高考数学方法技巧第22讲 等差等比数列性质的巧用（解析版）

第22讲等差等比数列性质的巧用【高考地位】从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.类型一由等差或等比数列的性质求值万能模板内容使用场景等差，等比数列的求值问题解题模板第一步观察已知条件和所求未知量的结构特征；第二步选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系；第三步整理化简，求得代数式的值.例1在等差数列中则的最大值等于A.3B.6C.9D.36【答案】C【解析】第一步,观察已知条件和所求未知量的结构特征:因为在等差数列中第二步，选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系：所以，第三步，整理化简，求得代数式的值：所以，所以利用均值不等式可知最大值为9，选C.考点：数列，基本不等式．例2已知等比数列满足：，则___________.【来源】江西省重点中学协作体高三第二次联考数学（理）试题【答案】【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为是等比数列，所以，所以，，，，,所以．故答案为：．【变式演练1】【北京市东城区高三一模线上统练】数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（）A．B．C．D．与大小不确定【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和等比数列性质可求得，结合等差数列性质可求得结果.【详解】由等差数列性质知：；由等比数列性质知：，，（当且仅当时取等号），又，，，，，即.故选：.【变式演练2】【云南省红河州高三高考数学（理科）一模】数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（）A．1或3B．0或2C．3D．2【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值.【详解】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，即，解得或2，所以或，所以或3，故选：A,【变式演练3】【河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）】已知等差数列中，，，数列满足，则______.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求出，从而求出，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由题意，解得，所以，所以，则.故答案为：【变式演练4】【江苏省南通市高三下学期5月联考】已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的值是__.【答案】16.【解析】【分析】设等比数列的公比为，，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.【详解】解：等比数列的各项均为正数，设公比为，，由，，成等差数列，可得，即有，即，解得舍去），则.故答案为：16.类型二有关等差或等比数列前项和性质的问题,万能模板内容使用场景等差或等比数列前项和解题模板第一步观察已知条件中前项和的信息；第二步选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系；第三步整理化简，得出结论.例3.已知等比数列的前项和为，已知，则（）A.－510B.400C.400或－510D.30或40【答案】B【解析】第一步，观察已知条件中前项和的信息：因为等比数列的前项和为，所以也成比差数列，第二步，选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系：所以，解得：，因为，所以第三步，整理化简，得出结论：所以所以【变式演练4】【宁夏石嘴山市高三适应性测试数学（文）】为等差数列的前项和，若，则（）.A．-1B．0C．1D．2【答案】B【解析】【分析】由可得选项.【详解】因为，所以，故选：B.【变式演练5】【江西省南昌二中高三（6月份）高考数学（理科）校测】设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（）A．8B．C．17D．16,【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，转化求解即可．【详解】由题知，且，所以，所以，所以.故选：B．【变式演练6】【普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得设，，根据，即可选出正确答案.【详解】根据等差数列的性质可得，所以可设，.则，，所以.故选:D.类型三数列的最值问题万能模板内容使用场景有关数列的最值问题,解题模板第一步观察已知条件，选择合适的求解方法；第二步根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的不等式（组）；第三步整理化简，得出结论，注意是正整数.例4已知等差数列的前项和为，，，如果当时，最小，那么的值为（）A．10B．9C．5D．4【答案】C【解析】第一步，观察已知条件，选择合适的求解方法：依题意有，解得，第二步，根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列出相对应的不等式（组）：令，所以，第三步，整理化简，得出结论，注意是正整数：所以前项是负数，前项的和最小．考点：等差数列的基本性质．【变式演练7】【河南省部分重点高中高三高考适应性考试】已知Sn为数列{an}的前n项和，，an，6Sn成等差数列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的性质列方程，然后利用求得的通项公式，由此判断出是等比数列，进而求得的表达式，从而求得的取值范围.【详解】因为，an，6Sn成等差数列，所以①,当时，，解得，当时，②由①-②得，可得，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，因为，数列为单调递减数列，所以，所以故选：C【变式演练8】【贵州省贵阳为明教育集团高三第一次调研】已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（）A．16B．64C．128D．256【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的前项和公式求出，观察等比数列的各项的值及其规律，从而可求出前项之积的最大值.【详解】,由，，得，解得，所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.故选：B.