2022届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练试卷（PDF版带解析）

2022年高考模拟演练数学参考解答一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设向量a(3,2)，b(,2)m，若abm，则abA.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(5,0)【解析】由题，mmab34，解得m2，所以ab(3,2)(2,2)(5,0).【命题分析】本题属于简单题，考察向量坐标形式的加法运算和数乘运算.2.已知集合PQ()(2,)，PQ(2,1)，则QRA.(2,)B.(,1)C.(,2]D.[1,)【解析】根据右边的Venn图：I区表示PQ()；RII区表示PQ；IIIIIIIII区表示QP()；RIVIV区表示()PQ.R由题，集合PQ()对应于I区，II区，IV区的并集，所以III区对应(,2]，R从而Q对应II区，III区的并集，故Q(,1).【命题分析】本题属于简单题，考察集合的交、并、补运算.在确保试题难度合理的同时适当创新，引导考生通过Venn图进行直观思考，避免了繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案.需要注意的是，解析中的四个分区可能有空集（这时存在集合间的包含关系），但两两相交一定是空集.223.若圆(xa)(y1)4(a0)与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为A.3B.2C.22D.23【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公22切线），因此圆心距a121，结合a0解得a22.【命题分析】本题属于简单题，考察圆与圆的位置关系与公切线问题.近年高考题中大多考察圆与直线的位置关系，但圆与圆的位置关系也是很重要的知识点，不可忽略.数学答案第1页（共18页）\n4.以下结论中错误的是A.经过不共面的四点的球有且仅有一个B.平行六面体的每个面都是平行四边形C.正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D.棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直【解析】D选项错误，棱台的侧棱只要求汇于一点，并不要求与底面不垂直.【命题分析】本题属于简单题，考察几何体的概念与基本性质、立体几何中的基本定理等.棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球是立体几何的基本几何体，其中的概念需要熟练掌握；特别地，直棱柱、正棱柱、平行六面体等更为精细的概念，更需要回归课本，加以区分.5.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数2222222222221231112220.设25abcd，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(,,,)abcd的个数是A.28B.24C.20D.16【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论.最大数为5的情况：22221①255000，此时共有A4种情况；4最大数为4的情况：22222②254300，此时共有A12种情况；422222③254221，此时共有A12种情况.422222222当最大数为3时，3322253321，故没有满足题意的情况.由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(,,,)abcd的个数是4121228.【命题分析】本题属于中档偏易题，以四平方和定理为命题背景，考察分类讨论和计数原理.数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，其中的颇多问题吸引着无数的数学家和数学爱好者研究，例如其中最负盛名的Goldbach猜想、孪生素数猜想、Fermat大定理、Riemann猜想等问题，仍然是当今数学界耀眼的明珠.2018年全国II卷就曾以Goldbach猜想为背景，考察古典概型，而本题可谓是对该题的致敬.数学答案第2页（共18页）\nn6.“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为SkBpilnpi，其中ii1表示所有可能的微观态，p表示微观态i出现的概率，k为大于0的常数.则在以iB下四个系统中，混乱程度最高的是112A.ppB.p，p12122331111C.pppD.p，p，p1231233632【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）.1111A.