福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案

厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：1．D2．B3．A（选择性必修一P12，练习2）4．C（选择性必修一P140，阅读材料）5．B（选择性必修一P95，练习1）6．C（选择性必修一P34，例6）7．B（选择性必修一P36，例7）8．A二、多选题：9．BD（选择性必修一P96，例5）10．ACD（选择性必修一P103，18）11．AD（选择性必修一P44，16）12．AD三、填空题：13．(1,2−)（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）14．yx=3n815．1−（选择性必修二P6，例4）92216．(xy−2)+(−1)=1，131−（选择性必修一P103，12）８．解析：延长AF交椭圆E于点C，连接CF，122由椭圆定义，|||AF|212AF+=a，有||AF1a=，y3AaB由椭圆对称性，得CF12FB=，所以AF11FC=2，所以||CF1=3，F1OF2xC5a再由椭圆定义：|||CF12|2CF+=a，有||CF2=，3222因为|||CF|AC||=+AF，所以=CAF90，22222222205在△AFF中，|FF||=+AF||AF|即4ca=，有离心率e=．1212129312．解析：①a−(,0]时，afa=a=−()10，nnn+n12②an(0,1)时，anfan+n1nn=an=a−aa()+=1−(1)1+0,1()，2③a(1,+)时，a=fa()=a−a+=1aa(−+1)11，nn+1nnnnn2④a=1时，afa=a=a−()+=11，nnn+n1naa−1,0,n1因此，a=n+12a−a+1,a0.nn12有a0时，aa−=−1，a0时，aa−=(1)a−，1nn+11nn+1n1对于选项Ａ，a=(0,1)，a1．1n2对于选项Ｂ，{}a为递增数列时，a0且a1．n11对于选项Ｃ，{}a为等差数列时，a0或a=1（其中，a=1时，{}a为常数列）．n111n21111对于选项Ｄ，a=2，a−=1a−a，有==−，1n+1nna−1aa(−1)a−1an+1nnnn\n111所以=−，aaa−−11nnn+111111111111+++=−+−++−=−()()()aaaaaaaaaaa−−1−11−1−1−1−1−1121223111nnnn++1因为a=21，所以a1，即0，1n+1a−1n+11111所以+++=1，故选AD．aaaa−1121n16．依题意得A(2,0)，C(2,2)，因为M为AB中点，所以CMAM⊥，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为(2,1)，AC=2，22所以点M的轨迹方程为(xy−+2−1)=1(),圆心D(2,1)，因为点A(2,0)关于直线xy+=0的对称点为A(0,2)−，所以由对称性可知MNAN+的最小值为22AD−=102−+−−(211)−=131(−)．四、解答题：17．（选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前n项和公式、通项公式、数列求和等知识，考查函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分10分22法一：（1）n2时，aSS=n−n=−−(1).................................................2分nnn−1=−21n...............................................................................3分n=1时，aS==1，...............................................................................................4分11综上所述，an=−21．.............................................................................................5分n11111（2）因为b===−()，......................7分naa−+n−nn+n(21)(21)22121nn+111111111所以Tbb=b+++=−+−++−(1)()()nn122323522121nn−+111111=(1−+−++−)......................................................9分23352nn−+12111n=(1−)=．...........................................................................10分22nn++121dd2法二：（1）等差数列前n项和为n+−()an（其中d为公差），1222因为Sn=，所以{}a为等差数列，....................................................................１分nnd并且=1，aS==1，解得：a=1，d=2，.................................................3分1112a=a+(n−1)d=2n−1．....................................................................................５分n1（2）同法一．18．（选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分12分法一：(1)延长CB交x轴于点N，因为=OAB120，AB=OA=2，所以=NAB60，所以B（33，），.........................................................................2分\nyC又=ABC120，所以=ANB60，3所以直线BC的倾斜角为120，即k=−3，................................2....................4分BC1B所以直线BC的方程为yx−=−33(−3)，–1O1A23N4x即343xy+−0=．................................................................–1..............................5分22（2）依题意设圆M的方程为xyDxEyF++++=0，F=0,D=−2,所以42++=0,DF解得E=−23,................................................7分933++++3D=0,EFF=0.22所以圆M的方程为xyx+y−−=2230，22即(xy−+1)−34=()，......................................................................................8分所以M(1,3)，半径r=2，因为直线OC被圆M所截的弦长为4，所以直线OC过圆心M(1,3)，...............................................................................9分所以直线OC的方程为yx=3，...........................................................................10分343xy+−0,=x=2,所以由得所以C(2,23)．..............................12分yx=3,y=23,法二：（1）(1)延长CB交x轴于点N，因为OAB==ABC120，ABOA==2，所以BAN=ANB=ABN=60，所以△ABN为等边三角形，即AN=2，...............................................................2分所以N(4,0)，..............................................................................................................3分又因为直线BC的倾斜角为120，即k=−3，................................................4分BC所以直线BC的方程为yx−=−43(0)−即343xy+−0=．.....................5分（2）线段OA的中垂线方程为x=1，333因为线段OB的中点坐标为,，直线OB的斜率为，22333所以线段AB的中垂线方程为yx−=−−3即yx=−+323，22x=1,x=1,所以由得.....................................................................8分yx=−+323,y=3,22所以M(1,3)，半径r=OC=(10−)+(30−)=2，因为直线OC被圆M所截的弦长为4，所以OC为圆M的直径即M为线段OC中点，...................................................10分所以C(2,23)．.......................................................................................................12分法三：（1）同法一．