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上海市2022届高考数学模拟试卷(二)(PDF版带解析)

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2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷2022.6考生注意:1.本场考试时间120分钟,试卷共5页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答需填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共54分,其中1~6题各4分,7~12题各5分)1.已知zz12,C,且z12=+2iz,=−34i(其中i为虚数单位),则zz12−=_________22.已知集合A=xx|−2x−30,B=xx|0,则AB=_________xx−3.设有函数fx()=2+a2是定义在R上的奇函数,则a=_________axby1+=1c121m4.已知方程组的增广矩阵为,若方程组有无穷组解,则m=_________axby+=cm21−222635.已知二项式(x−2),在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为_________3xy−−506.已知实数xy,满足,若x0,则z=−xy的最大值为_________xy−2+60S27.已知各项均为正数的等比数列an,若a4−=a52a6,则的值为_________a38.受新冠肺炎疫情影响,上海市启动了新一轮防控.以下为上海某高校某天计划餐食及其单价.每个套餐提供3种类型食物,其中至少有一种荤食和一种素食(每个套餐中的食品种类不重复),且总价不能高于10元,则可行的搭配方案种类数量为_________种类荤食①荤食②素食①素食②素食③单价(元)4.005.001.002.503.0022xy9.已知双曲线−=1(,ab0)的焦点到渐近线的距离为2,且直线20xy−=与双曲线没有交22ab点,则a的取值范围是_________10.已知矩形ABCD,P是矩形内一点,AP=5且P到AB的距离为2.若将矩形ABCD绕AD顺时针旋转,则线段AP扫过的区域面积为_________32022上海数学模拟试卷共4页/第1页2022.6\nxa11.设实数a0且a1,已知函数fx()=,则ff(lg5)+=(lg25())_________xaa+11a12.已知向量abci,,i(=1,2),其中ab==,1,ab=且cii=+ata0(a0=).设cbi−与−b28a的夹角为,若对于任意tt,0,总有k−coscos,则k的最小值为_________i1212二、选择题(本大题共20分,每小题各5分)13.已知ab,c0,则下列不等式中恒成立的是()22A.acbcB.acbc2222C.a+cb+cD.acbc14.设AB,为随机事件,P为事件出现的概率.下列阴影部分中能够表示PA(B)的是()A.B.C.D.215.设等差数列aa1,2,,a10,首项a1=−2.设实系数一元二次方程axkk++xa=0的两根为xx12,.若存在唯一的akk(=1,2,,10),使得xx12−3,则公差d的取值可能为()1357A.B.C.D.444416.设fx()是定义在非空集合S上的函数,且对于任意的xS0,总有fx()0S.对以下命题:命题p:任取S,总存在S,使得f()=;命题q:对于任意的xx12,S,若x12−xS,则fx(12)−fx()S.下列说法正确的是()A.命题pq,均为真命题B.命题p为假命题,q为真命题C.命题p为真命题,q为假命题D.命题pq,均为假命题2022上海数学模拟试卷共4页/第2页HeliosYu保留版权\n三、解答题(本大题共76分)17.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)已知正四棱柱ABCD−ABCD1111,其中AB=3,AA1=23.(1)若点P是棱AA1上的动点,求三棱锥B1−PBC的体积.(2)求点D1到平面ACB1的距离.18.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)1已知函数fx()=cos,x,gx()=+fx,其中0,221(1)若=且直线x=是gx()的一条对称轴,求gx()的递减区间和周期;222(2)若==1,,求函数hx()=−f(xgx)()在0,上的最小值;3219.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)自2017年起,上海市开展中小河道综合整治,全面推进“人水相依,延续风貌,丰富设施,精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这种生物复合剂入水256−−+xx64,04后每1个单位的活性随时间x(单位:小时)变化的函数为u=x+4,已知当a(12−x),4x12x=4时,u的值为28,且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用.(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间;(结果精确到0.1小时)(2)由于环境影响,每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗,设损耗剩余量v关于时间x的函数1为vx=,012,记uv为每1个单位生物复合剂的实际活性,求出uv的最大值.x+1(结果精确到0.1)2022上海数学模拟试卷共4页/第3页2022.6\n20.