系统的混乱程度Slnlnln2；A22223112224B.系统的混乱程度Slnlnln2ln3ln；B33333311111C.系统的混乱程度Slnlnln3ln3；C33333111111113D.系统的混乱程度Slnlnlnln2ln3ln4ln3.D66332232其中S最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高.C【命题分析】本题属于中档题，以“熵”为命题背景，考察信息提取能力（重点）和对数大小的比较（次重点）.“熵”是统计物理学和信息学常用的概念，高考曾多次或直接或间接地进行考察，例如2005年全国I卷22题，2020年新高考卷12题.本题要求相对而言较低，考生只需读懂公式，针对具体的情况进行计算即可.选项的设置类似于2020年全国III卷3题，给出四种情形下的概率分布，但本题需要逐一求解，相对耗费时间更多.26a7.已知，(0,)，tan()，cos()，则cos(2)3263533533A.B.C.D.9393【解析】根据待求式的结构，可以考虑这样的构造：22()().362根据诱导公式，cos(2)cos[2()()]sin[2()()].3623622tan()tan()132231sin[2()]，cos[2()]；332332tan()1tan()133633cos()，()(0,)，所以sin()，故cos(2).6362633【命题分析】本题属于中档题，考察诱导公式和三角恒等变换.数学答案第3页（共18页）\na8.下图为正三棱柱ABCDEF的一个展开图，若A，A，A，D，D，D六点在1212同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是．．．．．．．5A.85B.733C.833D.7【解析】六点共圆的示意图如图所示.设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r.b3,ar则有方程组解得r2b23a.222b3.ar从而在原正三棱柱中，高为底面边长的3倍.设直线AE和直线BF所成角为，则AEBFcos.|AE||BF|22由勾股定理，|AE||BF|(2)a(2)b4a；AEBF(ABBE)(BEEF)2BEABEF222(2)b(2)(2)cosaa10a.32AEBF10a5故cos.2|AE||BF|16a8【命题分析】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考察几何体的展开图、异面直线所成的角等.题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现.棱柱中异面直线的夹角在高考中考察多次，例如2018年全国II卷9题、2017年全国II卷10题等，方法较多，需要熟练掌握.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。数学答案第4页（共18页）\n9.已知函数fx()2sin(2x)(0)的图像关于直线x对称，则A.fx()是奇函数B.fx()的最小正周期是C.fx()的一个对称中心是(2,0)D.fx()的一个递增区间是(2,3)【解析】2B.fx()的最小正周期是T，B正确；2A.由于fx()的图像关于直线x对称，且最小正周期是，因此fx()的图像也关于直线x0对称，故fx()是偶函数，A错误；C.因为是偶函数，且最小正周期是，则fx()2cos2x或fx()2cos2x，根据0可得解析式为前者.fx()的对称中心为(kk,0)(Z)，C错误；2D.由于(2,3)(,)，而fx()在(,)单调递增，D正确.22【命题解析】本题属于中档偏易题，考察三角函数的图像与基本性质.310.已知fx()3lnxx(2x1)2，则1A.fx()的定义域是[,)23B.若直线ym和fx()的图像有交点，则m(,ln2]2723C.ln16332D.ln(221)29【解析】A.fx()的定义域是各部分定义域的交集，故A正确；B.对fx()求导数得fx()3(lnx12x1)，fx()的单调性不易判断，因此再112xx1设gx()lnx12x1，gx().令gx()≤0，发现恒成立.x2x1x2x111故gx()在[,)单调递增.又因为g(1)0，则gx()在[,1)递增，在(1,)递减.m的22最大值应为f(1)1，B错误；7723C.由B中的分析，gg()(1)，代入得ln1，C正确；663393D.由B中的分析，ff()(1)，代入得ln221，D错误.222【命题分析】本题属于中档题，考察函数与导数，函数的单调性.数学答案第5页（共18页）\n211.设抛物线C：yx8与直线yxm相交于不同的两点A，B，弦AB的垂直平分线与x轴交于P，与C的准线交于Q.下列结论正确的是A.22mB.弦AB中点的纵坐标是定值C.存在唯一的m使得APB60D.存在唯一的m使得|PQ||AB|【解析】2A.