2023高考数学基础知识综合复习第19讲空间点线面之间的位置关系 课件（共26张PPT）

第19讲　空间点、线、面之间的位置关系 教材核心知识课标要求学业水平评价要求平面的基本性质在直观认识的基础上,感受平面的概念,知道平面的基本性质了解空间点、直线、平面之间的位置关系能说明空间点、直线、平面的位置关系,能用三种语言表述空间点、直线、平面及位置关系,能利用某些特殊空间图形判断空间点、直线、平面的位置关系理解判断或证明空间中的平行关系能说明直线与直线平行的基本事实,能归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理;能从定义出发归纳并证明直线与平面、平面与平面平行的性质定理,能利用直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理解决有关问题理解 1.平面的性质及推论基本事实文字语言图形语言符号语言(数学语言)基本事实1过不共线的三个点,有且只有一个平面.简称不共线的三点确定一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使得A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该公共点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图1).推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面(图2).推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面(图3). 2.基本事实4与等角定理(1)基本事实4(平行的传递性):文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言a∥b,b∥c⇒a∥c图形语言(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3.空间中点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系①平行(在一个平面内,且没有公共点);②相交(在一个平面内,有一个公共点);③异面(不在任意一个平面内,没有公共点).直线与直线平行和相交的情况统称为共面.(2)空间中直线与平面的位置关系①直线在平面内(有无数个公共点);②直线和平面相交(有且仅有一个公共点);③直线和平面平行(没有公共点).直线和平面相交和平行的情况统称为直线在平面外.(3)空间中平面和平面的位置关系①两个平面平行(没有公共点);②两个平面相交(有一条公共直线). 4.直线和平面平行的判定与性质(1)线面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行符号语言a⊂α,l⊄α,a∥l⇒l∥α图形语言 (2)线面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面交于一条直线,那么该直线与交线平行符号语言a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b图形语言 5.平面与平面平行的判定与性质(1)面面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行符号语言a,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b∥β⇒α∥β图形语言 (2)面面平行的性质定理文字语言两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行符号语言α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b图形语言 考点一考点二考点三平面基本性质及应用例1(1)(2020年1月浙江学考)已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线()A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,且在平面α内C.有无数条,一定在平面α内D.有无数条,一定不在平面α内(2)(2016年10月浙江学考)在空间中,下列命题正确的是()A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 考点一考点二考点三答案(1)B(2)D解析(1)假设过点P且平行于l的直线有两条m与n,∴m∥l且n∥l,由基本事实4得m∥n,这与两条直线m与n相交于点P相矛盾,故只有一条.过点P和直线l的平面设为β,由基本事实1可知β与α有交线,设为m,由线面平行的性质定理可知,l∥m,m⊂α.故选B.(2)当三点在一条直线上时,经过三个点有无数个平面,故A不正确;当点在直线上时,经过一个点和一条直线的平面有无数个,故B不正确;当点不在直线上时,经过该点且与这条直线平行的面有无数个,当点在直线上时,经过该点与这条直线平行的面不存在,故C不正确;D项说法正确.故选D. 考点一考点二考点三本题主要考查平面的基本性质的应用.首先需要熟悉并理解基本事实,在应用时可以举反例或者用反证法考虑,排除错误答案,从而得到正确答案. 考点一考点二考点三点、线、面的位置关系的判断例2(1)(2019年1月浙江学考)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交(2)(2015年1月浙江学考)在空间中,α,β表示平面,m表示直线,已知α∩β=l,则下列命题正确的是()A.