上海市2022届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试卷（一）（PDF版带解析）

2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷2022.6考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共5页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={xZ|2x5}，则AB=__________13+i2.已知复数z满足=2i（其中i为虚数单位），则z=__________z23.已知函数fx()=xx(0)，则fx()的反函数为__________26334.已知二项式()x−，则其展开式中x前的系数为__________x25.设抛物线:y=2pxp(0)，F为的焦点，过F的直线l交于AB,两点.若|AB|4=且OF⊥FA，则抛物线的方程为__________xy+2−106.已知xy,满足：3xy−−20，则z=+2xy的最小值为__________x07.设有直线lkx:+y−=30，l的倾斜角为.若在直线l上存在点A满足|OA|2=，且tan0，则k的取值范围是__________a−a+a−a212348.已知公差为dd(0)的等差数列{}a，其中a=aa，则=__________n312a59.如图所示，有边长为2的正方体ABCD−ABCD，P为正方体表面的一11111个动点.若三棱锥APBC−的体积为，则||PD的取值范围是__________1210.2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：2022上海数学模拟试卷共4页/第1页2022.6\n志愿者类型所需人数备注采访者10男、女比例为1:1讲述者5男、女比例不限现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有__________个.22xy111.已知点P在椭圆:1+=上运动，的左、右焦点分别为FF12,.以P为圆心，半径为n432的圆交线段PFPF,于MN,两点（其中n为正整数）.设MFNF的最大值为M，最小值为m，1212则lim(Mm+=)__________n→2*12.设角数列{}n的通项为n=(nn−1)+,N，其中k为常数且0,.若存在整数k2k3,40，使{}n的前k项中存在ij,(ij)满足cosij=cos，则的最大值为__________二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）13.下列函数定义域为0,+)的是（）1A.y=B.yx=lnC.yx=D.yx=tanx2214.复平面内存在复数z=1，z=−1，zi=+对应的三点ZZZ,,，若点Z可与123123422ZZZ,,共圆，则下列复数中可以表示为Z的是（）1234A.tan15+cot30iB.cos45+sin30iC.tan30+sin15iD.sin75+sin15i15.已知定义在0,10)的函数fx()，满足：fx(+2)=fx()+a，fx()在[0,2]上的解析式为a+1,0x1x+2fx()=，设fx()的值域为A.若存在实数b，使得A+[,bb3]，则a的可能axx+1,123取值为（）7777A.B.C.−D.−12963216.已知不等式:ax+bx+c0(a0)有实数解.结论①：设xx,是的两个解，则对于任意12bc的xx,，不等式xx+−和xx恒成立；结论②：设x是的一个解，若总存在x，使12121200aa2得ax−bx+c0，则c0，下列说法正确的是（）00A.结论①、②都成立B.结论①、②都不成立2022上海数学模拟试卷共4页/第2页HeliosYu保留版权\nC.结论①成立，结论②不成立D.结论①不成立，结论②成立三、解答题（本大题共76分）17.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）P如图所示，设有底面半径为3的圆锥.已知圆锥的侧面积为15，D为PA中点，=AOC.3D（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线CD与AB所成角.AOBC18.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知在三角形ABC中，ab=2，三角形的面积S=12.（1）若b=4，求tan(AB+)；3（2）若sinC=，求sin,sinAB.519.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目.今年，一座人民公园将要建设一块绿地.设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地ABCD，CE是一段圆弧（以D为圆心，与BC相切于C），其中BEDE,为两条人行步道，AE为一条鲜花带.已知每米人行步道的修建费用为每米288元.BC（1）当=ADE50时，求人行步道BEDE,的长度之和；E（2）如何设计圆弧CE的长度，才能使人行步道BEDE,的总造价最低，并求出总造价.