\n（2）设圆M的半径为r，因为在△ABC中，=OAB120，ABOA==2，所以=BOA30，AB所以由正弦定理知24r==，即r=2，..............................................7分sinBOA因为直线OC被圆M所截的弦长为4，所以O，A，B，C四点共圆，因为=ABC120，所以=AOC60，所以直线OC的方程为yx=3，...........................................................................10分343xy+−0,=x=2,所以由得yx=3,y=23.所以C(2,23)．.......................................................................................................12分19．（选择性必修一P49，11）本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量解决立体几何问题等知识；考查数形结合思想、转化与化归思想、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；满分12分．法一：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz设正方体的棱长为2，则A(0,0,0),O(1,1,0),C(2,2,0),D(0,2,2)，..........................................................1分112由BP=PB得：P点的坐标为(2,0,)，1232DO=−−(1,1,2)，AP=(2,0,)，........................................................................2分132因为DOAP=0，13所以DO与AP不垂直，............................................................................................3分1所以DO与平面PAC不垂直．.................................................................................4分1（2）设P(2,0,)a,则APa=(2,0,)因为DO⊥面PAC，所以DOAP⊥，11所以DOAP=−a=220，得：a=1，...............................................................6分1所以CP=−(0,2,1)，CD=−(2,0,2)．1设平面PCD的法向量为m=(,,)xyz，1CDm=−2x+2z=01，令y=1,则xz==2，m=(2,1,2)，......................8分CPm=−20y+=z因为DO⊥平面PAC，1所以平面PAC的法向量为DO=−−(1,1,2)，.......................................................9分1mDO61所以cosm,DO==−，...............................................................11分1mDO616所以平面PCD与平面PAC所成角的余弦值为．.........................................12分16\n法二：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz设正方体的棱长为2，则A(0,0,0),O(1,1,0),D(0,2,2),A(2,0,0),C(2,2,0)，1分1122由BPPB=得P(2,0,)，AP=(2,0,),AC=(2,2,0)，...........................2分1233设平面PAC的法向量为n=(,,)xyz，ACx=yn+2=202，令z=3,则xy=−1,=1，n=−(1,1,3)，APx=zn+20=3因为DO=−−(1,1,2)与n=−(1,1,3)不平行，.......................................................3分1所以DO与平面PAC不垂直．.................................................................................4分1(2)同法一．法三：(1)连接PO,设正方体的棱长为2，则22222在△POD中，DOPO==DP=6,,，........................................2分11133222DO+PODP，所以DO与PO不垂直，...................................................3分111所以DO与平面PAC不垂直．.................................................................................4分1(2)同法一．20．（选择性必修二P138，练习5）本题考查曲线的方程，直线与抛物线位置关系等知识，考查数形结合思想以及化归与转化的数学思想、推理能力以及运算能力．满分12分（1）设Pxy(,)为圆N与l的交点，则Hx(,0)，x+4因为M(4,0)，HNNM=，所以N,0，................................................1分2因为O，P在圆N上，所以NONP=，.............................................................2分2xx+−4422所以=+y得yx=4．.............................................................4分22（2）设直线AB的方程为xmy=+4，Axy(,)，Bxy(,)，1122x=+my42由得ymy−−4=160．......................................................................6分2yx=42=+1664m0，所以y+=y4m，yy=−16．...........................................................................7分1212因为MAMB=2，所以yy=−2．...................................................................８分12yy=−2y=42y=−421211法一:由得或，........................................10分yy12=−16y=−22y=2222yy+212所以m==．422223所以ABx=−+x(y−y=m+)y(y−=)=16263．1212122......................................................................................................................................12分\n2(yy12+)yy12212法二：=++2即−=−−m+22，得m=．...........10分yyyy2212212222所以ABx=xy−y+m(−y=y+yy+−)()(14)()1212121222=++(=mm116)(6463)．..........................................................12分21．