6.2.3-6.2.4 平面向量的数乘和数量积运算（分层练习）（解析版）

第六章平面向量及其应用6.2.3-6.2.4平面向量的数乘和数量积运算精选练习基础篇1.已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据向量的点乘关系，求出cosθ，即可求出m，n夹角.【详解】解：由题意，向量m，n中，m=n=2，m⋅n=mncosθ=2×2cosθ=4cosθ=−22，解得：cosθ=−22∴θ=34π，故选：C.2．若向量的夹角为，则__________.【答案】27【分析】2a−b=2a−b2=4a2−4a⋅b+b2=4a2−4a⋅bcosπ3+b2代入求解.【详解】2a−b=2a−b2=4a2−4a⋅b+b2=4a2−4a⋅bcosπ3+b2=4×4−4×2×6×12+36=273．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.【答案】152【分析】计算e1⋅e2=12，b1⋅b2=2e12+5e1⋅e2+3e22，计算得到答案.【详解】由题意得e1⋅e2=e1⋅e2⋅cosπ3=12，所以b1⋅b2=(e1+e2)⋅(2e1+3e2)=2e12+5e1⋅e2+3e22=2+52+3=152.故答案为：1524．已知是边长为的等边三角形，则________．【答案】−6【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】AB⋅BC=AB⋅AC−AB=AB⋅AC−AB2=AB⋅AC⋅cos60°−AB2=23×23×12−(23)2=−6.故答案为：−65．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性用数量积的几何意义验证，必要性直接证明.【详解】根据向量乘积的几何意义则a⋅c表示c与a在c上投影数量的乘积，同理b⋅c表示c与b在c上投影数量的乘积，画图为：a,b在c的投影都为OD，但是a≠b，所以充分性不成立.若a=b，则a⋅c=b⋅c成立,即必要性成立，所以B正确.故选：B．6．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：BD=BC+CD=−5a+6b+7a−2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB，又AB与BD过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．7．设向量，满足，，则（    ）A．1B．2C．3D．5A．1B．2C．3D．5【答案】A【分析】根据a+b2=10，a−b2=6，相减即可求得a⋅b的值或根据极化恒等式直接求解．【详解】通法：由条件可得a+b2=10，a−b2=6，两式相减得4a⋅b=4，所以a⋅b=1．极化恒等式法：a⋅b=14a+b2−a−b2=1410−6=1．故选：A【点睛】在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值． 8．已知非零向量满足，且，则__________．【答案】26【分析】先求得a⋅b，从而求得a−b.【详解】由a+b=26两边平方得a2+2a⋅b+b2=24，12+63+2a⋅b+12−63=24，a⋅b=0.所以a−b=a−b2=a2−2a⋅b+b2=12+63+12−63=26.9．已知向量满足，且，则夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由数量积运算得出m,n夹角.【详解】设m,n夹角为θ,θ∈0,π，2m−3n⋅n=2m⋅n−3n2=23n2cosθ−3n2=0，即cosθ=32，θ=π6.故选：A10．已知向量满足，则与的夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平方的方法化简|a+b|=2，由此求得a与b的夹角.【详解】设a与b的夹角为θ，由|a+b|=2两边平方得a2+2a⋅b+b2=4，即3+2⋅3⋅1⋅cosθ+1=4,cosθ=0，由于0≤θ≤π，所以θ=π2.故选：D11.已知，，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)〈a,b〉=π3；(2)97【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式|a+2b|=|a+2b|2，展开即可求解.【详解】（1）因为|a|=3，|b|=4，|a−b|=13所以|a−b|2=a2−2a⋅bcosa,b+b2，即9−24cosa,b+16=13，即cosa,b=12，又a,b∈[0,π]，所以a,b=π3（2）|a+2b|=|a+2b|2=a2+4a⋅bcosa,b+4b2=9+4×3×4×12+4×16=97 12．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.【答案】4【分析】根据向量共线定理可得存在实数λ使ka+2b=λ(8a+kb)=8λa+kλb，从而得到关于k,λ的方程组，进而可求出k.【详解】由题意可知ka+2b与8a+kb共线，所以存在实数λ使ka+2b=λ(8a+kb)=8λa+kλb，因为a,b不共线，所以k=8λ2=kλ解得λ=12k=4或λ=−12k=−4，因为向量ka+2b与8a+kb的方向相同，所以λ>0，即λ=12k=4，故答案为：4提升篇1．在△ABC中，，，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由向量的加、减法及向共线向量的表示可得结果.【详解】∵BD=2DC，∴BD=23BC，则AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC，又∵AE=2ED，∴AE=23AD=29AB+49AC，即：λ=29，μ=49，∴λ−μ=29−49=−29.故选：B.2．已知向量满足，则与的夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由|a|=|b|=|a+b|两边平方，得到a⋅b=−12|a|2，再根据平面向量数量积的定义得到cos<a,b>=−12，根据向量夹角的范围可求出夹角.