(本题满分16分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)2x2已知椭圆:1+y=,FF12,是左、右焦点.设M是直线lx:2=tt()上的一个动点,连结4MF,交椭圆于Ny(0).直线l与x轴的交点为P,且M不与P重合.1N335(1)若M的坐标为,,求四边形PMNF2的面积;281(2)若PN与椭圆相切于N且NFNF=,求tanPNF的值;1224(3)作N关于原点的对称点N',是否存在直线FN2,使得FN'1上的任一点到FN2的距离为23,若存在,求出直线FN的方程和N的坐标,若不存在,请说明理由.2721.(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)设有数列an,若存在唯一的正整数kk(2),使得aakk−1,则称an为“k坠点数列”.记an的前n项和为Sn.n2nn+1,2*(1)判断:an=−(2),bn=n−1,nN是否为“k坠点数列”,并说明理由;2,n2Sn(2)已知an满足a11=1,ann+−a=+a1,且是“5坠点数列”,若lim2=3,求a的值;n→n(3)设数列an共有2022项且a10.已知a1−apq−−1+a1=s,a2+a3++a2022=t.若an为“p坠点数列”且Sn为“q坠点数列”,试用st,表示S2022.2022上海数学模拟试卷共4页/第4页HeliosYu保留版权\n2022年全国普通高等学校招生入学统一考试上海数学模拟答题卡姓名_______________考场号_______座位号________准考证号1.答题前,考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在相应位置,同时条形码粘贴区(居中)注将背面的座位号填涂在指定的位置。2.答题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必意须用2B铅笔按图示规范填涂。事3.必须在题目所指示的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。项4.保持答题卡清洁、完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液和修正带。一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二.选择题13abcd14abcd15abcd16abcd三.解答题17请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号:姓名:1819请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号:姓名:20请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n准考证号:姓名:21请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效\n\n2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷(二)2022.6参考答案及评分细则教师注意:1.本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该试题的评阅.当考生的解答在某一步出现了错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的评分.这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误,就不给分.一、填空题(本大题共54分,其中1~6题各4分,7~12题各5分)1.−+15i;2.(0,3);3.−1;4.−2;5.−160;6.5;7.6;8.6;59.1,+);10.;6911.1;12.;81.【】z−z=+−+2i34i=−+15i;122.【】A=−(1,3,)B=(0,+)AB=(0,3);3.【】f(0)=+01a=0a=−1;2m1m2124.【】D==−4m=0m=2,而Dxy==+2mD,==−−2mm2−−12m1要使DDxy==0,则m=−2;n35.【】二项式系数C,0n6,nN,共有7项,则最大项为C.663333所对应的展开式中的项为Cx()−(2),系数为−160;62022上海数学模拟评分细则共9页/第1页HeliosYu保留版权\n6.【】作出可行域如图所示,通过直线的平移,得到z=−−0(5)=5;max86421055101520246345217.【】可知aq−aq=2aq2q+−==q10q,1112Sa+aq1+q211则===6;22aaqq318.【】首先假设两荤一素的情形,则只可能选择荤食①+荤食②+素食①的组合.接着假设一荤两素的情形,2若选择荤食①,此时由于任选两种素食的价格均不超过6.00元,共C种;3若选择荤食②,则只可能选择素食①+素食②或素食①+素食③两种.2总计1+C+=26种.39.【】由题意,yx=2的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率.b过双曲线的右焦点F作FA垂直于yx=,如图所示.aAOFbFA则FA=2,而tanAOF==2a1.aOA本题亦可用解析法设直线方程解出答案.110.【】线段AP扫过的区域面积即为以1为半径,母线长为5的圆锥的侧面积的,6115即S=S=rl=;侧66611.