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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第3讲 基本初等函数

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第3讲 基本初等函数1.掌握指数、对数的运算.2.理解指数函数、对数函数的概念、图象和性质.3.能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题.4.了解幂函数的定义,熟悉常见幂函数的图形与性质.1.函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象经过的定点坐标为________.答案:(-1,1)2.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________.答案:(-,-1)∪(1,)解析:由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得0<a2-1<1,∴1<a2<2,即1<a<或-<a<-1.3.若函数f(x)=4x-k·2x+k+3有唯一零点,则实数k的取值范围是________.答案:(-∞,-3)∪{6}解析:设t=2x,t>0,则关于x的方程4x-k·2x+k+3=0转化为t2-kt+k+3=0,设f(t)=t2-kt+k+3,原方程只有一个根,则换元以后的方程有一个正根,∴f(0)<0,或Δ=0,∴k<-3或k=6.4.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1.已知函数y=|log0.5x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为________.答案:解析:由函数y=|log0.5x|得x=1时y=0;x=4或x=时y=2,∴4-=.题型一函数解析式及性质讨论例1函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3.(1)求a、b、c的值;(2)当x<0时,讨论f(x)的单调性.解:(1)函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立,∴c=0.又由f(1)=2,f(2)<3,得0<b<,b∈Z,∴b=1,a=1.(2)f(x)==x+,函数在(-∞,-1)上递增,在(-1,0)上递减.已知函数f(x)=a-(a∈R).(1)试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;(2)若f(x)为定义域上的奇函数,求:①函数f(x)的值域;②满足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范围.解:(1)函数f(x)为定义域(-∞,+∞),且f(x)=a-,任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,-8-\n则f(x2)-f(x1)=a--a+=,∵y=2x在R上单调递增,且x1<x2,∴0<2x1<2x2,2x2-2x1>0,2x1+1>0,2x2+1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.(2)∵f(x)是定义域上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-+=0对任意实数x恒成立,化简得2a-=0,∴2a-2=0,即a=1,①由a=1得f(x)=1-,∵2x+1>1,∴0<<1,∴-2<-<0,∴-1<1-<1,故函数f(x)的值域为(-1,1).②由a=1得f(x)<f(2-x2),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴x<2-x2,解得-2<x<1.故x的取值范围为(-2,1).题型二函数中的恒成立问题例2设f(x)=log2-x为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(2)判断并证明函数f(x)在x∈(1,+∞)时的单调性;(3)若对于区间[2,3]上的每一个x值,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由条件得f(-x)+f(x)=0,∴log2+log2=0,化简得(a2-1)x2=0,因此a2-1=0,a=±1,但a=1不符合题意,因此a=-1.(2)判断函数f(x)在x∈(1,+∞)上为单调减函数;证明如下:设1<x1<x2,f(x1)-f(x2)=log2-x1-log2+x2=log2·+(x2-x1),∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1±1>0,x2±1>0.∵(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)=x1x2-x1+x2-1-x1x2-x1+x2+1=2(x2-x1)>0,又(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,∴log2·>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴函数f(x)在x∈(1,+∞)上为单调减函数.(3)不等式为m<f(x)-2x恒成立,∴m<[f(x)-2x]min.-8-\n∵f(x)在x∈[2,3]上单调递减,2x在x∈[2,3]上单调递增,∴f(x)-2x在x∈[2,3]上单调递减,当x=3时取得最小值为-10,∴m∈(-∞,-10).已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a、b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,即=0b=1,∴f(x)=.又由f(1)=-f(-1),知=-a=2.经检验符合题意,∴a=2,b=1.(2)(解法1)由(1)知f(x)==-+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2).因为f(x)为减函数,由上式推得t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,从而判别式Δ=4+12k<0k<-.(解法2)由(1)知f(x)=.又由题设条件得+<0,即(22t2-k+1+2)(1-2t2-2t)+(2t2-2t+1+2)(1-22t2-k)<0,整理得23t2-2t-k>1.因底数2>1,故3t2-2t-k>0对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0k<-.题型三函数中的存在性问题例3已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m.