专题2.2 基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.2基本不等式【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】1【考点2：由基本不等式证明不等式】5【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】7【考点4：利用基本不等式解决实际问题】12【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【知识点：基本不等式】一．基本不等式：≤（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二．几个重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；三.利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则：（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）1．（多选）（江西省赣州市2023年期末考试数学试题）已知实数a,b∈R+，且2a+b=1，则下列结论正确的是（    ）A．ab的最小值为18B．a2+b2的最小值为15C．1a+1b的最小值为6D．0<b−1a−1<2【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值可判断A；配方法求最值可判断B；应用基本不等式“1”的代换求最值可判断C；常量分类再利用a的范围可判断D. 【详解】对于A：a,b∈R+，由2a+b=1≥22ab，则ab≤18，当且仅当2a=b=12时,等号成立，故A错误；对于B：因为a,b∈R+，2a+b=1，所以0<a<12，由a2+b2=a2+1−2a2=5a−252+15，所以当a=25时，a2+b2有最小值15，故B正确；对于C：由1a+1b=1a+1b2a+b=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，当且仅当ba=2ab即a=2−22，b=2−1时,等号成立，故C错误；对于D：由b−1a−1=−2aa−1=−2−2a−1，因为0<a<12，所以−1<a−1<−12，−2<1a−1<−1，可得0<2−2a−1<2，故D正确.故选：BD.2．（多选）（2023春·河北承德·高二统考期末）已知a>0,b>0，且2a+b=2，则（    ）A．ab的最小值是12B．1a+2b的最小值是4C．1a2+4b2的最小值是8D．2a+1b+1ab的最小值是26【答案】BC【分析】利用基本不等式根据2a+b=2可得22ab≤2，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得1a2+4b2≥4ab≥8即可求解选项C；根据2a+1b+1ab=2ab+3ab=2ab+3ab≥26，再结合等号成立条件可求解选项D.【详解】因为a>0,b>0，且2a+b=2，所以22ab≤2，所以ab≤12，当且仅当2a=b=1时，等号成立，则A错误；由题意可得1a+2b=122a+b1a+2b=12ba+4ab+4≥12×(4+4)=4，当且仅当2a=b=1时，等号成立，则B正确；因为ab≤12，所以1a2+4b2≥4ab≥8，当且仅当2a=b=1时，等号成立，则C正确；由题意可得2a+1b+1ab=2ab+3ab=2ab+3ab≥26，此时，2ab=3． 因为2a+b=2，所以不存在a,b，使得2ab=3,2a+b=2,，则D错误．故选:BC.3．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，则ab的最大值为．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【详解】因为a,b>0，所以2a+b=4≥22a⋅b，解得ab≤2，当且仅当2a=b即a=1，b=2时，等号成立．所以ab的最大值为2.故答案为：24．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知x>1，则x+4x−1的最小值是.【答案】5【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.【详解】∵x>1,∴x−1>0,∴x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5，当且仅当x−1=4x−1，即x=3(−1舍去）时取等号，x+4x−1的最小值为5，故答案为：5.5．（2023春·广东广州·高一校考期中）若a>0，b>0，ab=4a+b+12，则ab的取值范围是.【答案】ab≥36【分析】利用基本不等式可得出关于ab的不等式，即可解得ab的取值范围.【详解】因为a>0，b>0，由基本不等式可得ab=4a+b+12≥24ab+12=4ab+12，即ab−4ab−12≥0，解得ab≥6，即ab≥36，当且仅当b=4aab=36时，即当a=3b=12时，等号成立，故ab的取值范围是ab≥36.故答案为：ab≥36.6．（2023·新疆喀什·高一校联考期末）若x>0,y>0，且x+2y=5，则9x+2y的最小值为．【答案】5【分析】根据题意可得x5+2y5=1，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为x>0,y>0，且x+2y=5，则x5+2y5=1，可得9x+2y=9x+2yx5+2y5=18y5x+2x5y+135≥218y5x⋅2x5y+135=5，当且仅当18y5x=2x5y，即x=3y=3时，等号成立，所以9x+2y的最小值为5.故答案为：5.7．（2023春·云南昭通·高二校考期末）已知正数x，y满足x+2y=3，则xyx+8y的最大值为.【答案】16【分析】根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解.【详解】∵正数x，y满足x+2y=3，∴1y+8x=13x+2y1y+8x=1310+xy+16yx≥13×10+2xy⋅16yx=13×10+8=6.当且仅当16yx=xy，即x=4y=2时取等号，则xyx+8y=11y+8x≤16，其最大值为16.故答案为：168．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知a+b+c=1，其中a，b，c>0，则1a+9b+c的最小值为．【答案】16【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答.【详解】因为a+b+c=1，a,b,c>0，则1a+9b+c=[a+(b+c)](1a+9b+c)=10+b+ca+9ab+c≥10+2b+ca⋅9ab+c=16，当且仅当b+ca=9ab+c，即a=14,b+c=34时取等号，所以1a+9b+c的最小值为16.故答案为：169．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知正实数a,b满足2a+b=ab．(1)求a+2b的最小值；(2)求ab的最小值．