（长度精确到0.1米，造价精确到0.01元）AD2022上海数学模拟试卷共4页/第3页2022.6\n20.（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）2x2已知双曲线:1−y=，FF12,是其左、右两个焦点.P是位于双曲线右支上一点，平面2内还存在Q满足PF=FQ(0).22（1）若Q的坐标为(23,−5)，求的值；16（2）若y0，=3，且PFPQ=，试判断，Q是否位于双曲线上，并说明理由；p13（3）若Q位于双曲线上，试用表示PFPQ，并求出=7时PFPQ的值.1121.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）**已知数列{},{}ab满足：存在kN，对于任意的nN，使得b=+aa，则称数列nnnk++nnk{}b与{}a成“k级关联”.记{}b与{}a的前n项和分别为TS,.nnnnnnn*（1）已知a=2,nb=2,nN，判断{}b与{}a是否成“4级关联”，并说明理由；nnnnn*（2）若数列{}b与{}a成“2级关联”，其中a=cos+1,nN，且有bb==1,2，求nnn122TS−的值；20222022（3）若数列{}b与{}a成“k级关联”且有b=2022，求证：{}S为递增数列当且仅当nnnnaa,,,a0.122k2022上海数学模拟试卷共4页/第4页HeliosYu保留版权\n2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷2022.6参考答案及评分细则教师注意：1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该试题的评阅.当考生的解答在某一步出现了错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的评分.这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、填空题（本大题共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分，考生所给答案与本答案不一致，且经过商议后仍评为错误的，扣除相应空格所有分数）101.{3,5}；2.；2−13.f()x=−xx,0,+)；4.−540；25.yx=4；6.−2；537.,+；8.−；2453179.,；10.16003008；441911.5；12.；39二、选择题（本大题共20分，每小题各5分，每题只有一个正确选项）13.C；14.D；15.A；16.B；三、解答题（本大题共76分）17.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）（1）（本题每2分为一个评级，其中含有线段表示的公式1分，答案1分）S=rl=3l=15=l5PB=PA=5……（2分）侧22=hOP=PA−OA=4……（4分）1121=VS=hOAOP==9412……（6分）底3332022上海数学模拟评分细则共6页/第1页2022.6\n（2）（本题提供两种解法）P解法一：取OA边上中点E，连结DECEAC,,……（7分）DDE是AOP的中位线，所以DE//OP……（8分）OP垂直于底面，DE也垂直于底面，故DE⊥ABEAOB……（9分）CCACO=CE⊥OA，即AB⊥CE……（10分）由于CEDE,是平面CDE内两条相交直线……（11分）则AB⊥平面CDE……（13分）故AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角为……（14分）2z解法二：P取圆弧AB中点E，连结OE，由垂径定理可知OE⊥AB分别以OEOBOP,,为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D如图所示……（7分）则A(0,3,0),−B(0,3,0)AB=(0,6,0)……（8分）AOB333333y同时，C,−,0,D0,−,2CD=−,0,2CE2222x……（10分）设异面直线AB与CD所成角为……（11分）ABCD则cos==0……（13分，其中公式1分，答案1分）ABCD故=，即异面直线AB与CD所成角为……（14分）2218.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）（1）（本体要求分情况讨论分别写出结果，未进行分类讨论混写结果的本题最高得4分）1123S=absinC=2bsinC=16sinC=12sinC=……（1分）224sinC而tan(AB+)=tan(−C)=−tanC=−……（2分）cosC27分情况讨论，当C为锐角时，cosC0cosC=1sin−C=，43tan(AB+)=−7……（4分）727当C为钝角时，cosC0cosC=−1sin−C=−，42022上海数学模拟评分细则共6页/第2页HeliosYu保留版权\n3tan(AB+)=+7……（6分）7（2）（若有其他解法，请参照评分）11223S=absinC=2bsinC=b=12=b25=a45……（8分）22524分情况讨论，当C为锐角时，cosC0cosC=1sin−C=，522由余弦定理，c=a+b−2abcosC=36=c6……（9分）abc4525255由正弦定理，====10sinAB=,sin=（11分）sinAsinBsinCsinAsinB5524当C为钝角时，cosC0cosC=−1sin−C=−，522由余弦定理，c=a+b−2abcosC=164=c241……（12分）abc45251062053205由正弦定理，====41sinAB=,sin=sinAsinBsinCsinAsinB3205205……（14分）19.