若m∥l,则m与α,β都平行B.若m与α,β都平行,则m∥lC.若m与l异面,则m与α,β都相交D.若m与α,β都相交,则m与l异面 考点一考点二考点三(3)(2014年7月浙江学考)在空间中,设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m⊂α,n⊂β,则下列命题正确的是()A.若m∥n,则α∥βB.若m,n异面,则α,β相交C.若m⊥n,则α⊥βD.若m,n相交,则α,β相交 考点一考点二考点三答案(1)B(2)B(3)D解析(1)由已知得,l与α相交,设l∩α=O,则α内过点O的直线与l相交,故A不正确;不过O的直线与l异面,故D不正确;若α内存在与l平行的直线,则l∥α或l在α内,这和l与α相交矛盾,不存在与l平行的直线,所以C不正确,B正确.故选B.(2)对于A,若m⊂α或m⊂β时不成立,故A不正确;对于B,由线面平行的性质和判定可知,m∥l,故B正确;对于C,m可以与一个面相交,与另一个面平行,故C不正确;对于D,m与l可以异面,也可以相交,故D不正确.故选B.(3)对于A,α与β可以平行,也可以相交,故A不正确;B显然不正确;对于C,α与β可以平行,故C不正确;对于D,由m,n相交可知α,β有公共点,由基本事实3可知α,β相交,故D正确.故选D. 考点一考点二考点三判断空间点、线、面位置关系时,首先要理清线与线,线与面,面与面的位置关系,判断时,可以举反例排除,或者用基本事实和定理证明. 考点一考点二考点三直线与平面的平行关系◆角度1.线面平行的判断例3(1)(2018年11月浙江学考)下列说法不正确的是()A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两条直线平行(2)(2019年6月浙江学考)平面α与平面β平行的条件可以是()A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥βC.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何直线都与β平行 考点一考点二考点三(3)(2019学年宁波九校高二上期末)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,m⊥α,则l∥mC.若l∥m,m⊂α,则l∥αD.若l∥α,m∥α,则l∥m 考点一考点二考点三答案(1)D(2)D(3)B解析(1)A正确;B正确;C正确;对于D,平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面,故D不正确.故选D.(2)对于A,若α与β相交,在α内存在无穷多条直线均平行于α与β的交线,故A不正确;B不正确;C不正确;对选项D,由α内的任意直线都与β平行,可知对α内某两条相交直线m,n,也应有m∥β,n∥β,由面面平行的判定定理可知,α∥β,故D正确.故选D.(3)对于A,根据线面垂直的判定定理可知,要使直线l⊥α,则必须有l垂直于平面α内的两条相交直线,故A不正确;B正确;对于C,若l∥m,m⊂α,则l有可能在平面α内,从而C不正确;对于D,若l∥α,m∥α,则l,m也有可能是异面或相交,从而D不正确.故选B. 考点一考点二考点三在判断空间中平行关系时,可用基本事实4和定理去说明,举反例时,有时在正方体内举反例说明更加方便. 考点一考点二考点三◆角度2.平行的证明例4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD,E为PC中点,求证:BE∥平面PAD. 考点一考点二考点三证明方法一:取PD中点F,连接EF,AF,∵E为PC中点,∴EF∥CD,且EF=CD,∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD.∴EF∥AB,且EF=AB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴BE∥AF,∵BE⊄平面PAD,且AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD. 考点一考点二考点三方法二:延长CB,DA交于点Q,连接PQ,∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD.∴B为QC中点,∵E为PC中点,∴BE∥PQ,∵BE⊄平面PDQ,且PQ⊂平面PDQ,∴BE∥平面PDQ,即BE∥平面PAD. 考点一考点二考点三方法三:取CD中点M,连接ME,MB,∵E为PC中点,∴EM∥PD,∵EM⊄平面PAD,且PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD,∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD,∴BM∥AD,同理可证:BM∥平面PAD,∵EM⊂平面BEM,BM⊂平面BEM,且EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD,∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD. 考点一考点二考点三在证明线面平行时,通常有两种方法:①线面平行的判定定理:线线平行⇒线面平行;②面面平行定义:面面平行⇒线面平行.用第一种方法找线线平行时,可以从两个角度出发:一是平行投影角度,找平行四边形,如证法一;二是中心投影的角度,通常找中位线较多,如证法二.