联立直线与C的方程，消去x得y8y8m0.由题可知6432m0，可得m2，错误；B.由A中的分析，yy8，故弦AB中点的纵坐标为4，是定值，正确；ABC.若APB60，且P在AB的垂直平分线上，则△PAB是正三角形.若设AB的中点为M，则Mm(4,4)，Pm(8,0)，从而|MP|42，|AB|26432m.令24|AB||MP|，解得m，C正确；33D.抛物线C的准线方程是x2，因此Qm(2,10)，|PQ|2(10m).令22(10mm)26432，化简得(m6)0，解得m6，D正确.【命题分析】本题属于中档题，考察直线与抛物线.选项均为基本量的求解，其中C选项要求考生建立角度和长度的关系，设问相对新颖，体现了一定的区分度.12.某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品.员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k0，1，2，3.则下列判断正确的是A.随机变量X服从二项分布B.随机变量Y服从超几何分布C.PX(k)PY(k)D.EX()EY()【解析】A.B.由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；3333kkkk515kkCMM5C5C5C5D.设该批产品有M件，则EX()3；EY()33MMCCkk01MM15(MM1)(2)15，因此D正确；MM(1)(M2)MC.假若C正确，则D错误，矛盾！故C错误.数学答案第6页（共18页）\n【命题分析】本题属于较难题，考察二项分布和超几何分布的基本概念、概率分布与期望等.二项分布自然不必多言，作为离散型随机变量的典型代表，被高考和各路模拟卷考察已经是家常便饭.同样是离散型随机变量的超几何分布，虽然对分布律形式和期望公式的推导（应该）没有要求，但是既然这个概念被课本单列出来且加粗，还是应该至少做到心里有数.2021年新高考I卷8题应该已经给轻视概念的人敲响了警钟，那么尤其是在概率统计的部分，更应该注重基本概念的识记.本题为这两个分布创立了类似的情境，区别仅在于“有放回”和“无放回”，需要考生冷静思考其中的区别.在不给出该批产品总数的情况下，判断选项C事实上是有难度的，考场上考生可以通过特值法来排除，也可以类似于解析中的处理方法，先计算数学期望，发现期望相等之后倒推C选项得出矛盾.D选项体现了相当的区分度，如果对超几何分布的性质较清楚，可以马上断定D选项正确；若对性质不太清楚，则需要进行组合数和期望的运算，花费时间是比较长的.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2a13.若幂函数y(aa5)x的图像关于y轴对称，则实数a________.2【解析】由幂函数可得aa51，解得a3或a2，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以a2.【命题分析】本题属于简单题，考察幂函数的概念与基本性质.214.请写出一个同时满足①|zz2i||2|；②||z2的复数z：________.【解析】对条件的处理可以采取以下两种方法：2222（1）设zabi，由条件①可以得到a(b2)(a2)b，两边平方化222简可得ab，故||z2ab2ab1，z(1i)；（2）由复数模的几何意义，若z满足|zz2i||2|，则z在复平面中对应的点在2i对应点和2对应点连线的中垂线上，这条直线与圆||z2的交点为(1,1)和(1,1)，因而z(1i)；【命题分析】本题属于中档偏易题，考察复数的几何意义与复数的模.本题以开放性试题为载体，考察复数的模的问题，其中对于条件①的翻译尤为关键，既可以选择代数角度（方法（1）），也可以是几何角度（方法（2）），给予考生多个入口破题，最后殊途同归得到答案.虽然问题本身不难，但创新程度和题目质量可见一斑.数学答案第7页（共18页）\n15.设{}a是公差非零的等差数列，a，a，a依次成等比数列，lg(a1)，lg(a1)，n23512lg(a1)依次成等差数列，则{}a的前n项和为________.5n【解析】设{}a的首项为a，公差为d.根据两个条件分别可得：n12（1）(a12)d(a1da)(14)d，所以ad10，又d0，故a10；2（2）(a1d)(a1)(a4d1)，由（1）代入得d2.1112所以{}a的前n项和为nn.n【命题分析】本题属于中档偏易题，主要考察等差数列与等比数列的性质.22xy16.已知双曲线C：1(ab0,0)，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，22abB两点，且OAOB，其中O为坐标原点.则C离心率的取值范围是________.