重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期半期考试数学模拟题（四）（Word版附解析）

重庆市永川中学高2026届高一上期半期考试数学模拟题（四）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若全集且，则集合的真子集共有（）A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】【分析】先利用补集求得集合A，进而得到真子集的个数.【详解】解：因为全集且，所以,所以集合的真子集共有，故选：C2.如图，阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分析出阴影部分所在范围，再根据集合的交、并、补的意义即可得答案.【详解】解：由题意可得，阴影部分不在集合内，所以一定在内；又因为阴影部分在集合内，所以阴影部分所表示的集合为.故选：B.3.已知是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“函数在 上的最小值为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性与最值的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由函数在上单调递减，则函数在上的最小值为，所以充分性成立；反之：函数在上的最小值为，但函数在上不一定为单调递减函数，所以必要性不成立，所以函数在上单调递减是在上单调递减的充分不必要条件.故选：A.4.下列函数中，值域为[1，+∞)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案.【详解】A选项，令，则，则函数在上单调递增，则，故A错误；B选项，，则，故B错误；C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号，则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确.故选：D5.已知函数，且，则　　A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．【详解】令，则，由，可得，则，解得，故选：．【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．6.函数在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A.a＝－3B.a＜3C.a≤－3D.a≥－3【答案】C【解析】【分析】分离参数可得，根据反比例函数的单调性可得，解不等式即可的结果.【详解】，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有解得a≤－3，故选C．【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围. 7.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.8.已知定义在R上的奇函数，当时，，若对任意实数x有成立，则正数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于有绝对值，分情况考虑和，再由是奇函数画出图象，再根据考虑图象平移结合图形可得答案.【详解】由题得，当时，，故写成分段函数，化简得，又为奇函数，故可画出图像： 又可看出往右平移个单位可得，若恒成立，则，即，又为正数，故解得.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）9.下列说法正确的是（）A.集合，，，若则或B.设全集为，若，则C.集合D.“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件【答案】BC【解析】【分析】对于A：由，得出或等于2，分别求解，然后验证互异性即可判断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合中的，即可判定为正确；对于D，取特值即可判定为错误.【详解】对于A：由，若或1，当时，不满足互异性，舍去，当时，，不满足互异性，舍去；若或2，当时，合题意，当时，，合题意，故或2，A错误； 对于B：若，则，B正确；对于C：令集合中的，得，故C正确；对于D：不是无理数，若为无理数，可取，和不都是无理数，故“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.故选：BC.10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A.的值域为B.的定义域为C.，D.为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】根据函数解析式结合函数定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；函数，故为偶函数，D正确．故选：BCD11.函数，且，则（）A.的值域为B.不等式的解集为CD.【答案】CD【解析】 【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.【详解】解：作出函数的图像如下图所示：可知函数的值域为，A选项错误；当时，有或，解得，，，所以，不等式的解集为，B选项错误；令，由图可知a，b关于对称，所以，即，C选项正确；因为有三个零点，所以，而，所以，D选项正确；故选：CD.12.已知正数满足，则下列说法一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确；对于B，（当且仅当，即，），B错误；对于C，（当且仅当，即，时取等号），，解得：（当且仅当，时取等号），C正确；对于D，（当且仅当，即，时取等号），由C知：（当且仅当，时取等号），（当且仅当，时取等号），D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】先根据的定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案.【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；因为，所以，所以的定义域为.故答案为：.14.已知函数，满足的的值为________.【答案】或【解析】【分析】根据题意，由分段函数解析式可得，则 ，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数，当时，，当时，，若，必有，则，解得，若，必有，则，解得或.故答案为：或15.已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义与单调性得的值，从而可得不等式为，设函数，结合幂函数的性质列不等式即可得实数的取值范围.【详解】由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，所以；所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.16.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列命题成立的是 ___________（1）（2）若，则（3）若，则（4），，使得【答案】(1)(3)(4)【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故(1)对，若，则，得，故(2)错，若，则或，因为，所以或，故(3)正确.因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故(4)正确.故答案为：(1)(3)(4)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.分别计算下面两题（1）化简：（2）化简求值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】利用根式转化为分数指数幂，以及分数指数幂的运算方法，即可化简；【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知（1）求函数的解析式；（2）若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；（3）求关于的不等式.【答案】（1）（2），（3）或【解析】【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；（2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式；（3）首先不等式变形为，再利用函数单调递减，解不等式.【小问1详解】 ，令，，∴，即函数的解析式为：.【小问2详解】当时，，且为上的奇函数.∴当时，，∴函数的解析式为：，【小问3详解】由，且上单调递减∴，∴∴且∴不等式的解集为或.19.某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.（1）试确定的值.（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将关税税率，市场价格代入中，列出关于与的方程组求解；（2）利用，将表示成关于的函数，然后确定的最大值.【详解】(1)由已知得： ，得解得，.(2)当时，，所以，则.设，则在上单调递减，所以当时，有最小值，故当时，关税税率的最大值为.【点睛】本题考查函数实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.20.已知函数满足，当时，成立，且．（1）求，并证明函数的奇偶性；（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.【小问1详解】解：令，可得，令，则，所以，所以， 所以为奇函数；【小问2详解】解：，即，所以，又当时，成立，所以为增函数，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以当时，，所以，即.21.已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通过函数的定义域即可直接得到的定义域，通过求的单调性即可求出其值域；（2）先求出的范围，推出的定义域为所包含的区间，通过对的分类讨论，求出各种情况下的定义域，看是否包含，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】由题意在函数中，定义域是，值域是 ∴，在中，定义域为，设，，设且∴函数单调递增∴，∴的值域为【小问2详解】由题意及（1）得，，∴在中，的定义域为∵“”是“”的充分不必要条件∴“”是“”的充分不必要条件∴的定义域包括当时，，，解得：，不符题意，舍去当时，，当时，解得：或1 当时，，，解得：，不符题意，舍去当且，即时，，解得：或，符合题意当且，即时，，解得：或，不符题意，舍去综上，实数的取值范围为22.已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集；（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解.【小问1详解】，所以，令，若，解得，当时，，不等式的解集为，当或时，，此时方程有两根，，且，此时不等式的解集为，综上：当时，不等式的解集为；当或时，【小问2详解】 记函数，的值域为集合A，，的值域为集合B；则对任意的，总存在，使得成立；因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，得；当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得；