，Q(0,k1)，从而得出QM|yy|1，再结合MQ三角形面积公式求解即可；（3）过A作AMy轴于M，连接DQ、DM，过D作DNDM交MA的延长线k1k3于点N．先证明点D的运动轨迹为直线DM，再求出D(,)，进而即可求22解．【解答】解：（1）对于y(x1)k1，令x1，则y1，直线a经过定点(1,1)，即点A的坐标为(1,1)．故答案为：(1,1)；（2）BQM的面积为定值，理由如下：对于y(k1)xk，令x0，则yk，M(0,k)．y(x1)k1联立得：，y(k1)xkx1解得：，y1B(1,1)．第30页（共32页） 对于y(x1)k1，令x0，则yk1，Q(0,k1)，QM|yy||k(k1)|1，MQ111SQM|x|11，BQMB2221BQM的面积为定值，且面积为；2（3）如图，过A作AMy轴于M，连接DQ、DM，过D作DNDM交MA的延长线于点N．CQPQ，点D为AC中点，1DQADCDAC．2又CQAQ，DQAC，即ADQ是等腰直角三角形，ADNADMQDMADM90，ADNQDM．ADQAMQ90，DQMDAM180．又DANDAM180，DQMDAN，ADNQDM(ASA)，第31页（共32页） DNDM，ANQMk11k，NMANAMk1，QMDAND45，点D的运动轨迹为直线DM．MDN为等腰直角三角形，MN//x轴，k1k3D(，)．22当k3时，D(2,3)；当k1时，D(1,2)，22点D运动的路径长为[2(1)](32)2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/2423:54:09；用户：彼粒星；邮箱：orFmNt3ioZ7m9pIbCI01vF5XpREs@weixin.jyeo.com；学号：406898第32页（共32页）