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）（1）（本题亦可用余弦定理求解，请参照评分，但不利于后续解答）如图所示，作EF⊥⊥ABEG,AD……（1分）BC同时可知，DE==DA500米，FE故由DG=DEcosEDA=500cos50EF=AG=AD−DG=500500cos50−……（2分）同时，BF=AB−AF=AB−EG=500500sin50−……（3分）222由勾股定理，BE=+EFBF……（4分）AGD22解得BE=(500500cos50−)+(500500sin50−)=213.50米……（5分）BE+DE=213.50500+=713.50713.5米……（6分）（2）（本题还可采用余弦定理求解，但需注意中间半角和全角的转化，请参照评分）设AB=BC=CD=AD=DE=R（R=500米）则与第（1）问相同，设=ADE，由于DE为定值，只需考虑BE的变化情况则EF=R(1cos−),BF=R(1sin−)……（8分）222由勾股定理，BE=+EFBF……22解得BE=R(1cos−)+(1sin−)=R32sin−−2cos……=R322sin−+,0,……（10分，辅助角公式和定义域各1分）42故当+==时，BE取得最小值.……（11分）4242022上海数学模拟评分细则共6页/第3页2022.6\n则(BE+DE)min=R322−+R=R(322−+1)=5002=707.1米……（12分）则总造价=2885002=203646.753元……（13分）此时圆弧CE=500125==392.7米……（14分）4故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道BEDE,的总造价最低，为203646.753元.……（答句不写倒扣1分）20.（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）22222a=2,b=1c=a+b=3F(3,0)……（1分）233−=xpPF=(3−x,−y),FQ=(3,−5)P(3−3,5)……（2分）22pp−y=−5p2代入双曲线方程化简得7+6−=10……（3分）1解得=（负值舍去）……（4分）7（2）1416PFPQ1=PFPF1(2+FQ2)=PFPF12+PF2=PFPF12=PFPF12=4…（6分）333设Pxy(,)，则PF=−(3−x,−y),PF=(3−x,−y)，0010020022222xx00344315PFPF=x−+3y=x−+3−=1−=44x=3P,120002203338315同时解出Q,−……（8分，PQ,一个坐标1分）99228315代入双曲线方程，即−−22=，所以Q在双曲线上……（10分）99（3）设Pxy(,)，则PF=−(3−x,−y),PF=(3−x,−y),FQ=(x−3,y)001002002QQ33−xx=−33+−xy0Q00由PF=FQQ,−……（11分）22−=yy0Q2233+−xy00代入双曲线方程，即−22−=，化简得23(+1)−23(+1)x0=2(+1)(−1)……（12分）2022上海数学模拟评分细则共6页/第4页HeliosYu保留版权\n3(+1)−23xx00=2(−1)=23−5……（13分）21++113x0PFPQ1=PFPF1(2+FQ2)=PFPF12+PF2=PFPF12=−422+13+10+25127=−4=+11−+3,(0,+)……（15分）2128代入=7，解得PFPQ=16……（16分）121.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）n+4n+4n+2由b=+aa可得：2=2n+2n+82=4n+82=+n2……（2分）n++44nn显然，等式不恒成立，举反例：n=1时，有：左==83右.……（4分）（2）由b=+aa可得：b−=aa……（5分）n++22nnn++22nn利用累加法：(b−a)(+b−a)++(b−a)=a+a+a……（6分）202220222021202133122020整理得：T−S−(b+b)(+a+a)=ST−S=S−(a+a)(+b+b)20222022121220202022202220201212……（7分）n*由a=cos+1,nN可知：aa=且第一周期内有a=1,a=0,a=1,a=2nnn+412342……（8分）所以SS=505=50542020=……（9分）20204而又因为bb==1,2，故TS−=2020132022−+=.……（10分）1220222022（3）由aa+=2022展开分析：nnk+则有：a+a=a+a=2022a=a（*）……（12分）nk+n+22knnk+nn+k（此处必要性与充分性的说明分别给出一种解法，但都可用反证法，可参照评分）（a）先说明必要性.