适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练16基本初等函数函数的应用（附解析）

考点突破练16　基本初等函数、函数的应用一、必备知识夯实练1.(2023山东潍坊二模)已知函数f(x)=13x-3x,则f(x)(　　)A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数2.(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　)A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c3.(2023江苏七市三模)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er=3SEP×10-7,其中EP是激光器输出的单脉冲能量,Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量,S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位:km2,光斑面积与卫星高度有关).若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足Γ=10lgErEP(单位:dB).当卫星达到一定高度时,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2,则此时Γ大小约为(　　)(参考数据:lg2≈0.301)A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.024.(2023广东梅州二模)用二分法求方程log4x-12x=0近似解时,所取的第一个区间可以是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.(2023山东青岛二模)已知函数f(x)=x,g(x)=2x+2-x,则大致图象如图的函数可能是(　　)A.f(x)+g(x)B.f(x)-g(x)C.f(x)g(x)D.f(x)g(x)6.(2023江苏宿迁模拟)若a,b∈R,且满足12<12b<12a<1,那么(　　)A.aa<ab<baB.aa<ba<abC.ab<aa<baD.ab<ba<aa7.(2023山东枣庄二模)指数函数y=ax的图象如图所示,则y=ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是(　　)A.-∞,-12B.-12,0C.0,12D.-12,+∞8.已知f(x)=|lgx|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,则函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点个数是　　　　　. 9.(2023四川金堂中学三模)函数f(x)=sinx-log2x的零点个数为　　　　　. 10.(2023江苏南京二模)幂函数f(x)=xa(a∈R)满足:任意x∈R有f(-x)=f(x),且f(-1)<f(2)<2,请写出符合上述条件的一个函数f(x)=　　　　　. 二、关键能力提升练11.(2023山东济南一模)自然数22023的位数为(参考数据:lg2≈0.3010)(　　)A.607B.608C.609D.61012.(2023辽宁锦州二模)如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,厚度为α(单位:mm)的带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm).若α=10,β= 5,每对轧辊的减薄率r不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(　　)(一对轧辊减薄率r=α-βα×100%,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.14B.15C.16D.1713.(2023河北石家庄三模)已知函数f(x)同时满足性质:①f(-x)=-f(x);②对于∀x1,x2∈(0,1),f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则函数f(x)可能是(　　)A.f(x)=ex-e-xB.f(x)=12xC.f(x)=sin4xD.f(x)=x214.(多选题)(2023华中师大一附中模拟)已知函数f(x)=xx-1-10x(x>1),g(x)=xx-1-lgx(x>1)的零点分别为x1,x2,则(　　)A.x1=2lgx2B.1x1+1x2=1C.x1+x2>4D.x1x2<1015.(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　　. 三、核心素养创新练16.(2023山东日照二模)对于给定的正整数n(n≥2),定义在区间[0,n]上的函数y=f(x)满足:当0≤x≤1时,f(x)=-x2+2x,且对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1)+1.若与n有关的实数kn使得方程f(x)=knx在区间[n-1,n]上有且仅有一个实数解,则关于x的方程f(x)=knx的实数解的个数为(　　)A.nB.2n-1C.n+1D.2n+117.(2023陕西西安二模)函数int(x)是计算机程序中一个重要函数,它表示不超过x的最大整数,例如int(-3.9)=-4,int(2.4)=2,已知函数f(x)=x-int(x),x>0,loga(-x),x<0,a>0,且a≠1,若f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称,则实数a的最小值为　　　　　.  考点突破练16　基本初等函数、函数的应用1.C　解析由题得,函数的定义域为R.因为f(-x)=3x-13x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.又因为函数y=13x,y=-3x在R上都是减函数,所以函数f(x)=13x-3x在R上是减函数.2.D　解析因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.3.B　解析因为Er=3SEP×10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2,所以ErEP=3S×10-7=375×10-7=4×10-9,则Γ=10lg(4×10-9)=10lg4-90≈10×0.602-90=-83.98.4.B　解析令f(x)=log4x-12x,因为函数y=log4x,y=-12x在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log4x-12x在区间(0,+∞)上是增函数,f(1)=-12<0,f(2)=log42-14=12-14=14>0,所以函数f(x)=log4x-12x在区间(1,2)上有唯一零点,所以用二分法求方程log4x-12x=0近似解时,所取的第一个区间可以是(1,2).故选B.5.D　解析f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=-x=-f(x),g(-x)=2-x+2x=g(x),所以f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.由图易知其为奇函数,而f(x)+g(x)与f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故排除A,B.当x趋向于+∞时,f(x)g(x)趋向于+∞,排除C.