【】f(lg5)+f(lg25())=f(lg5)+f(1lg5−),x11−−xxxaaaa++aaa+a而fx()+f(11−x)=+==,xx1−xx1−a++aaa(a++a)(aa)则ff(lg5)+=(lg25())1;亦可使用特殊值法,令a=10,直接计算出结果.2022上海数学模拟评分细则共9页/第2页HeliosYu保留版权\n12.【】不妨设aOA=,bOB=,则向量问题可转化为如下解三角形问题:OAB1由ab=OAOBcosAOBcosAOB=,为锐角,422同时由余弦定理,AB=OA+OB−2OAOBcosAOB=1而c=+atat(0)实际上表示的是OA的延长线OA'.ii0i故c−=bOA'−OB=BA',而−=bBO,则cb−与−b的夹角=A'BO.iiOBAA’可知,随着OA'的增大,A'BO也在增大,则cos在减小,由题意,只需求cos所趋近的最大值和最小值即可.222BO+−BAOA7第一种极限情况,当A'与A重合时,cos=cosABO==28BOBA第二种极限情况,当A'位于OA的延长线无穷远处时,BA'可看作与OA'平行,根据1两条平行直线同旁内角互补的性质,cos=cos(−AOB)=−cosAOB=−47199由于k−coscos恒成立,则k+=,则k的最小值为.128488二、选择题(本大题共20分,每小题各5分)13.D;14.C;15.B;16.B;15.【】已知方程为一元二次方程,则a0.k2首先计算方程的根的判别式=−14a,并进行分类讨论.k222114−ak第一种情况,若=−14ak0,即ak,则xx12−=3,4ak112解得a.k742022上海数学模拟评分细则共9页/第3页HeliosYu保留版权\n222141ak−第二种情况,若=−14ak0,即ak,则xx12−=3,4ak1221解得ak1,故综合上述两种情况,ak,1才能满足不等式成立.4722222而a=−+2(k−1)da=dk−(4d+2d)k+d+4d+4.kk122若d=,则aa,均符合要求;67432若d=,则仅有a符合要求;34522若d=,则aa,均符合要求;2347若d=,则没有符合要求的项;416.【】命题p显然是错的,下分析命题q为真命题.关注到xx,的任意性,不妨设xx=,则0,fS(0),这是很重要的一点.1212若f(00)=,易知S=0,若f(00),则可验证S为无限集.上述为分析过程,下利用反证法进行证明.不妨假设fx()−fx()S,而由于xx,S,由定义,fx(),fx()S,121212则fx()−fx()S,与假设矛盾.122022上海数学模拟评分细则共9页/第4页HeliosYu保留版权\n三、解答题(本大题共76分)17.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)(1)实际上需求三棱锥PBBC−的体积.1由正四棱柱,BB=AA=23,BC=AB=3,AB=AB=3……(1分)11111三角形BBC的面积为S=BCBB=323=33……(3分)1BBC1122因为P是棱AA1上的动点且AA1与平面BCCB11平行,则只需写出AA1与平面BCCB11间的距离即可.由于AB⊥平面BCCB,不妨记三棱锥的高为AB……(4分)111111则三棱锥PBBC−1的体积VPBBC−11=SBBCAB1=33333=……(6分)33z(2)以D为原点,如图建立空间直角坐标系.……(7分)则A(3,0,0,)B(3,3,23,)C(0,3,0,)D(0,0,23)……(8分)11可知DB=(3,3,0,)CA=(3,3,0,−)CB=(3,0,23)……(9分)111设平面ACB的法向量为n=(xyz,,)1yx=ynCA=03xy−=30则3……(11分)nCB=03xz+=230zx=−12x不妨设n=−(2,2,3),同时设点D到平面ACB的距离为d11nDB111212则d===11……(13分)n111112故点D到平面ACB的距离为11……(14分)111118.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)1111(1)可知gx()=+cosx,同时令xk+=,代入x=得22222313=−+2,kkZ,故=−+2=,则gx()=+cosx……(3分)222242则周期T==4,……(4分)13再令x+2k,+2k,243即x−+4k,+4k,kZ为gx()的递减区间.……(6分)22(2)可知gx()=+cosx……(7分)3hx()=cos(−x)cosx+=coscosxx+……(8分)3313123=cosxcosx−sinx=cosx−sincosxx……(9分)22222022上海数学模拟评分细则共9页/第5页HeliosYu保留版权\n11cos2+x3=−sin2x……(10分)22411=−sin2x−+……(11分)2645由于2,x−−,则在2xx−==取最小值……(12分)666623111最小值为h=−+=−……(14分)324419.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)7(1)由于f(4)=28,则a=……(1分)22562当04x时,fx()=−−+x643.5x−56.5x+140……(2分)x+4解得0.25x4.……(3分)7当4x12时,fx()=(12−x)3.54x11……(4分)2即产生有效作用的时间段为0.25x11,故产生有效作用的时间t=110.2510.7510.8−=小时.