（选择性必修二P39，例题12）本题考查数列的通项公式，递推公式，数列求和等基础知识；考查转化与化归思想、运算能力、数学抽象与数学建模素养．满分12分．（1）依题意得aam=+1.02，.......................................................................2分nn+1因为aam=+1.02，nn+1所以ama+m=50+1.0251，所以a+50m=1.02(a+50m)，.............4分nn+1nn+1因为a+50m=13050+m0，1所以数列am+50是等比数列，首项是13050+m，公比是1.02，................5分nn−1所以am+m=50+13050(1.02)，nn−1所以a=(13050+m)1.02−50m．.................................................................6分n（2）记S为数列a的前n项和，nnSaa=a+++15121514=+−(13050++−+50mm+)13050+mm−mm1.0250(13050)1.0250()........................................................................................................................................7分14=+(13050+++++13050m−m)m(m1.0213050)1.02750()...........8分15(13050+−11.02m)()=−750m...........................................................................9分11.02−(13050+−11.35m)()=−750m=2275+125m，..............................................10分11.02−依题2275+125m3095，所以m6.56，所以m最少为6.56吨．............................................................................................12分22．本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查数形结合思想、运算能力．满分12分．法一：（1）设椭圆的左焦点为F，则由对称性，BFAF=，所以△ABF的周长为AFBF++AB=+AF+=AF+ABaAO22，........................................................................................................................................1分2222222b22a−b2设Axy(,)，则AO=x+y=x+b−x=b+xb，22aa当A，B是椭圆的上下顶点时，△ABF的周长取到最小值22ab+，所以22ab423+=+，即ab+=+23，.........................................................2分22又椭圆焦点F(1,0)，所以ab−=1，....................................................................3分所以()(abab)1−+=，所以ab−=−23，22xy解得a=2，b=3，所以椭圆的方程为+=1．...................................4分43（2）当A，B为椭圆左右顶点时，直线MN与x轴重合；\n8当A，B为椭圆上下顶点时，可得直线MN的方程为x=；.............................5分5设直线MN的方程xmyn=+，m0，Mxy(,)，Nxy(,)，1122xmyn=+,222由xy22得(3m4)y6mny+3+12+n0−=，+=1,4326mn3n12−0，yy12+=−2，yy12=2，.................................................6分34m+34m+x−11设直线FA的方程x=+my1，其中m=，Mxy(,)，Axy(,)，111133y1xmy=+1,122由xy22得(3m+4)y+6my−=90，11+=1,43−9−90，yy=，y=，......................................................7分1323234m+(3my4)+111x−12设直线FB的方程xmy=+1，其中m=，Nxy(,)，Bx(,−−y)，222233y2xmy=+1,222由xy22得(3m4)y6my+90+−=，22+=1,43−9−90，−=yy，y=，................................................8分2323234m+−+(3my4)222−−9922所以=，所以(3m+4)y+(3m+4)y=0，221122(3m4)y(3m+4)−y+1122223my+3my+4(y+y)=0，............................................................................9分1122122222xx12−−11mymy+=+yy112212yy1222(1)my(1)1n2+−my12ny+−y+22=+=++−+−my()4(ymnn1)(1)12yyyy121222yy12+则3my()12(ymn++1)3(−n+y−y++1)=4()0，即1212yy1222yy12+(3m4)(y)12(+++ymn−n+−=1)3(1)0，...................................10分12yy1226mn3n−12代入yy12+=−2，yy12=2，34m+34m+22−−66mnmn得(3m+4)+12(mn−1)3(+n−1)=0，..............................11分223mn+−4312整理得mn(5−=8)0，又m088所以n=，直线MN的方程为x=+my．55\n8综上直线MN过定点,0．.................................................................................12分5法二：（1）同法一．（2）当A，B为椭圆左右顶点时，直线MN与x轴重合；8当A，B为椭圆上下顶点时，可得直线MN的方程为x=；.............................5分5设Axy(,)，则Bx(,−−y)，y0，设Mx(y,)，Nx(y,)00000MMNNx−1x+100则直线AF的方程为xy=+1，直线BF的方程为xy=+1...........6分yy00x−1xy=+01,23(1)xx006(−−1)2由y0得[4]+9+0−=2yy，yy22003xy+4−12=0,22−9−93yy所以00，yy===0M2223(1)x−43y6xx3+x2−5+−000004+2y03yxyx−−13580000所以y=，x=+=1，MM25x−yxx2525−−000058xy3−00即M,．.........................................................................................9分252xx−−500x+1xy=+01,23(1)xx006(++1)2由y0得[4]+9+0−=2yy，yy220034xy12+0,−=22−9−−93yy所以00，()−yy===0N2223(1)x+43y6xx3+x2+5++000004+2y03yx++13y5x80000所以y=，x=+=1，NN25x+y2x++52x5000058xy3+00即N,．........................................................................................10分252xx++50033yy00−25x2xy5+−5000所以k==，MN58xx58+−3x000−25xx25+−0035y5yx8+000所以直线MN的方程为yx−=−()，..................................11分25x3xx2++50008令y=0得，x=，58所以直线MN恒过定点(,0)．..............................................................................12分5