故选D.6.C　解析由12<12b<12a<1,可得121<12b<12a<120.因为函数y=12x在R上为减函数,所以0<a<b<1.因为函数y=ax在R上为减函数,所以ab<aa.因为函数y=abx在R上为减函数,所以aba<ab0=1,aa<ba.综上,ab<aa<ba.7.A　解析由图可知,a∈(0,1),而y=ax2+x=ax+12a2-14a(a≠0),顶点横坐标为x=-12a,所以-12a∈-∞,-12.8.7　解析函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点即为方程4[f(x)]2-8f(x)+3=0的根,解方程4[f(x)]2-8f(x)+3=0得f(x)=32或f(x)=12.作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象知直线y=32与f(x)的图象有4个交点,直线y=12与f(x)的图象有3个交点.因此函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点有7个.9.1　解析注意到log22=1,在同一坐标系中作出y=sinx与y=log2x的大致图象,易知零点个数为1.10.x23(答案不唯一)　解析取f(x)=x23,则定义域为R,且f(-x)=(-x)23=x23=f(x),f(-1)=1,f(2)=223=34,满足f(-1)<f(2)<2.11.C　解析因为lg22023=2023lg2≈2023×0.3010=608.923,所以22023≈10608.923,即22023的位数为608+1=609. 12.D　解析厚度为α=10mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1-4%)n,过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β=5,则10(1-4%)n≤5,(1-4%)n≤12.∵(1-4%)n>0,12>0,∴lg(1-4%)n≤lg12,故nlg(1-4%)≤-lg2.∵lg(1-4%)<0,∴n≥-lg2lg(1-4%),∴n≥-lg2lg0.96=-lg2lg(3×25×0.01)=-lg2lg3+5lg2-2≈-0.30100.4771+5×0.3010-2≈16.8156.故选D.13.A　解析∵f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.由②可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.选项中四个函数定义域均为R,∀x∈R,都有-x∈R.对于A,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,满足性质①,∵y=ex与y=-e-x=-1ex均在R上为增函数,∴f(x)=ex-e-x在R上为增函数,满足性质②;对于B,由指数函数的性质,f(x)=12x为非奇非偶函数,在R上为减函数,性质①,②均不满足;对于C,f(-x)=sin(-4x)=-sin4x=-f(x),故f(x)为奇函数,满足性质①,令-π2+2kπ≤4x≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π8+kπ2≤x≤π8+kπ2,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[-π8+kπ2,π8+kπ2],k∈Z,故f(x)在区间(0,1)不单调,不满足性质②;对于D,由幂函数的性质,f(x)=x2为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递增,不满足性质①,满足性质②.14.BC　解析对于A,∵y=xx-1=1+1x-1,∴将y=1x的图象向右、向上各平移一个单位长度得到y=xx-1的图象,∴函数y=xx-1的图象关于直线y=x对称.在同一平面直角坐标系中作出y=10x,y=lgx(x>0),y=xx-1(x>1)的图象,如图所示,即可知点A,B关于直线y=x对称.∴x1=lgx2=x2x2-1,x2>x1>1,故A不正确;对于B,由x1=x2x2-1,得x1x2=x1+x2,则1x1+1x2=1,故B正确;对于C,x1+x2=1+1x2-1+x2=(x2-1)+1x2-1+2≥4,当且仅当x2-1=1x2-1,即x2=2时,等号成立,∵g(2)=2-lg2≠0,∴x2≠2,等号不成立,∴x1+x2>4,故C正确;对于D,∵g(x)=xx-1-lnx=1+1x-1-lnx,∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.又g(x2)=0,g(10)=19>0,∴x2>10.又x1>1,∴x1x2>10,故D不正确.故选BC.15.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)　解析令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,1a-1.②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**),由(*)式得x1=1a-1,x2=-1,由(**)式得x3=1a+1,x4=1. 将x1=1a-1代入x2-ax+1,有(1a-1)2-a·1a-1+1=2-a(a-1)2;将x2=-1代入x2-ax+1,有(-1)2+a+1=a+2;将x3=1a+1代入x2-ax+1,有(1a+1)2-a·1a+1+1=a+2(a+1)2;将x4=1代入x2-ax+1,有12-a+1=2-a,所以当a>2时,2-a(a-1)2<0,不满足条件;a+2>0,满足条件;a+2(a+1)2>0,不满足条件;2-a<0,满足条件,故f(x)有两个零点-1,1.当a<-2时,2-a(a-1)2>0,满足条件;a+2<0,不满足条件;a+2(a+1)2<0,满足条件;2-a>0,不满足条件,故f(x)有两个零点1a-1,1a+1.综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).16.B　解析由题意,画出y=f(x)在区间[0,1]上的图象,又对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1)+1,可理解为在区间[n-1,n]上的图象由在区间[n-2,n-1]上的图象向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度所得,即可画出y=f(x)在区间[0,n]上的图象.故若与n有关的实数kn使得方程f(x)=knx在区间[n-1,n]上有且仅有一个实数解,则y=knx与y=f(x)在区间[n-1,n]上的图象相切,且易得y=f(x)的图象在直线y=x与其在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1],[n-1,n]上的图象的公切线之间.故y=knx与y=f(x)的图象在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1]上均有2个交点,故关于x的方程f(x)=knx的实数解的个数为2(n-1)+1=2n-1.17.15　解析要使f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称,则函数y=-logax=log1ax与y=x-int(x),x>0的图象恰有3个交点,作出满足题意的函数f(x)=x-int(x),x>0,loga(-x),x<0,a>0,且a≠1,与函数y=-logax的图象,如图所示,则0<a<1,log1a4<1,log1a5≥1,解得15≤a<14,所以实数a的最小值为15.