【变式演练9】【陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期高考猜题卷（三）】已知是等差数列的前n项和，若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】先根据条件求出首项和公差，即可求出通项公式和前项和，再根据数列的单调性可求出的最小值.【详解】设等差数列的公差为，，解得，，，，令，且，，恒成立，，在和上单调递增，由此可以判断数列在时为递增数列，此时的最小值为，在,时为递增数列，此时的最小值为，综上，所以的最小值为．故答案为：．【反馈练习】1．【陕西省部分学校高三上学期摸底检测文科】数列是等差数列，且，，那么（）A．B．C．5D．【答案】B【解析】【分析】令、可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.【详解】令得，令得，所以数列的公差为，所以，解得，故选：B2．【山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试】设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（）A．28B．36C．42D．46【答案】B【解析】【分析】先根据等差数列的性质和前项和公式求出首项和公差的关系，再根据求出首项和公差，最后利用等差数列的前项和公式即可求出结果.【详解】,成等差数列，，设的公差为，则，解得，，，，，.故选：B.3．【云南省红河州第一中学高三年级理科数学第一次联考】设等差数列的前项和为，且，则的值为（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】【分析】先由得，进而利用等差数列通项公式即可求得答案.【详解】解：由，可得，故，设等差数列的公差为，则.故选：B.4．在等差数列中，若，则数列的前13项和=（）A．5200B．2600C．1500D．1300【来源】云南省曲靖市高三二模数学（文）试题【答案】D【分析】根据等差数列的性质可得，代入等差数列前n项和公式，即可求得答案.【详解】根据等差数列性质可得，,所以，所以前13项和.故选：D5．【江西省南昌市高三摸底测试数学（文）】为等差数列的前项和，满足，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得.故选：A.6．【云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试】已知是公差为的等差数列，为数列的前n项和，若成等比数列，则（）A．B．14C．12D．16【答案】B【解析】【分析】由成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，,再利用等差数列前项和公式即可得.【详解】解设数列的公差为，由题意，由成等比数列,所以，,整理得，故，所以.故选:B7．【重庆市第一中学高三下学期6月模拟】正项等差数列的前和为，已知，则（）A．35B．36C．45D．54【答案】B【解析】【分析】由，可得，即可求出，进而由，可求出答案.【详解】由题意，可得，所以，解得或，因为，所以舍去，只有符合题意，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.8．【河北省石家庄二中高三（3月份）高考】数列是等差数列，，公差，，且，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式推导出，由，，能求出实数取最大值.【详解】数列是等差数列，，公差，，且，,，解得，，，是减函数，时，实数取最大值为.故选：D.9．【山东省枣庄市滕州一中高三10月月考】已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据，得两式相减得，从而可得到数列的通项公式，根据“和谐项”的定义可得，然后利用等比数列的前项和公式可得答案.【详解】因为，所以，则，即，，，因为，所以，故，因为，所以，数列的所有“和谐项”的平方和为：，故选：A.,10．【北京市西城区高三数学二模】设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的，即.可得：，，任意的，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.11．【云南省红河州第一中学高三年级理科数学第一次联考】已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题中递推关系，先得到，得出，根据题中条件，得出是以为首项，为公比的等比数列，求出通项公式，再验证也满足即可.【详解】由①得②，①—②可得：，所以（），,又，，则，因此是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时也满足该式，所以.故选：C.12．【安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中高三5月五校联考】设为等差数列，为等比数列，且，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用等差，等比中项求解的关系，再利用基本不等式判断即可.【详解】由等差，等比中项可知，又，，所以，当且仅当时取等号，即.故选：C.13．已知为递增的等差数列，，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据等差数列的性质列出方程组，从而求出和公差，写出的通项公式即可求出答案.【详解】因为为等差数列，，所以，由，得或(舍)，所以，,所以.令，得.故选：D.14．已知等差数列的前项和为，，，若，则（）A．10B．11C．12D．13【来源】四川省绵阳中学高三高考仿真模拟（一）数学（理）试题【答案】B【分析】利用等差数列求和公式及等差数列性质求得【详解】∴∴，故选：B.15．已知公差不为0的等差数列满足，则（）A．B．C．D．【来源】江西省南昌市高三三模数学（理）试题【答案】C【分析】由条件利用等差中项化简，再根据等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.【详解】，，，又，，故选：C【点睛】关键点点睛：根据等差数列的性质时，化简是解题的关键，属于中档题.16．已知等差数列，正整数，，，满足，则的取值范围是（）A．B．,C．D．以上均不正确【来源】浙江省数海漫游高三下学期第二次模拟考试数学试题【答案】B【分析】利用等差数列的性质可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由为等差数列，且，则，所以，当且仅当时，取等号，又，所以，即，所以，故的取值范围是.故选：B17．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．12B．10C．9D．8【答案】C【分析】根据题意和等比数列下标和性质得：，由对数的运算律化简所求的式子，由等比数列的性质化简求值．