6.3 平面向量基本定理及坐标表示（分层练习）（解析版）

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示精选练习基础篇1．已知点，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解作答.【详解】∵点A(1,2),B(3,5)，∴AB=(2,3).故选：B2．已知向量，且，则___________.【答案】−43【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】解：向量a=−1,3,b=x,4，且a∥b，∴−1×4−3x=0，解得x=−43.3．已知向量，，若，则_____．【答案】−23【分析】将a⊥b转化为a⋅b=0计算即可.【详解】由题意得a⋅b=x+2(x+1)=3x+2=0，解得x=−23．4．已知向量，满足，则（    ）A．0B．2C．D．5【答案】D【分析】利用数量积垂直的坐标表示，即可求解.【详解】a→−b→⋅a→=a→2−a→⋅b→=12+22−0=5.故选：D5．已知向量，则它们的夹角是______；【答案】π3【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案. 【详解】cosa,b=a⋅ba⋅b=−33+313+1×1+3=12，则a,b为锐角，∴a,b=π3.6．已知向量，且，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据垂直的数量积为0，结合二倍角的余弦公式求解即可.【详解】由a⊥b可得1−2cos2θ=0，即cos2θ=0.故选：B7．已知向量，且，则（    ）A．68B．C．D．【答案】D【分析】由题意利用两个向量的模相等，求得m的值，再用两个向量的数量积的坐标公式即可求解.【详解】∵已知向量a=−1,m(m>0),b=4,3，a=b,∴−12+m2=42+32，即1+m2=25,m2=24，又∵m>0，∴m=26，故a=−1,26，∴a→⋅b→=−1×4+26×3=66−4.故选：D.8．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.【详解】e1,e2是平面内两个不共线的向量，对于A，2e1+2e2=2(e1+e2)，即向量e1+e2,2e1+2e2共线，A不是；对于B，e1−2e2=−2(−12e1+e2)，即向量e1−2e2,−12e1+e2共线，B不是；对于D，2e1+3e2=43(32e1+94e2)，即向量2e1+3e2,32e1+94e2共线，D不是；对于C，∵−12−12=1≠1−1，即向量−12e1+e2与−12e1−e2不共线，则向量−12e1+e2与−12e1−e2能作为平面的一个基底，C是.故选：C9．已知向量，，，则等于（    ）A．3B．4C．15D．21 【答案】D【分析】先由平面向量的线性运算求得BC，再由平面向量模的坐标表示得到关于t的方程，解之即可利用平面向量数量积的坐标表示求得AB⋅AC.【详解】∵AB=(4,3)，AC=(3,t)，∴BC=AC−AB=−1,t−3，∵BC=1，∴−12+t−32=1，解得t=3，则AC=(3,3)，∴AB⋅AC=4×3+3×3=21.故选：D.10．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,0、D0,1、M1,1、N2,12，∴ND=−2,12，MN=1,−12，∴ND⋅MN=−2×1+12×−12=−94，故选：B.提升篇1．已知向量，若，则___________．【答案】−1【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示可求出结果.【详解】∵a=(1,3),b=(3,4)，∴ma−b=(m−3,3m−4)，a+b=(4,7)，∵(ma−b)//(a+b)，∴7(m−3)−4(3m−4)=0，解得m=−1；故答案为：−1.2．已知向量，且，则的最大值为（    ）A．1B．2C．D．4【答案】B【分析】根据向量平行得到2m+n=4，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】a+b=1,2，c=m−2,−n，a+b∥c，故−n=2m−2，即2m+n=4，当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；当m>0且n>0时，2m+n=4≥22mn，mn≤2，当2m=n，即m=1，n=2 时等号成立；综上所述：mn的最大值为2.故选：B3．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当a⋅b=2x−1+2×4>0，解得：x>−3，且当a//b时，4x−1−4=0，解得：x=2，∴“a与b夹角为锐角时，x的取值范围是x>−3且x≠2，∴“a与b夹角为锐角”是“x>−3”的充分不必要条件.