【解析】设Axy(,)，Bxy(,)，AB：xmyc，与C的方程联立，消x得1122222224(bmay)2bcmyb0.22222a4222由题可知bma0，则m，且判别式4(bama)0.2b22因为OAOB，所以xxyy0，即(m1)yymcy(y)c0.121212122422422由韦达定理代入并化简得mb(bc)bac0.2244224222acb当(bbc)(bac)0时，解得m.422bbc222422aacba22由于m，所以，化简得ba2，所以e3.24222bbbcb42242242215另一方面，(bbc)(bac)0，即bac0，解得e.2215且(15)62512，所以3.215故C离心率的取值范围是(,3)(3,).2【命题分析】本题属于中档偏难题，考察直线与双曲线的综合应用.题目中没有出现任何一个数字，关键在于如何转化OAOB这一条件.因为A，B两点的坐标不易求出，因而很自然地可以想到可以用数量积为0来转化条件.题干给出的条件事实上是存在性命题，那么相对应地可以得到某方程有解的结论，进而通过方程解的判定求出双曲线离心率的范围.另外，联立直线与双曲线的方程需要格外注意二次项系数与判别式，否则可能会遗漏3这一特殊情况.数学答案第8页（共18页）\n四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）aaa12n数列{}a满足a1，n1.n1a1a1a123n1（1）求数列{}a的通项公式；n4n（2）数列{()a}中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最n5小项；若不存在，说明理由.【解析】aa12anann1（1）由于n1，向前写一项并相除得，从而a1a1a1an123n1n1n1(n1)ana(n1)，累加可得n≥2时a.nn1n2n1又当n1时亦符合该通项，因此{}a的通项公式为a，nN.nn24n（2）设ba().数列{}b是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均nnn5为正数.所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现.b21k25k16（i）考察奇数项{}b21k，令1，解得k，所以有bk161921kbbbb，13574n43128这表明数列{()a}的最小项为()a.n355125b2k252k18（ii）考察偶数项{}b2k，令1，解得k，所以有bk1623322kbbbb，24684n44128这表明数列{()a}的最大项为()a.n4551254n128综上所述，{()a}存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三n5125128项.125【命题分析】本题属于中档题，考察数列的递推与通项、数列的单调性等.数列的单调性虽然基础，但在大题中不常考察，在一众错位相减、裂项放缩的试题中较为亮眼.数学答案第9页（共18页）\n18.（12分）如图所示，四棱台ABCDABCD的上下底面均为正方形，侧面ADDA与底面111111垂直，BBCCBC3BC.1111（1）求证：平面ADDA平面ABBA；1111（2）已知四棱台ABCDABCD的体积为263.给出以下两个问题：1111①求异面直线BC和AA的距离.1②求A到平面CDDC的距离.111请从以上两个问题中选取一道进行求解.注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分.【解析】（1）在正方形ABCD中，有ABAD.由题设，平面ADDA平面ABCD，且平面ADDA平面ABCDAD，1111所以AB平面ADDA.11而AB平面ABBA，所以平面ADDA平面ABBA.111111（2）设BBCCBC33BCx.1111方法一：利用棱台的体积公式22由勾股定理，直角梯形CDDC的高DDCC(CDCD)5x，等腰梯形11111122AD11ADADDA的高（也就是四棱台的高）hDD()2x.11121232故四棱台ABCDABCD的体积V2xx(3x10x)263，解得x3.11113方法二：复原棱锥如图，延长各侧棱交于原棱锥的顶点P.则四棱台ABCDABCD的体积VVV，其中V，V分1111PABCD1111PABCDPABCD1111PABCD别表示四棱锥PABCD和PABCD的体积.1111数学答案第10页（共18页）\n3由于两棱锥位似，因此V:V(BCBC:)27，PABCD1111PABCD11所以V273.PABCD111122由勾股定理，直角梯形CDDC的高DDCC(CDCD)5x，11111122AD11AD等腰梯形ADDA的高（也就是四棱台的高）hDD()2x.11123故四棱锥PABCD的高为3x，1111212V3x(3)x273，解得x3.PABCD11113若选择问题①求解：由（1）知，AB平面ADDA，且AD平面11ADDA，故ABAA.111在正方形ABCD中，有ABBC，因此AB是xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx异面直线BC和AA的公垂线段，所以异面直线BC和AA的距离为ABx3.11故异面直线BC和AA的距离为3.1若选择问题②求解：同（1）可知平面ADDA平面CDDC，所以A到平面CDDC的距离就是A到直11111111线DD的距离d.1113615因为SADhDDd，所以dh.