【详解】解：由等比数列的性质得，，因为，所以，所以或（舍去），所以，故选：．18．在等比数列中，，是方程的根，则（）A．2B．C．或D．或【答案】D【分析】,由题意有，再运用性质有，最后化简即可.【详解】等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，即有，即有，则.故选：D.19．已知数列为等比数列，给出下列结论：①；②若，，则；③当时，；④当时，.其中所有正确结论的编号是（）A．①②③B．②④C．①④D．①③【来源】安徽省池州市第一中学高三模拟考试（临门一脚）数学（理）试题【答案】D【分析】根据等比数列的性质可判断①；由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.【详解】设等比数列的公比为对于①.则，所以，故①正确.对于②.由题意，所以不正确，所以②不正确.对于③.当且仅当时，取得等号.故③正确对于④.当时，，则，故④不正确故选：D20．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．D．,【来源】四川省宜宾市天立学校高三下学期模拟数学（文）试题【答案】C【分析】由等比数列的性质得出，由前项和的定义得，从而可求得公比和首项，再由前项和公式计算．【详解】是等比数列，公比为，由，得，又，所以，，所以，由解得，所以，，，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的前项和，解题关键是由等比数列性质求得，然后可用基本量法求得首项，公比，再由前项和公式得结论．21．已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（）A．B．C．D．【来源】黑龙江省哈尔滨市第六中学高三二模数学（文科）试题【答案】D【分析】由已知结合基本不等式及等比数列的性质可求的范围.【详解】因为数列是正项等比数列，，可得，当且仅当时取等号.结合选项可知D符合题意.故选：D.22．（多选）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（）,A．数列的最小项为第项B．C．D．时，的最大值为【来源】江苏省常州市前黄高级中学高三下学期5月高考适应性考试（一）数学试题【答案】ABC【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD选项的正误.【详解】对于C选项，由且，可知，C对；对于B选项，由，可得，B对；对于D选项，因为，，所以，满足的的最大值为，D错；对于A选项，由上述分析可知，当且时，；当且时，，所以，当且时，，当且时，，当且时，.当且时，单调递减，即，单调递减，即有，所以，，由不等式的性质可得，从而可得，,因此，数列的最小项为第项，A对.故选：ABC.23．（多选）【福建省泉州市高三毕业班质量检测】设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.24．【四川省宜宾市第四中学高三上学期开学考试】已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为__________．【答案】【解析】【分析】由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解.【详解】由，解得，所以，,令，解得，即前6项为负，第7项起为正，所以最小.故答案为625．【江苏省南通市如皋中学高三创新班下学期高考冲刺模拟（三）】设正项数列满足，，且，则数列前10项的和为______.【答案】440【解析】【分析】对进行取值，计算，通过观察可归纳的表达式，进一步求得，然后可得，最后可得结果.【详解】由，所以当时，，当时，，当时，所以猜想可知：，，则用数学归纳法证明：当时，左边==右边假设时，等式成立，即则当时，左边=所以深对任意的，所以当时，符合上式，所以则,所以数列前10项的和为故答案为：26．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为_________【答案】-110【分析】由等差数列性质及等差数列前项和公式，可得.【详解】根据题意得，，，所以，即，所以，故答案为：-110.27．已知公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，则___________.【来源】江西省重点中学协作体高三第二次联考数学（文）试题【答案】【分析】根据等差数列与等比数列的性质，由题中条件，分别得到，，进而可求出结果.【详解】因为公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，所以，则，因此.28．已知是等比数列的前项和，，则___________.【来源】内蒙古赤峰二中高三5月适应性考试数学（文）试题【答案】2n﹣1【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式计算，从而可知的首项和公比，再由前项和公式计算结果.【详解】,解：因为，所以，解得或舍，所以所以数列是以1为首项，以-2为公比的等比数列，则为也等比数列，公比为2，首项故.故答案为：2n﹣1.【点睛】结论点睛：若数列为等比数列，则数列也为等比数列，首项为，公比为.29．【广西南宁三中高三数学（理科）考试四】已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件可得，然后解出即可；（2），，然后可算出答案.【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，化简得.因为公比，所以.所以.（2）因为，所以.,所以，则.【点睛】本题考查的是等差、等比数列的基本运算和数列的求和，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.30．【云南省文山州高三年级10月教学质量检测】已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；（2）由裂项相消法求和．【详解】解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，设等差数列的公差为，由，两式相减得，，所以，，所以，而，所以．（2）由（1）得，．31．【福建省泉州市高三毕业班质量检测】已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.,（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求得和的值，进而可求得数列与的通项公式；（2）求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，又，所以.所以.由，可得，又，所以，又因为数列为单调递增的等比数列，则，故，所以；（2）由（1）可知，数列的前项和为，数列的前项和为，故.