故选：A4．（多选）已知向量，，，函数的最小正周期是，则（    ）A．B．在上单调递减C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称D．取最大值时，x的取值集合为【答案】BD【分析】化简fx，根据最小正周期是π可得ω=1，从而得到fx=3+2sin(2x+π4)，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可.【详解】∵a=sin2ωx,1，b=1,cos2ωx，则fx=a2+b2+a⋅b=sin22ωx+1+cos22ωx+1+sin2ωx+cos2ωx=3+2sin(2ωx+π4)，由2π2ω=π，可得ω=1，则fx=3+2sin(2x+π4)选项A：ω=1.判断错误；选项B：由x∈3π8,5π8，可得2x+π4∈π,3π2，由π,3π2⊆2kπ+π2,2kπ+3π2,k∈Z，得fx在3π8,5π8上单调递减.判断正确；选项C：fx的图象向左移π4个单位，可得y=3+2sin(2x+3π4)，图像不关于y轴对称.判断错误选项D：由2x+π4=2kπ+π2，可得x=kπ+π8,k∈Z 则fx取最大值时，x的取值集合为xx=kπ+π8,k∈Z.判断正确.故选：BD5．已知平面向量=(2,1)，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.【答案】−65，−35【分析】由a+2b⊥a−b得a⋅b，计算b在a方向上的投影，进而得b在a方向上的投影向量.【详解】∵a=2,1，∴a=22+12=5，b为单位向量，b=1，又∵a+2b⊥a−b，∴a+2b⋅a−b=a2+a⋅b−2b2=5+a⋅b−2=0，即a⋅b=−3，b在a方向上的投影为a⋅ba=−35，∴b在a方向上的投影向量为−35×aa=−65,−35.6．（多选）已知同一平面内的两个向量，，则（    ）A．与同向的单位向量是B．{,}不能作为该平面的基底C．和的夹角是D．在上的投影向量等于【答案】ACD【分析】A选项，利用bb进行求解；B选项，求出a=3,−1与b=1,−2不平行，从而B错误；C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解；D选项，利用a⋅bb⋅bb求解.【详解】b=1,−2，b=1+4=5，则与b同向的单位向量是bb=1,−25=55,−255，A正确；3×−2−1×−1≠0，故a=3,−1与b=1,−2不平行，且为非零向量，故a,b可以作出该平面的基底，B错误；cosa,b=a⋅ba⋅b=3,−1⋅1,−29+1×1+4=552=22，∵a,b∈0,π，∴a,b=π4，故a和b的夹角是π4，C正确；a在b上的投影向量等于a⋅bb⋅bb=55⋅b5=b，D正确.故选：ACD7．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且，则的最大值为______ 【答案】2【分析】首先利用向量平行的条件求出角C，再结合辅助角公式化简求最值即可.【详解】∵m//n，根据向量平行的坐标公式可得2a−3b⋅cosC−3c⋅cosB=0，则2acosC−3bcosC−3c⋅cosB=0，由正弦定理可得2sinAcosC−3sinBcosC−3sinCcosB=0，化简可得2sinAcosC−3sinB+C=0，2sinAcosC=3sinA，∵sinA≠0，解得cosC=32，C∈0，π，∴C=π6.∴y=sinA+3sinB−π3=sin5π6−B+3sinB−π3=12cosB+32sinB+32sinB−32cosB=3sinB−cosB=2sinB−π6，∵B∈0,5π6，∴B−π6∈−π6，2π3，2sinB−π6∈−1，2，∴最大值为2.8．（多选）如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为【答案】AC【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，设点Px,y0≤x≤2,0≤y≤2，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点Px,y0≤x≤2,0≤y≤2，则AB=2,0，AD=0,2，AP=x,y，AB⋅AP=2x，当点P在线段BC上时，x=2，AB⋅AP=2x=2×2=4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，AB⋅AP=2x不为定值，故B错误；由AP=λAB+μAD得x,y=λ2,0+μ0,2=2λ,2μ，则λ=x2，μ=y2，∴λ+μ=12x+y，故当x=y=2时，即当点P与点C重合时，λ+μ取得最大值2，故C正确；由λ+2μ=12得x2+y=12，直线x2+y=12交x轴于点E1,0，交y轴于点F0,12，∴，使λ+2μ=12的P点轨迹为线段EF，且EF=12+122=52，故D错误.故选：AC.