由{}S为递增数列可知：S−=Sa，当1nk2−1时，显然需有aa,0，由此nn++11nn22k才能保证SSS……（13分）2kk2−11接着论证2kn4k−1的情况，首先当nk=2时，因为SS，故S−S=a0，2kk+122k++12k2k12022上海数学模拟评分细则共6页/第5页2022.6\n由（*）式可知：aa=0，故aa,,,a0.……（14分）12k+1122kS−S=a=a02k+22k+12k+22S−S=a=a02k+32k+22k+33而当2k+1n4k−1时，因为，也可说明aa22,,k0.S−S=a=a04k4k+14k2kS−S=a=a02km+12km2km+11S−S=a=a02km+22km+12km+22*故可知：S2km+3−S2km+2=a2km+3=a30,mN（必要性得证）……（15分）S−S=a=a02(km+1)2(km+−1)12(km+1)2k（b）再说明充分性.考虑反证法.假设数列{}S中存在两项满足SS，得到S−S=a0……（16分）nii+1i++11iian,=2km+11an,=2km+22由于aa=结合aa,,,a0，能够得到：a=,mN……（17分）nn+2k122kna,n=+2(km1)2k*可知a0对于全体正整数N都成立，这与存在一项a0矛盾！假设不成立……（18分）ni+1（充分性得证）由（a）、（b），命题得证.2022上海数学模拟评分细则共6页/第6页HeliosYu保留版权\n2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学模拟试卷双向细目表2022.6命题的目的仿真模拟、查漏补缺、打开思路试卷总体难度估计0.55~0.65试卷内容考察目标其他考量题号考察知识与能力记忆理解应用分析评价创造题型难度估计1集合的运算√√填空0.8~0.92复数的共轭、复数的模长运算√√填空0.8~0.93基本初等函数的反函数√√填空0.8~0.94二项式定理√√填空0.8~0.95抛物线的标准方程√√填空0.7~0.86简单的线性规划√√填空0.7~0.87直线与圆的位置关系√√√√填空0.6~0.78简单的等差数列√√√填空0.7~0.89简单的几何体、空间中两点连线的长度√√√√填空0.6~0.710简单的排列组合√√√√填空0.7~0.811向量的数量积、数列的极限√√√√√填空0.4~0.512数列与平面几何√√√√填空0.2~0.313基本初等函数的定义域√√选择0.8~0.914复数的几何意义√√选择0.7~0.815分段函数的单调性、周期性、值域√√√√选择0.5~0.616一元二次不等式与二次函数图像√√√√选择0.5~0.617（1）简单的几何体的侧面积、体积√√解答0.8~0.917（2）空间中异面直线所成角√√√解答0.7~0.8上海数学模拟双向细目表共3页/第1页2022.6\n18（1）三角形面积公式、诱导公式、角的三角比√√√√解答0.7~0.818（2）三角形面积公式、正弦定理、余弦定理√√√√解答0.6~0.719（1）平面几何中的长度问题√√√解答0.7~0.819（2）三角函数的最值问题、数学建模√√√√解答0.5~0.620（1）双曲线的焦距、向量的坐标表示、简单计算√√√解答0.7~0.820（2）向量的分解、向量的数量积、简单计算√√√√解答0.5~0.620（3）向量的分解、向量的数量积、函数关系的表示√√√√√解答0.3~0.421（1）新定义数列的定义理解√√√解答0.7~0.821（2）新定义数列的性质理解与应用、累加法的应用√√√√√解答0.5~0.621（3）新定义数列性质探究、充要条件的证明√√√√√解答0.2~0.3知识点题号总分值集合与命题1、21（3）12不等式165函数3、13、15、19、20（3）35三角12、1819平面向量11、20（2）、20（3）17复数2、149知识点分数列8、12、2128布与分值解析几何5、7、11、2030矩阵、行列式、线性规划、排列组合、4、6、1013二项式定理、算法、概率统计、参数方程等立体几何、空间向量、三视图9、1719数形结合思想5、12、15、16分类讨论思想10、12、15、16、18转化与化归思想6、7、9、11、12、14、15、21上海数学模拟双向细目表共3页/第2页HeliosYu保留版权\n函数与方程思想16试卷命制过程主要为封校期间，耗时约为2周半，命制思路为：1.考察主干知识及高中期间基本数学思想；2.问题设计情景化、丰富化、多样化，符合上海高考一贯特点，引导学生关注社会实际；3.90%及以上为原创（其中重点位置如11、12、15、16、19、20、21均为原创），10%左右有微小改编（根据教材内容和历年高考真题，借助类似思想进行改编，如8、9、14，其中14改编于教材）试卷命制说明4.关注难度的梯度性，展现不同层次学生能力，目标起到较好的区分度；5.使得教师的教学成果及学生的课后思考有所体现，如16题命制思路源自于一元二次不等式的教学；6.关注一题多解，如17（2）用几何演绎法和空间向量法都可探寻到正确的答案，19（2）也有多种思路，但哪种思路为最优解，仍需要学生自主探究.感谢试卷命制过程中多位同学提供的帮助，同时感谢上海maths刘伏星老师提供交流学习的机会.获取试卷、参考答案、双向细目表pdf请联系：Helios_Office@aliyun.com上海数学模拟双向细目表共3页/第3页2022.6