福建省南平市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案及评分标准
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南平市2021—2022学年第一学期高二年级期末质量检测数学参考答案及评分标准说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.1.C2.B3.B4.A5.A6.D7.A8.D二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.BD10.BCD11.AB12.ABD三、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.13.514.215.916.189四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)解:(1)∵圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,故可设圆C的圆心坐标为Ca(,0),………………………………………………………1分其中a0,且半径ra=.………………………………………………………………2分又∵圆C与直线34xy2−0+=相切,|3a02|−+=a,………………………………………………………………………4分2234+1解得a=1或a=−(舍去),422故圆C的标准方程为(xy−1)+=1.…………………………………………………5分(2)∵直线l过点(12,),∴设直线l方程为ykx−=21−(),………………………6分即kx−+−=y20k2∵直线l与圆C有公共点,∴圆心到直线的距离d=1,…………………8分2k+1解得:kk33或−.…………………………………………………………………10分高二期末数学参考答案第1页(共8页)\n18.(本小题满分12分)2解(1)方案一:选条件①:Sn=n.当n=1时,as1=1=1.…………………………………………………………………1分22当n2时,ansnsn=−=−−−1=−nnn(1)21.……………………………4分又当n=1时,a1=1符合上式,………………………………………………………5分an=−21n.…………………………………………………………………………6分方案二:选条件②:点(aann,+1)在直线yx=+2上,且a3=5,+aa=2,nn+1即aann+1−=2,………………………………………………………………………2分an为等差数列,公差d=2,……………………………………………………4分aan=+−3(3)2nn2−1=.………………………………………………………6分方案三:选条件③.公差为正数的等差数列an中,a3=5且a1,a2,a4+2成等比数列.2设等差数列an的公差为d(0)d,依题意,得a3a2a1=4a5且=(+2)2(5-)ddd(5-2)(7+=),解得d=2或d=5(舍去),=d2,……………………………………………………………………………4分aa=+(nn−3)2−=21.……………………………………………………6分n3(2)an=−21n,2211bn===−.…………………………………7分aa(2n−1)(2n+1)2n−12n+1nn+1T=bb+b++n12n高二期末数学参考答案第2页(共8页)\n1111111=−()(+−++)()1−=−,…………………………9分1335212121nn−n++10,21n+111−.……………………………………………………………………………10分21n+数列bn的前n项和Tnm对任意的正整数n恒成立,m1,……………………………………………………………………………………11分m的最小值为1.…………………………………………………………………………12分19.(本小题满分12分)32解:(1)因为a=3,所以f(x)=3x−9x+1,f(x)=9x−9,····················1分所以,当x−1或x1时,fx'()0;当−11x时,fx'()0;所以fx()在(,1)−−和(1,)+单调递增,在(−1,1)单调递减,································································································3分所以fx()的极大值为f(−1)=7,fx()的极小值为f(1)=−5.···············5分22(2)f(x)=3ax−9=3(ax−3),·························································6分2当a0时,f(x)=3(ax−3)0恒成立,fx()在R上单调递减,fx()至多一个零点,不合题意;··················································7分3当a0时,令fx'()=0,则x=,·········································8分a3333所以,当x−或x时,fx'()0;当−x时,aaaafx'()0;3333所以fx()在(−,−)和(,+)单调递增,在(−,)单调递减,aaaa···························································································9分高二期末数学参考答案第3页(共8页)\n33所以fx()的极大值为f(−)=6+1,aa33fx()的极小值为f()=−6+1.··········································10分aa3610+,又fx()恰有三个零点,所以a··························11分3−6+10,a解得0a108.综上,a的取值范围为0a108.·············································12分20.