高一上学期期末数学模拟试卷（解析版）

绝密★考试结束前2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据交集的概念进行求解即可.【详解】.故选：C2．函数的定义域是（    ）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解.【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域是.故选：D.3．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当，，且时，，当且仅当时等号成立，所以，充分性成立；，，满足，且，此时，必要性不成立.则“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．函数，则（    ）A．1B．2C．0D．8【答案】C【分析】先求得，再求即可.【详解】因为，所以.故选：C5．函数的图象大致为（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】A【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数为偶函数，且，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；又由，可排除B项，所以A符合题意.故选：A.6．方程的解一定位于区间（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意可知：方程的解即为的零点，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为，即，由题意可知：方程的解即为的零点，且在内单调递增，则在内单调递增，又因为，可知的唯一零点，即方程的解一定位于区间.故选：C.7.将函数的图象向右平移（）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据图象平移写出解析式，结合对称中心列方程求参数的表达式，即可得最小值.【详解】令，图象向右平移（）个单位长度，则，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，则，又的图象关于点中心对称，则， 所以，则，又，故.故选：A8．已知函数，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.【详解】解法1：由函数，则不等式，即为，可得，即，令，则，即，解得，即，解得，所以不等式的解集为.解法2：由函数，可得，设，则，所以函数为偶函数，即为偶函数，可得关于对称，且在上单调递增，所以不等式，即为， 可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.己知，则下列不等关系中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据不等式性质可判断A，D；结合对数函数单调性可判断B；结合幂函数单调性判断C.【详解】由得，则A正确；由，得，则，B错误；由，结合在R上单调递增，得，C正确；由，得，D错误，故选：AC10.已知，下列说法正确的有（    ）A．在区间单调递减B．在区间单调递增C．有最大值D．有最小值【答案】AC【分析】根据二次函数和绝对值函数的性质，利用数形结合思想逐一判断即可.【详解】当时，解得，于是有，函数图象由下图所示：显然在区间单调递减，因此选项A正确；显然在区间单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；当时，函数有最大值，没有最小值，因此选项C正确，选项D不正确， 故选：AC11.已知，函数在上单调递增，则的值可以是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【分析】先将函数化为，先通过求出的大概范围，然后再根据题目所给单调区间列不等式求解即可.【详解】，，，函数在上单调递增，，，，，解得，则选项中的值可以是和，故选：BC.12．已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：①在上是单调函数；②在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，即有，而或，无解，若在上单调递减，则，即，两式相减得，而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；对于D，当时，，函数在上单调递减，于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数是定义在上的偶函数，则【答案】1【分析】利用偶函数的定义及性质，求出值即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意，所以.故答案为：114．杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手､紧密相拥､永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则.    【答案】3【分析】设，根据面积公式计算，则，得到答案.【详解】设，则，，.故答案为：15．若函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用对数函数的定义，可得的取值集合包含区间，再列出不等式求解即得.【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含区间，因此，且，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：16．函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有成立，则实数的取值范围是.【答案】 【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果.【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，所以当时，，则，∴，则，则等价于，当时为增函数，则，即对任意恒成立，设，则，解得，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）求值：(1)：(2).(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分母有理化、根式与分数指数幂互化和指数运算性质即可解答.（2）根据换底公式和对数运算性质即可解答.（3）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.【详解】（1）原式 （2）原式（3）原式18．（12分）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解． 【详解】（1）要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；（2）证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；（3）因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．19．（12分）已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间的最大值和最小值；(3)若函数的零点为，求【答案】(1)；(2)最大值为2，最小值为；(3).【分析】（1）令即可求解；（2）由得，进而求出在区间的最大值和最小值；（3）由题意得，再由即可求解.【详解】（1）由，得，故 的单调递减区间是.（2）时，，所以，当，即时，；当，即时，.故函数在区间的最大值为2，最小值为.（3）因为函数的零点为，所以，即.因为，所以.20．（12分）己知函数，m为实数．(1)当时，求的值域；(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意，令，转化为二次函数的值域问题，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为，然后分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当时，，令，因为，则，所以，其中，则时，，时，，即， 所以的值域为（2）因为，其中，令，则，且在上单调递减，当时，，所以，因为对任意的，总存在，使得成立，则，所以在上恒成立，令，因为，则，即在上恒成立，即在上恒成立，而在为减函数，在为增函数，且，，故，故.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是转化为，然后再转化为含参二次函数分类讨论问题.21．（12分）已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.(1)判断并证明的单调性；(2)当时，求关于的不等式的解集.【答案】(1)减函数，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可.【详解】（1）令，解得，又当时，可判断为减函数，证明如下： ，不妨设，依题意，即，因为，所以，所以，因此，即，所以为减函数.（2）原不等可化为即：因单调递减，故成立.即：当时，有，解为，当时，，解为，当时，，解为，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值.(2)试判断的单调性，并用定义证明.(3)解不等式.【答案】(1)(2)函数在R上为减函数，证明见解析 (3)【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；（3）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.【详解】（1）若函数为奇函数，则，又，则，所以，所以，解得；（2），则函数在R上为减函数，证明如下：设，则，因为，所以，即，且，，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）不等式，即，又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，即，解得.所以不等式的解集为.