……(6分)(答句不写倒扣1分)(2)当04x时,令tx=+1,则t1,5)125665t−61同时uv=−−+t65=−1……(7分)tt++33tt()再令mt=−6561,则m4,264)2m65则uv=−=11−……(8分)mm++1115616+3m++3176565m1561615616由基本不等式,mm++3172+317=215616+317mm当且仅当m=156164,264)时等号成立……(9分)265则uv在0,4)上的最大值为uv==6.456.5……(11分)215616+317712−x713当4x12时,uv==−12xx++121则此时uv在4,12是单调递减的……(12分)28则最大值在x=4时取到,uv==5.6……(13分)5故uv在0,12上的最大值为6.5.……(14分)20.(本题满分16分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)3(1)可知:l:3y=+(x)……(1分)MF1122与椭圆方程联立可得:13xx+23−450=,解得x=3(负值舍去)2022上海数学模拟评分细则共9页/第6页HeliosYu保留版权\n(这是由于在M的牵制下,只可能x−3)N1即N3,……(2分)21131535253故S=23=且S==……(3分)NFF12PFM1222228329则S=S−S=3……(4分)PMNF2PFM1NFF1232(2)由于直线PN的斜率必存在,则设lPN:y=−kxt()2222与椭圆方程联立可得:(14+k)x−8ktx+4kt−=4022221由相切,=1614(+k−kt)=0,则k=……(5分)2t−428kt214同时有韦达定理x+x=2x=,代入k=得x=……(6分)12N22N14+kt−4t222xNt−4故y=−1=N24t222122−t14而NFNF=x+y−=3=,解得t=32……(7分)12NN2t431则N3,……(8分)2PF232故在直角三角形PNF中,tanPNF==……(10分)22NF32(3)由于N与N',F与F是两组关于原点的对称点,由对称性知12四边形FNFN'是平行四边形,则NF与N'F是平行的,1221故FN'1上的任一点到FN2的距离均为两条平行线间的距离d.……(11分)易验证,当x0=3时,NF2与N'F1之间的距离为23,不合要求……(12分)y0设Nxy(00,),其中x0−(3,2),则lxNF2=−(3)x−3023ky0发现当x03时,dd==2oNF−22,其中k=……(13分)1+kx0−323k2312则d===,整理得k=……(14分)1+k27482y2x20220代入k=得:48yx00=−(3),代入y0=−1得13xx00−23−450=x−3401531531由于x0−(3,2),所以x0=,N,……(15分)1313263则lFN的直线方程为yx=−(3)……(16分)212注意:本题中容易出现多解,原则上在产生多解的情况下第(1)小题得分最高2分,第(3)小题得分最高4分.2022上海数学模拟评分细则共9页/第7页HeliosYu保留版权\n21.(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)n(1)对于a=−(2),由于a=−2,a=4,a=−8,a=16,a=−32,n12345则存在a2a3,a4a5,不满足定义,故an不是坠点数列.……(2分)2nn+1,2对于b=,容易发现b=3,b=5,b=4,b=8,nn−112342,n2即在前4项中只有bb.而对于n3起,23nn−−11n由于bbnn+1−=2−2=20,即bbnn+1对于n4是恒成立的.故bn是“3坠点数列”……(4分)(2)由绝对值定义,aa+−101.又因为an是“5坠点数列”,则an中只存在aa45且a−1.则当且仅当n=4时,ann+1−a=−(a+1),其余均为ann+1−a=+a1……(6分)故可分类列举:当n4时,a=1,a=+a2,a=2a+3,a=3a+4,1234当n5时,a=2a+3,a=3a+4,,42分组求和知:nn(−1)aa+−112当n4时,Sn=+n(a+1)=n−n,则Sa4=+610……(7分)222(nn−−45)()当n5时,Sn=S4+(n−42)(a+3)+(a+1)2aa++1253=n−n+88a+……(9分)22(若考生没有给出n5时完整的S或表达式有误,则不给分)naa++1253n−n+88a+Sn22则当n→时,lim=lim……(10分)22nn→nn→a+1==32则a=5……(12分)注意:考生在解答过程中可不必给出n4时S的通项公式,只需给出S即可,这是由于n4数列极限的定义可忽略前有限项对极限的影响,但n5时的S的通项公式必须给出,这n是由于教材中并没有体现只通过对应的系数求此类极限的方法,这是对计算力和严谨性的考察,也是对于过分依赖技巧的规避.(3)结论:S=+st……(13分)2022经过分析研究发现:pq=……(14分)下利用反证法予以证明.不妨设pq,首先研究Sn.由于Sn为“q坠点数列”,则只存在SSqq−1,即aq0……(15分)而对于1k2022且kq,则有SS,即a0kk−1k故在an中有且仅有一项aq0,其余项均大于0……(16分)2022上海数学模拟评分细则共9页/第8页HeliosYu保留版权\n又因为an为“p坠点数列”,则有且仅有aapp−1同时,0aaa,0aaaaa,12p−1pp++1qq12022这与a0是矛盾的,则p=qa=a且a0……(17分)qpq−−11p则as=,……(18分)1故S=+st.20222022上海数学模拟评分细则共9页/第9页HeliosYu保留版权

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-06-16 10:05:17 页数:18
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文章作者:随遇而安

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