【详解】因为|a|=|b|=|a+b|，所以|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=a2，所以a⋅b=−12|a|2，所以|a|⋅|b|cos<a,b>=−12|a|2，所以cos<a,b>=−12，因为0≤<a,b>≤π，所以<a,b>=2π3,所以a与b的夹角为2π3．故选：D 3．已知向量满足，则与的夹角为_______________．【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】|a+b|=2⇒a+b2=4⇒a2+b2+2a⋅b=4⇒3+1+2a⋅b=4⇒a⋅b=0，a−b=a−b2=a2+b2−2a⋅b=3+1−0=2，设a+b与a−b的夹角为θ(θ∈[0,π])，cosθ=a+b⋅a−ba+b⋅a−b=a2−b22×2=3−14=12，因为θ∈[0,π]，所以θ=π3.4．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求得λ,μ的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于B,C,D三点共线，所以λ+μ=1，所以2λ+1μ=2λ+1μλ+μ=3+2μλ+λμ≥3+22μλ⋅λμ=3+22，当且仅当2μλ=λμ,λ=2μ,λ=2μλ+μ=1⇒λ=2−2,μ=2−1.故选：C5．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．【详解】∵向量a，b是两个单位向量，∴由a,b为锐角可得cosa,b>0，∴a−b=a−b2=2−2cosa,b<2，反过来，由a−b<2两边平方可得a2−2a⋅b+b2<2，∴2−2cosa,b<2，∴cosa,b>0，∴a,b∈0,π2，∴a,b不一定为锐角，故“a,b为锐角”是“a−b<2”的充分不必要条件，故选：A．6．若，则__． 【答案】1【分析】由AB=13AP，得到OB−OA=13(OP−OA)，又OP=λOB+μOA，代入后即可求解.【详解】∵AB=13AP，∴OB−OA=13(OP−OA)，又OP=λOB+μOA，∴OB−OA=13(λOB+μOA−OA)=13λOB+13(μ−1)OA，∴13λ=113(μ−1)=−1，解得λ=3，μ=−2，∴λ+μ=1.7．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影为______．【答案】−355【分析】由a+2b⊥a−b得a⋅b，计算b在a方向上的投影即可.【详解】因为a=2,1，b为单位向量,所以a=22+12=5，b=1，又因为a+2b⊥a−b，所以a+2b⋅a−b=a2+a⋅b−2b2=5+a⋅b−2=0，即a⋅b=−3，b在a方向上的投影为a⋅ba=−35=−355，故答案为：−355.8．已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.【答案】3【分析】|ta+b|=(ta+b)2，展开计算得|ta+b|=(t+1)2+3，根据(t+1)2+3⩾3，则得到其最小值.【详解】|ta+b|=(ta+b)2=t2a2+2tab⋅cos60∘+b2=t2+2t+4=(t+1)2+3.因为(t+1)2⩾0,所以(t+1)2+3⩾3，当且仅当t=−1时取等号，所以|ta+b|⩾3,则|ta+b|的最小值是3.9．已知平面向量满足，则的最小值为___________.【答案】0【分析】根据数量积的定义确定a⋅b的范围，在根据向量模与数量积的关系可得a+b的范围，即可得a+b的最小值.【详解】解：因为平面向量a,b满足a=b=1，又a,b∈0,π，所以a⋅b=a⋅bcosa,b=1×1×cosa,b=cosa,b∈−1,1，则a+b=a+b2=a2+b2+2a⋅b=2+2a⋅b，由a⋅b∈−1,1，则2+2a⋅b∈0,4，故a+b∈0,2，则a+b的最小值为0. 10．已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【分析】由题设条件得到AP=λe1+e2，从而判断出点P在∠C1AB1的平分线上，由此得到点P的轨迹一定通过△ABC的内心.【详解】ABAB,ACAC分别表示AB,AC方向的单位向量，令ABAB=e1,ACAC=e2，e1=e2=1，则OP=OA+λe1+e2，即AP=λe1+e2，又e1=e2，以e1,e2为一组邻边作一个菱形AB1C1D1，则点P在该菱形的对角线AD1上，所以点P在∠C1AB1，即∠CAB的平分线上，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选：B.11．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）A．B．3C．D．【答案】D【分析】如图，延长AP交BC于点D，设AD=λAP，则AD=λ2AB+λ3AC，根据平面向量共线定理得推理求出λ，从而可确定D,P的位置，即可得出答案.【详解】如图，延长AP交BC于点D，设AD=λAP，则AD=λ2AB+λ3AC，因为B,C,D共线，所以λ2+λ3=1，解得λ=65，所以AP=56AD，AD=35AB+25AC，则S△ABP=56S△ABD,S△ACP=56S△ACD，由AD=35AB+25AC，得35AD−AB=25AC−AD，即35BD=25DC，所以BDCD=23，所以S△ABDS△ACD=23，所以S△ABPS△ACP=56S△ABD56S△ACD=23.故选：D.12．（多选）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，则（    ）A．B． C．D．【答案】AC【分析】由向量的运算性质逐一计算验证即可判断.【详解】A选项，由图可知，AP+SE+RQ=QC+CR+RQ=0，故A正确；B选项，QC+SD=AP+AT=AR，QD+RS=BR+RS=BS，故B错误；C选项，∵ATTS=25−1=5+12，∴AT=5+12TS，故C正确；D选项，CQ−5+12ST=CQ+5+12TS=CQ+AT=PA+AT=PT，故D错误．故选：AC．