(1)若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m的取值范围;(2)若对任意x1∈(-∞,4]均存在x2∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)方程f(x)=|m|,即|x-m|=|m|.此方程在x∈R时的解为x=0或x=2m.要使方程|x-m|=|m|在x∈[-4,+∞)上有两个不同的解,则2m≥-4且2m≠0.所以m的取值范围是m≥-2且m≠0.(2)原命题等价于:对于任意x1∈(-∞,4],任意x2∈[3,+∞),f(x1)min>g(x2)min.对于任意x1∈(-∞,4],f(x1)min= 对于任意x2∈[3,+∞),g(x2)min=①当m<3时,0>m2-10m+9,解得1<m<3.②当3≤m≤4时,0>m2-7m,解得3≤m≤4.③当m>4时,m-4>m2-7m,解得4<m<4+2.综上所述,m的取值范围为1<m<4+2.已知a>0,且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.-8-\n解:(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2loga(x+1)+loga(a>0且a≠1),由解得-1<x<1,所以函数F(x)的定义域为(-1,1).令F(x)=0,则2loga(x+1)+loga=0 (*).方程变为loga(x+1)2=loga(1-x),即(x+1)2=1-x,即x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3,经检验x=-3是方程(*)的增根,所以方程(*)的解为x=0,即函数F(x)的零点为0.(2)m=2loga(x+1)+loga(0≤x<1)=loga=loga,am=1-x+-4,设1-x=t∈(0,1],函数y=t+在区间(0,1]上是减函数,当t=1时,此时x=0,ymin=5,所以am≥1,①若a>1,则m≥0,方程有解;②若0<a<1,则m≤0,方程有解.题型四函数与方程、不等式综合应用问题例4已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=.(1)求a、b的值;(2)不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;(3)方程f(|2x-1|)+k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,当a>0时,g(x)在[2,3]上为增函数,故当a<0时,g(x)在[2,3]上为减函数.故∵b<1,∴a=1,b=0,即g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+-2.(2)不等式f(2x)-k·2x≥0化为2x+-2≥k·2x,1+-2·≥k,令=t,k≤t2-2t+1.∵x∈[-1,1],∴t∈.记φ(t)=t2-2t+1,∴φ(t)min=0,∴k≤0.(3)由f(|2x-1|)+k=0,得|2x-1|+-(2+3k)=0,|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0,-8-\n令|2x-1|=t,则方程化为t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0).∵方程|2x-1|+-(2+3k)=0有三个不同的实数解,∴由t=|2x-1|的图象(如下图)知,t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有两个根t1、t2,且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1,记φ(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k),则或 ∴k>0.已知函数g(x)=mx2-2mx+1+n(n≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0.设f(x)=(e为自然对数的底数).(1)求m、n的值;(2)若不等式f(log2x)-2klog2x≥0在x∈[2,4]上有解,求实数k的取值范围;(3)若方程f(|ex-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.解:(1)g(x)=m(x-1)2+1+n-m,当m>0时,g(x)在[1,2]上是增函数,∴即解得当m=0时,g(x)=1+n,无最大值和最小值;当m<0时,g(x)在[1,2]上是减函数,∴即解得∵n≥0,∴n=-1舍去.综上,m、n的值分别为1、0.(2)由(1)知f(x)=x+-2,∴f(log2x)-2klog2x≥0在x∈[2,4]上有解等价于log2x+-2≥2klog2x在x∈[2,4]上有解,即2k≤-+1在x∈[2,4]上有解.令t=,则2k≤t2-2t+1,∵x∈[2,4],∴t∈.记φ(t)=t2-2t+1,∵≤t≤1,∴φ(t)max=,∴k的取值范围为.(3)原方程可化为|ex-1|2-(3k+2)|ex-1|+(2k+1)=0.-8-\n令|ex-1|=t,则t∈(0,+∞),由题意知t2-(3k+2)t+2k+1=0有两个不同的实数解t1、t2,其中0<t1<1,t2>1或0<t1<1,t2=1.记h(t)=t2-(3k+2)t+2k+1,则 或解得k>0,∴实数k的取值范围是(0,+∞).1.(2022·全国卷)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)=________.答案:-12.(2022·山东卷)函数f(x)=的定义域为_________.答案:∪(2,+∞)解析:由已知得(log2x)2-1>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<.3.(2022·天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),则a的取值范围是____________.答案:解析:f(log2a)+f(loga)≤2f(1)即为2f(log2a)≤2f(1),|log2a|≤1,所以≤a≤2.4.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则实数m的取值范围是________.答案:(-4,0)解析:根据g(x)=2x-2<0x<1,由于题目中条件的限制,导致g(x)在x≥1时必须是f(x)<0,当m=0时,f(x)=0,不能做到g(x)在x≥1时,f(x)<0,所以舍去,因此f(x)作为二次函数开口只能向下,故m<0,且此时f(x)的2个根为x1=2m,x2=-m-3,为保证条件成立,只需和大前提m<0取交集结果为-4<m<0.5.