△DAD111112255615故A到平面CDDC的距离是.1115【命题分析】本题属于中档题，考察平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、棱台的体积、异面直线间的距离、点与平面间的距离等.棱台曾经为冷门考点，但自从八省联考13题与2021新高考二卷5题问世以来，棱台、圆台的表面积、体积的考察频次在逐步升高.本题第一问为常规几何关系的考察，难度较小；第二问给出两个难度相近的问题，让考生只需选择其中一问作答，体现了新高考的风格，也让考生有选择的余地.需要说明的是，两问均为距离问题，考频较低，且不适合建系求解，在照顾文科生的同时，也让只会建系的考生有些束手无策.数学答案第11页（共18页）\n19.（12分）在△ABC中，角ABC,,所对的边分别是abc,,，a3，b2，sinAm.（1）若△ABC唯一确定，求m的值；（2）设I是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，证明：当cr21时，ICIAIB.【解析】（1）设AB边上的高为h，则hbsinA2m0.cc22当m1时，由勾股定理，若A为锐角，则c94hh；若A为钝角，则cc22c94hh，△ABC不能被唯一确定.cc22当m1时，△ABC为直角三角形，其中A为直角顶点，cab5可以唯一确定，即△ABC唯一确定，故m的值为1.2222abc3rr（2）当cr21时，由余弦定理，cosC，故由同角三角函23ab221222数的关系可得sinC1cosC(rr)(rr)，所以△ABC的面积S39122absinC(6rr)(rr).2122另一方面，S(abcr)(3rr)，所以有(6rr)(rr)(3rr)，两边251平方可得(r2)(1r)(3rr)，解得r（负值舍去），cr215，△ABC2是以A为直角顶点的直角三角形.因此有2512512306IC()(2)935，IC935；2222512512102IA()()35，IA35；2222512512IB()(5)3，IB3.22所以有ICIAIB成立.【命题分析】本题属于中档偏难题，考察三角形解的数量的判定、解三角形、三角形的面积公式等.三角形解的数量的判定属于冷门知识点，很多考生只能从感觉上判断，而不能转化为数学语言进行描述，可能导致本题处理起来有些许费劲.第二问计算量比较大，如果不能正确找到翻译条件的途径，可能会导致在本题花费太久的时间.数学答案第12页（共18页）\n20.（12分）22xy设椭圆Cb:1(04)的右焦点为F，左顶点为A.M是C上异于A的动216b点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，AM2FQ.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点S，T满足PSSQ，FSST，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值.【解析】1b（1）当M为椭圆的下顶点时，AM(4,b)，则FQAM(2,).22b2b设C的焦距为2c，则Qc(2,)，即Qb(162,).2222(16b2)122因为Q在C上，故1，解得b16(232)83.16422xy则椭圆C的标准方程为1.1683（2）设Fc(,0)，直线PQ的斜率不为0，设其方程为xmyc.222联立直线PQ和C的方程，消x得(23my)23cmy3c1630.23ccm由PSSQ得S为弦PQ的中点，故S(,).2223mm2322c3cm23cm由FSST得S是线段FT的中点，故T(,).2223mm23224xm23ym23x2443m3m设T的坐标为(,)xy，则，，故()2224c23mc23mc443mm322283my232xy11()，即1，这表明T在中心为原点，(c,0)为242443mm33cc32c24123长轴端点，(0,c)为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点(1c,0)的距离22之和为定值.代入得两焦点坐标为((423),0).综上所述，平面上存在两定点(423,0)，(423,0)，使得T到这两定点距离之和为定值.【命题分析】本题属于难题，考察直线与椭圆的综合应用.题目的条件均通过向量等式给出，简洁而富有内涵.第二问通过待证命题引导考生计算出T的轨迹是椭圆，从而有数学答案第13页（共18页）\n目的性地求解T坐标，并消参得到轨迹方程.动点轨迹为椭圆的解析几何问题高考也曾有过考察，例如2003年理数21题，如果本题完成下来有困难的同学可以参考该题.