高考数学专题突破练3　基本初等函数、函数的应用

专题突破练3　基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f(x)=xx2-1−12的零点个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.1B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=32,c=ln3ln2,则(　　)A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f(x)=logax+ax(a>1)的图象大致是(　　)4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x的方程9x-2a·3x+4=0有一个大于2log32的实数根,则实数a的取值范围为(　　)A.0,52B.52,4C.52,+∞D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f(x)=2x-a,0≤x<2,b-x,x≥2,其中a,b∈R,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f(x)=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是(　　)A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)=lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为(　　)A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)=|log3x|,0<x≤3,1-log3x,x>3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为(　　)A.(-1,0)B.-1,-33C.-1,-23D.-23,-33 二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lgN=n+lga,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有(　　)真数x2345678910lgx(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.71828…),对于函数f(x),下列说法正确的是(　　)A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)=-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则(　　)A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题 11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)=x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为　　　　　. 12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=ex+x2+ln(x+a)与函数g(x)=ex+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为　　　　　. 专题突破练3　基本初等函数、函数的应用1.B　解析令f(x)=xx2-1−12=0,即x2-2x-1=0,解得x=1±2,经检验x=1±2是方程f(x)=0的解,故f(x)有两个零点.故选B.2.C　解析a=32,b=32=62,则a>b,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2-2ln32ln2=ln8-ln92ln2<0,所以a<c,所以b<a<c.故选C.3.A　解析令g(x)=x+ax,由于a>1,所以g(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A选项正确.4.C　解析令t=3x,因为方程9x-2a·3x+4=0有一个大于2log32的实数根,即x>2log32,则t>32log32=4,所以函数f(t)=t2-2at+4有一个大于4的零点,所以f(4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a的取值范围是52,+∞.故选C.5.B　解析若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B.6.A　解析当x>1时,2-x<1,所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-lnx=-f(x),当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x),当x=1时,f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x≠1时,原方程可变为f(x)=1x-1,画出函数y=f(x)和y=1x-1的图象(如图所示). 由图知,二者仅有两个公共点,设为点A(x1,y1),B(x2,y2),因为函数y=f(x)和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A,B关于点(1,0)对称,所以x1+x22=1,即x1+x2=2.故选A.7.D　解析令f(x)=t,则原方程可化为t2+mt+112=0,画出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则关于t的方程t2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得112>0,Δ=m2-13>0,14+12m+112>0,-m2∈(0,12),解得m∈-23,-33.故选D.8.ACD　解析对A,令x=310,则lgx=lg310=10lg3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A正确;对B,令y=250,则lgy=lg250=50lg2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B错误;对C,令z=2-50,则lgz=lg2-50=-50lg2=-15.05,又因为2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),所以10-15.05=a×10m,则10-15.05-m=a∈[100,101),所以m=-16,C正确;对D,令k=m32,则lgk=lgm32=32lgm,因为m32(m∈N*)是一个35位正整数,所以34<32lgm<35,则3432<lgm<3532,即1.063<lgm<1.094,所以m=12,D正确.故选ACD.9.BC　解析对A,当a=b时,f(x)=ae-x+aex,此时f(-x)=aex+ae-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=aex在其定义域上单调递增,函数y=bex在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=aex+bex在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=aex在其定义域上单调递减,函数y=bex在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=aex+bex在其定义域上单调递减. 综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2aex·be-x=2ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2(-aex)·(-be-x)=-2ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--aex-1ae-x≤-2(-aex)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+1ae-x≥2aex·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC　解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>lnk,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-lnk,f(x)的值域为(-∞,-lnk)∪(lnk,+∞),若k≥1,lnk≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,lnk=-ln2,而ln2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)　解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由lnx=0可得x=1,因为函数f(x)=x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)　解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=lnx的图象左右平移得到的,当y=lnx的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=lnx 的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=lnx的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).