福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

漳州市2021-2022学年（上）期末高中教学质量检测高二数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线可得，所以，设倾斜角为，则因为所以故选：B2.已知等差数列满足，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值. 【详解】因为得，因此，.故选：A.3.如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（）ABCA.3种B.6种C.12种D.27种【答案】C【解析】【分析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，由分类加法计数原理得(种)，所以不同的涂法有12种.故选：C4.在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】，，，为锐角三角形，的外接圆就是它的最小覆盖圆，设外接圆方程为， 则解得的最小覆盖圆方程为，即，的最小覆盖圆的半径为.故选：C5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以，.故选：B.6.已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故选：D7.年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种. 故选：C.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，由双曲线定义知，，而，于是可得，在等腰中，，令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；(2)齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.为弘扬我国古代“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（） A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C.课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D.课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有种，D不正确.故选：BC10.已知圆，圆，、分別为圆、上的动点，为直线上的动点，则下列结论正确的是（）A.圆与圆相切B.圆心、到直线的距离相等C.的最小值为D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】利用几何法判断两圆的位置关系，可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；计算得出（其中、分别为圆、圆的半径），可判断C选项；计算得出（其中为圆心到直线的距离），可判断D选项.【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，故两圆外离，A错；对于B选项，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，则直线与圆相离，则，D对.故选：BD.11.已知动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则下列结论正确的是（）A.动点P的轨迹方程为B.C.直线与动点P的轨迹有两个公共点D.若，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件求出动点P的轨迹方程，再逐项分析、计算判断作答.【详解】设点，依题意，，化简整理得：，点P的轨迹是双曲线，左焦点，右焦点，实半轴长，所以动点P的轨迹方程为，A正确；F是右焦点，由双曲线的性质知，则当点P是右支的顶点时，取最小值，此时，B正确；由解得，即直线与动点P的轨迹只有一个公共点，C不正确； 对于D，因F是右焦点，点M在双曲线右支的含焦点的一侧，要最小，点P必在双曲线右支上，由双曲线定义知，，当且仅当点P是线段与双曲线右支的交点时取“=”，即的最小值为，D正确.故选：ABD12.已知是数列的前n项和，若，，，则下列结论正确的是（）A.B.数列为等差数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件探求出数列的特性，再逐项分析、计算判断作答.【详解】，，当时，，两式相减得：，而，则，当时，，则，A正确；因，，，即，数列不是等差数列，B不正确；因，，则，即有，成立，C正确；由C选项的判断信息知，数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列，数列的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，，D正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分） 13.直线的一个法向量________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量意义求解作答.【详解】直线的方向向量为，而，所以直线的一个法向量.故答案为：14.的展开式中的常数项为_______.【答案】15【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为故答案为：1515.已知等比数列的前项和为，若，，则______.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，由此可得出的值.【详解】设等比数列的公比为，则 ，整理可得，，解得，因此，.故答案为：.16.已知O为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则______；若OM垂直AB于点M，且为定值，则点Q的坐标为__________.【答案】①.-24②.【解析】【分析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系可求出，由圆的定义求出圆心即可.【详解】由，即解得或（舍去）.设直线AB的方程为.由，消去x并整理得,.又，，直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M，点M在以ON为直径圆上.|MQ|为定值，点Q为该圆的圆心，又即Q(3,0).故答案为：；四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分別与x轴，y轴交于A，B两点.（1）求点A和B的坐标；（2）若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.【小问1详解】由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，所以直线为，即，令，则；令，则.所以，.【小问2详解】由（1）可得：垂直平分线为，即，联立，可得，即，故圆的半径为，所以圆C的方程为.18.已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，解得，因此，.【小问2详解】证明：，因此，.故原不等式得证.19.已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.【小问1详解】 解：设，，的展开式通项为，所以，，即，，解得，所以，.【小问2详解】解：，，，因此，20.已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.（1）求该抛物线的方程；（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积.【答案】（1）;（2）10.【解析】【分析】（1）由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程；（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.【小问1详解】由抛物线的定义可知，即，抛物线的方程为.【小问2详解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即， 令，解得，切线方程为.令x=0，得，即,又，，.21.国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：；；）【答案】（1）；（2）不能，理由见解析.【解析】【分析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.【小问1详解】解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，则，可得，，解得，所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.【小问2详解】 解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，所以，前个月偿还的本金为，因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，所以，第个月的工资为元，因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.22.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求该椭圆的方程；（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.【答案】（1）;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.【小问1详解】∵椭圆的焦距，椭圆的两焦点坐标分别为，又点在椭圆上，，即. 该椭圆方程为.【小问2详解】设.当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.不妨取，则，成等差数列.当直线l的斜率不为0时，设其方程为，由，消去x得.即，成等差数列，综上可得，，成等差数列.