专项训练五 解析几何（考点4 解析几何中的探索性问题）(原卷版)

专项五解析几何考点4解析几何中的探索性问题大题拆解技巧【母题】(2021年全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.【拆解1】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,求C的方程.【拆解2】已知直线l:x=1,点M(2,0),且☉M与l相切,求☉M的方程.【拆解3】已知抛物线C的方程为y2=x,圆M的方程为(x-2)2+y2=1,设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判段直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.小做变式训练已知点P为椭圆W:2x2m2+y2=1(m>0)上任一点,椭圆W的一个焦点坐标为(-2,0).(1)求椭圆W的标准方程;(2)若点Q是抛物线C:x2=2my的准线上的任意一点,以PQ为直径的圆过原点O,试判断1|OP|2+1|OQ|2是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【拆解1】已知点P为椭圆W:2x2m2+y2=1(m>0)上任一点,椭圆W的一个焦点坐标为(-2,0),求椭圆W的标准方程. 【拆解2】已知m=6,求抛物线C:x2=2my的准线.【拆解3】已知点P为椭圆W:x23+y2=1上任一点,若点Q是直线y=-62上的任意一点,以PQ为直径的圆过原点O,试判断1|OP|2+1|OQ|2是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.技巧归纳此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.突破实战训练<基础过关>1.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为-14,记M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)在第一象限内,曲线C上是否存在点P,使得∠PBA=2∠PAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,焦距为4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)过该椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点,P为直线x=3上的一点,是否存在直线l与点P,使得△ABP恰好为等边三角形?若存在,求出△ABP的面积;若不存在,请说明理由. 3.已知椭圆C:x24+y2=1.(1)椭圆C是否存在以点(-1,12)为中点的弦?若存在,求出弦所在的直线l的方程;若不存在,请说明理由.(2)已知椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是椭圆C上的点,若直线AP,BP分别与直线y=3交于G,H两点,求线段GH的长度取得最小值时直线GP的斜率.4.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(0,4),且与抛物线C:x2=4y交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)在y轴上是否存在定点N,无论直线l的斜率为何值,向量AN|AN|+BN|BN|与MN始终共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.<能力拔高>5.已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,直线l:y=kx+t交椭圆C于A,B两点,OM=OA+OB,且点M在椭圆C上,当k=12时,t=1.(1)求椭圆C的方程;(2)试探究四边形OAMB的面积是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.6.已知F1,F2分别是椭圆C:x24+y2=1的左,右焦点. (1)若P是椭圆C第一象限内的一点,PF1·PF2=-54,求点P的坐标.(2)若直线l与圆O:x2+y2=14相切,交椭圆C于A,B两点,是否存在这样的直线l,使得OA⊥OB?<拓展延伸>7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(6,0)在椭圆C上,且AF1·AF2=3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)椭圆C上的两点P,Q关于原点O对称,点R在椭圆C上,且直线PR与圆O:x2+y2=2相切,|PR||QR|是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.8.在平面直角坐标系xOy内,已知抛物线y=x2的焦点为F,P为平面直角坐标系内的点,若抛物线y=x2上存在点A,使得AF⊥AP,则称A为点P的一个“垂足点”.(1)若点P有两个“垂足点”分别为M(1,1)和N(2,4),求点P的坐标.(2)是否存在点P,使得点P有且仅有三个不同的“垂足点”,且点P也是双曲线y28-x22=1上的点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.