【命题过程】2b①由椭圆内的垂径定理可知kk为定值，所以S在以O，F为长轴端点OSPQ2a的某椭圆上.2b②构造点T，事实上OS是△FFT的中位线，所以OS//FT，从而kkFTFT2a为定值，故T以F，F为长轴端点的某椭圆（中心在O）上.21.（12分）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系.设t时刻甲、乙种群的数量分别为ft()，gt()（起始时刻为t0）.由数学家Lotka和Volterra提出的模型是，函数ft()，gt()满足方程ft()aft()bftgt()()，gt()cgt()dftgt()()，其中a，b，c，d均为非负实数.（1）下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图.为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①ft()mtn；②tft()mn，其中m，n均为大于1的正数.根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由；甲种群数量21019519017017015015013412513011911210711010010390t0123456789（2）设ac0.08，db20.008.0.08t（i）函数Ft()e[2()ftgt()]的单调性；（ii）根据（i）中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝.注：在题设条件下，各种群数量均有上限值.数学答案第14页（共18页）\n【解析】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快.而增长速度大致对应种群数量对时间的导数.m如选用模型①，ft()，ft()是关于时间的减函数，不符合折线图；2tt如选用模型②，ft()nlnn，ft()是关于时间的增函数，不符合折线图.所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势.（2）由题设知ft()0.08()0.004()()ftftgt，gt()0.08()0.008()()gtftgt.0.08t0.08t（i）Ft()e[2()ftgt()]，Ft()e[0.16()0.08()2()ftgtftgt()].消去条件中的ftgt()()得gt()0.08()gt2[ft()0.08()]ft，所以Ft()0.所以Ft()为常函数.0.08t（ii）由（i），Ft()F(0)2(0)fg(0)，2()ftgt()[2(0)fg(0)]e.由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为M，M.12①若gf(0)2(0)，gt()2()ft.25M2210.08t则当tln时，ft()[()(2(0)gtfg(0))e]1，此时可以2gf(0)2(0)2近似认为甲种群灭绝；②若gf(0)2(0)，gt()2()ft.252M10.08t则当tln时，gt()2()(2(0)ftfg(0))e1，此时可以近22(0)fg(0)似认为乙种群灭绝；③若gf(0)2(0)，gt()2()ft，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况.综上所述，对所有gf(0)2(0)的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝.【命题分析】本题属于中档偏难题，考察非线性回归、创新情境等.本题是本卷最大的亮点之一，结合生态学知识、线性微分方程组等知识，以统计学基础知识为载体，考察考生的综合能力.众所周知，自2017年起，全国卷将概率统计题的地位不断提高，在2019年一卷放到了压轴的位置，2018年一卷、2021年新高考二卷等放到了次压轴的位置，重视程度可见一斑.先说背景，不知是有意或者无意，全国卷非常喜欢考察的一个数学答案第15页（共18页）\n方向是与生物结合（或许是命题组里有生物统计学的教授？）：2019一卷21题——小白鼠与药物有效性检验；2020年二卷18题——生态系统与野生动物数量；2021年新高考二卷21题——微生物繁殖……所以本题也正是基于此给定的背景——生态系统中的种间竞争.再说内核，全国卷概率统计之所以难，一方面可能是题目变长，理解起来更费劲些，但更主要的原因是思想方法上的突破.在2018年之前，没人想过概统题会用导数；19年之前，没人想过能与数列结合；2021年之前，没人想过能与%&@结合.（这一段说的比较绝对，只是为了加强语气，不是真的没人的意思.求生欲求生欲求生欲）事实上，在学过相应的知识后，背景是很明显的.2019年那道小白鼠，是非常典型的马尔可夫链（MarkovChain）；去年题目构造的让人一头雾水的函数，事实上是母函数（生成函数，GeneratingFunction）的具体化.数列和导数，都只是研究手段，而不是问题的核心所在.