(本小题满分12分)证明:(1)如图,取AC中点D,连接OD、BD,因为OAOC==2,所以ODAC⊥,…………………………………………1分又OAOC⊥,O1所以AC=2,ODAC==1E2因为ABBC==2,所以BD⊥AD.ACD1又因为AD==AC1,又OB=2,所以BD=3,2B222所以OD+=BDOB,所以OD⊥BD.………………………………………………………………………3分又ACBDD=,所以OD⊥平面ABC,……………………………………………………………5分又因为OD平面OAC,所以平面OAC⊥平面ABC.………………………………………………………6分高二期末数学参考答案第4页(共8页)\n(2)由(1)可得DO、DA、DB两两垂直,以D为原点,分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz-,如图.11则A(1,0,0),B(0,3,0),C(−1,0,0),O(0,0,1),E−,0,,……………8分2211z所以AB=−(1,3,0),EB=−,3,,22OE设nxyz=,,()为平面EAB的法向量,xA−+xy=30,DC则11xy+z−=30.22By令y=1,则x=3,z=33所以n=3,1,33()是平面EAB的一个法向量,………………………………………10分由(1)知DO=0,0,1()为平面ABC的一个法向量,…………………………………11分33393设平面ABC与平面EAB所成角为,则cos=cosnDO,==3131393故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为.………………………………12分3121.(本小题满分12分)22(1)证明:由圆x+y+2x−150=可得,∴圆心为,半径为4,∵EQ//PC,∴PCD=EQD,又∵|PD||=CP|,∴PCD=PDC,高二期末数学参考答案第5页(共8页)\n∴EQD=PCD=PDC,∴|||EQ|ED=,…………………………………………………………………………2分∴|||EP||EQ+||=EP+||=ED=|4PD,则|||EP|4EQ+=,…………………3分∴点E的轨迹是以P(1,0)−,Q(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆,………………4分22xy故点E的轨迹的方程为+=1(0)y;………………………………………5分43(2)解:①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=1.33此时点M的坐标是1,,点N的坐标是1,−.2213所以直线AM的方程是yx=+(2),直线BN的方程是yx=−(2).22所以直线AM,BN的交点K的坐标是(4,3).所以点K在直线x=4上.…………………………………………………………………6分②当直线l的斜率存在时,设斜率为k.所以直线l的方程为ykx=−(1).ykx=−(1),联立方程组xy22+=1,43222消去y,整理得(34+k)x−8kx+4k−12=0.显然0.不妨设Mxy(11,),Nxy(22,),228k4k−12所以xx12+=2,xx12=2.…………………………………………7分34+k34+ky1因为直线AM的方程是yx=+(2),x+21高二期末数学参考答案第6页(共8页)\ny16y1yx=+(2,)y=,由x1+2得x1+2x=4.x=4.6y1即AM与x=4的交点K1=4,,…………………………………………………8分x+212y2同理可得BN与x=4的交点K2=4,,…………………………………………9分x−2262yy1261kx2(112kx−−)()因为−=−xx+xx−2+2−22121261kx2(212x2−kx112−)−(x+−)()()=,……………………10分(xx12+−22)()因为61kx2(212x2−kx112−)−(x+−)()()=−2−3k+xx2−2−2x(2+x12xx−2x1x1212)()=2k2xx12−5(x1+x2)+824(12k2−)58k2=−28+k=−+288k(=0),…………………………………11分2234++34kk所以K1与K2重合,即直线AM、BN的交点K在直线x=4上.…………………12分22.(本小题满分12分)【解析】x(1)fx()xe=2cos−+………………………………………………………………1分x令h(x)=f(x),则h(00)=且hx()xe=−sin,………………………………2分xx(0,+),hx()xex=sin−−1sin0,所以hx()=h(0)0,即fx()0,所以f(x)在(0,+)的单调递增,………………………………………………3分高二期末数学参考答案第7页(共8页)\nxx(−,0),fx()xex=2cos−+cos−10,所以f(x)在(−,0)单调递减.……………………………………………………4分所以f(x)的单调递减区间为(−,0),f(x)的单调递增区间为(0,+)………5分x2(2)设Fx()fx()=−gx()=−e+x2x−axsin−21,且F(0)=0,………………6分xxFx()=e+cosx−4ax−2,令G(x)=F(x),Gx()=e−sinx−4a,x令H(x)=G(x),Hx()exx=−−cos1cos0,所以G(x)在0,+)上单调递增,…………………………………………………………8分1①若a,G(x)G(0)=1−4a0,所以F(x)在0,+)上单调递增,4所以F(x)F(0)=0,所以F(x)F(0)=0恒成立.…………………………9分1②若a,G(0)=1−4a0,4G(ln(4a+2))=4a+2−sin(4a+2)−4a=2−sin(4a+2)0,……………10分所以存在x0(0,ln(4a+2)),使G(x0)=0,且xx(0,0),G(x)0,所以Gx()在(0,)x0单调递减,即F(x)在(0,)x0单调递减,所以xx(0,)0时,F(x)F(0)=0,所以F(x)F(0)=0,不合题意.1综上,a.…………………………………………………………………………12分4高二期末数学参考答案第8页(共8页)
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