(2022·上海卷)甲厂以xkg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润是100元.(1)要使生产该产品2h获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900kg该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.解:(1)根据题意,200≥30005x-14-≥0,又1≤x≤10,解得3≤x≤10.(2)设利润为y元,则y=·100=9×104,-8-\n故x=6时,ymax=457500元.6.设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2,令f′(x)=0得x1=,x2=,x1<x2,∴f′(x)=-3(x-x1)(x-x2),当x<x1或x>x2时f′(x)<0;当x1<x<x2时f′(x)>0,故f(x)在和(,+∞)内单调递减,在内单调递增.(2)∵a>0,∴x1<0,x2>0,①当a≥4时x2≥1,由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当4>a>0时,x2<1,由(1)知f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,∴f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,∴当1>a>0时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当4>a>1时,f(x)在x=0取得最小值.(本题模拟高考评分标准,满分14分)(2022·南通一模)已知a为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥a-1对一切x>0成立,求a的取值范围.解:(1)由奇函数的对称性可知,我们只要讨论f(x)在区间(-∞,0)上的单调性即可.f′(x)=2+,令f′(x)=0,得x=-a.(2分)①当a≤0时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,0)上单调递增;(4分)②当a>0时,x∈(-∞,-a),f′(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-a)上单调递增.x∈(-a,0),f′(x)<0,所以f(x)在区间(-a,0)上单调递减.(6分)综上所述:当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a,0),(0,a).(7分)(2)因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=-=2x+-1.(9分)①当a<0时,要使f(x)≥a-1对一切x>0成立,即2x+≥a对一切x>0成立.而当x=->0时,有-a+4a≥a,所以a≥0,则与a<0矛盾.-8-\n所以a<0不成立.(11分)②当a=0时,f(x)=2x-1>-1=a-1对一切x>0成立,故a=0满足题设要求.(12分)③当a>0时,由(1)可知f(x)在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数.所以fmin(x)=f(a)=3a-1>a-1,所以a>0时也满足题设要求.(13分)综上所述,a的取值范围是[0,+∞).(14分)1.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x)且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.答案:-8解析:因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x).又f(x)是奇函数,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.2.已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.(1)设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;(2)设函数q(x)=是否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q′(x2)=q′(x1)成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1,p′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5),因为p(x)在区间(0,3)上不单调,所以p′(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根,由p′(x)=0得k(2x+1)=-(3x2-2x+5),∴k=-=-,令t=2x+1,有t∈(1,7),记h(t)=t+,则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h(t)∈[6,10),于是(2x+1)+∈[6,10),得k∈(-5,-2],而当k=-2时有p′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,故舍去,所以k∈(-5,-2).(2)当x<0时,有q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5;当x>0时,有q′(x)=g′(x)=2k2x+k.因为当k=0时不合题意,因此k≠0,下面讨论k≠0的情形,记A=(k,+∞),B=(5,+∞)①,当x1>0时,q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2<0且AB,因此有k≥5②,当x1<0时,q′(x)在(-∞,0)上单调递减,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2>0且BA,因此k≤5,综合①②k=5;当k=5时A=B,则x1<0,q′(x1)∈B=A,即x2>0,使得q′(x2)=q′(x1)成立.因为q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x2的值是唯一的;同理,x1<0,即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使q′(x2)=q′(x1)成立,所以k=5满足题意.-8-

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发布时间:2022-08-26 00:21:11 页数:8
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文章作者:U-336598

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