所以市面上笔者所看到的模拟卷概率统计，常规的出法我就不多说了，大部分是想要创新但是创不到点子上（这里给要特别表扬“星云”线上联考，五一的考试大胆地将数理统计中“极大似然估计法”作为命题材料，极富有新意且难度适中，可以作为概率统计创新题目的标杆）.回到本题，非齐次线性微分方程组本身是非常麻烦的，在初值不确定的情况下，更是可能出现多种多样的解.而本题并不将重心放在解方程组本身，而是利用方程组来讨论解的性质.（2）中（i）小问具有很强的提示性，引导考生通过考虑给定函数的单调性求出两种群数量间的关系；注解也耐人寻味，种群数量有上限值和指数函数的无界性产生了激烈的矛盾，诱导考生思考种群数量的变化趋势.由于题干给出的条件并没有具体的数，所以思考起来可能会有一点抽象，而这也是本题拉开差距的地方之一.当然，概率与统计的上限也是很高的，然而能下放作为高中考题的并不多.这是因为，除了二项分布、超几何分布，其它的任何分布几乎都需要用到无穷级数和广义积分的知识，也很难通过一些手段转化为高中考纲内的知识.所以要想解决一些创新情境的较难题，还是要靠扎实的基本功，以及强大的心理素质.对于非高三的同学，如果学有．．．．余力的话，可以尝试看一些简单的随机过程（如马尔科夫链、随机游动等）、生成函数．．．．与特征函数（后者对复数的要求比较高）、参数估计等知识.对于命题老师（特别是不直接参与教学的老师），我个人的建议是，至少应该了解基本的概率论、数理统计、随机过程的知识；如果想模仿高考题但追求质量，坚决不能只模仿表面，内核更重要.数学答案第16页（共18页）\n22.（12分）设函数fx()xlnaalnx，a1.（1）若对任意x[4,)，都有fx()≥0，求a的取值范围；2n（2）设gxn(,)fx()fx()fx()，nN.当01x时，判断gxn(,)，gxn(,2)，gxn(,3)是否能构成等差数列，并说明理由.【解析】alnaa（1）fx()的定义域是(0,)，fx()lna(x).xxlnaa①若≤4，则当x[4,)时，fx()0，fx()在[4,)单调递增，fx()≥0等lnaa42价于f(4)≥0，即4lnaaln4≥0，由a1得≤.lnaln4ln2xlnx1设hx()，x1.hx()，故hx()在(0,e)单调递减，在(e,)单调递2lnxlnx2a2增，而hh(2)(4)，所以≤的解集为[2,4].ln2lnaln2aaa②若4，则fx()在[4,)单调递减，在(,)单调递增，fx()≥0等价于lnalnalnaaaaf()≥0，即aaln≥0，即≤e，矛盾！lnalnalna故a的取值范围是[2,4].nnnn（2）fx()xlnaalnxxlnaanlnx.21nngxn(,)fx()fx()fx()(ln)(1xaxx)(ln)(12axn)xlnanalnx(1x)nn(1).12xxlna2nalnx同理可得gxn(,2)(1x)2(2nn1)，12xxlna3nalnxgxn(,3)(1x)nn3(3.1)12x22xalnnn所以gxn(,)gxn(,3)2(,2)gxnanlnxx(1x).1x下面证明gxn(,)gxn(,3)2(,2)gxn0.22lnaxnnlna1gx()an[lnxx(1x)]，且由（1）知≤，所以只需证明x(0,1)ax1aen22xnnnt2时，nlnxx(1x)0.令tx(0,1)，即证nlntt(1t)0.e(1x)ne(1t)数学答案第17页（共18页）\nnnt22t2设Fn()nlntt(1t)，n≥1.Fn()[(1t)lnt1]lnt0，nne(1t)e(1tt)2t2t(1t)所以Ft()≥F(1)lntt(1t)lnt.e(1t)e2232tt(1)12t3t3t2te设Gt()lnt，Gt()0，故Gt()在(0,1)单ettee调递减，Gt()g(1)0.所以gxn(,)gxn(,3)2(,2)gxn0，故gxn(,)，gxn(,2)，gxn(,3)不能构成等差数列.【命题分析】本题属于难题，考察导数与函数的单调性、不等式恒成立等.（1）虽然不易分离参数，但是a和x有明显的结构相似性，可以通过类似分参的方法说明，也可以通过参考答案所示方法进行分类讨论.（2）为不等式的证明问题，难度较大，涉及多参数的不等式.将gxn(,)gxn(,3)2(,2)gxn求出并化简，侧面考察了等差数列和等比数列的求和，弥补了17题中相关知识的空缺.在化简完之后，可能有同学想直接通过导数来求单调性，从而得出结论，但是实操一下就会发现，两个未知参数给讨论增加了很多麻烦，因此可以尝试通过放缩，依次消去两个参数，从而得到一个更为简单的不等式，进而可以得出结论.值得注意的是，全国卷对于多参数函数的考察较少，主要集中在零点问题，所以对于不等式的证明也需要做到心中有数.附：多参数的相关练习——极光杯III22题22.（12分）badceeee已知实数abcda,,,(cdb)满足k.badc（1）求k的取值范围；abcddc（2）若ee2(ee)恒成立，求的取值范围.ba命题、解答、审核：熊猫猫数学答案第18页（共18页）