【答案】(1)9(2)8【分析】运用基本不等式求解. 【详解】（1）因为2a+b=ab，所以1a+2b=1．a+2b=a+2b1a+2b=1+4+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=3时，等号成立；（2）因为a,b为正实数，所以ab>0，又2a+b=ab≥22ab，所以(ab)2−8ab≥0，解得ab≥8，当且仅当a=2,b=4时，等号成立；综上，a+2b的最小值为9，ab的最小值为8.【方法技巧1】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　【方法技巧2】通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．　　【考点2：由基本不等式证明不等式】1．（2022秋·高一课时练习）若a>0,b>0，则下列不等式中不成立的是（    ）A．a2+b2≥2abB．a+b≥2abC．a2+b2≥12(a+b)2D．1a+1b<1a−b(a≠b)【答案】D【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.【详解】因为a−b2≥0，显然有a2+b2≥2ab，故A正确； 而a>0,b>0，所以a+b≥2ab，故B正确；又a2+b2−12(a+b)2=12a2+12b2−ab=12(a−b)2≥0，所以a2+b2≥12(a+b)2，故C正确；不妨令a=2,b=1,则1a+1b=32>1a−b=1(a≠b)，故D错误.故选：D.2．（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,2H=1a+1b,G=ab，则（    ）A．G≤H≤AB．H≤G≤AC．G≤A≤HD．H≤A≤G【答案】B【分析】利用基本不等式计算出H≤G≤A.【详解】因为a、b为正实数，所以A=a+b2≥ab=G，当且仅当a=b时，等号成立，2H=1a+1b≥21a⋅1b=2ab，所以H≤ab，当且仅当a=b时，等号成立，综上：H≤G≤A.故选：B3．（多选）（2022秋·河北保定·高一校考期中）设a>0，b>0，给出下列不等式恒成立的是（    ）A．a2+1>aB．a+b≥2abC．(a+b)1a+1b≥4D．a+1ab+1b≥4【答案】ACD【分析】由基本不等式及不等式的性质判断.【详解】a>0，b>0，则a2+1≥2a>a，A恒成立；a=1,b=2时，a+b=3，2ab=4，a+b<2ab，B不恒成立，(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba≥2+2ab×ba=4，当且仅当ab=ba，即a=b时等号成立，C恒成立；(a+1a)(b+1b)≥2a⋅1a⋅2b⋅1b=4，当且仅当a=b=1时等号成立，D恒成立．故选：ACD．4．（多选）（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．若a,b∈R，则ba+ab≥2B．若x<0，则x+4x≥−2x⋅4x=−4C．x2+1x2+1≥1D．若a>0,b>0，则a+b≥2ab【答案】CD【分析】根据基本不等式判断各选项.【详解】A选项，ab=0时无意义，ab<0时，ab+ba<0，错误；B选项，x<0时，x+4x=−(−x+4−x)≤−2(−x)⋅4−x=−4，当且仅当−x=4−x，x=−2时取等号．错误；C选项，x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1−1≥2(x2+1)⋅1x2+1−1=1，当且仅当x2+1=1x2+1，即x=0时等号成立，正确；D选项，就是基本不等式本身，正确．故选：CD．5．（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.【答案】证明见解析【分析】利用a+b=1把1+1a1+1b化为(2+ba)(2+ab)，展开利用基本不等式求最值即可证明.【详解】因为a>0，b>0，a+b=1，所以1+1a1+1b=(1+a+ba)(1+a+bb)=(2+ba)(2+ab)=5+2ab+2ba≥5+22ba×2ab=9，当且仅当2ba=2ab，即a=b=12时等号成立.故原题得证.【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】1．（2023·江苏·高一假期作业）若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）A．m≤4B．m>4C．m<0D．m≤8【答案】D【分析】首先由基本不等式求出(x+2y)⋅(2x+1y)的最小值，由(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立即可求出m的范围． 【详解】因为x>0，y>0，所以(x+2y)⋅(2x+1y)=2+xy+4yx+2≥4+2xy⋅4yx=8，当且仅当2y=x时取等号，所以m≤8，故选：D．2．（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4≤m2−3m有解，则实数m的取值范围（    ）A．−1<m<4B．m≤−1或m≥4C．−4<m<1D．−4≤m≤1【答案】B【分析】由题可得x+y4min≤m2−3m，利用基本不等式可得x+y4min=4，再利用一元二次不等式的解法即得．【详解】解：∵不等式x+y4≤m2−3m有解，∴x+y4min≤m2−3m，∵x>0，y>0，且1x+4y=1，∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy⋅y4x+2=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时取“＝”，∴x+y4min=4，故m2−3m≥4，即m+1m−4≥0，解得m≤−1或m≥4，故选：B．3．（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式x+ay1x+1y≥16对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）A．2B．4C．6D．9【答案】D【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由1+a+2a≥16即可求解. 【详解】因为x+ay1x+1y=1+a+ayx+xy≥1+a+2ayx⋅xy=1+a+2a，当且仅当xy=ayx且x>0,y>0时取等号，所以1+a+2a≥16，整理得a+5a−3≥0，解得a≥9，故正实数a的最小值为9.故选:D.4．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知正实数x，y满足2x+3y−xy=0，若3x+2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是（     ）A．t≤25B．t<25C．t≤24D．t≥24【答案】A【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【详解】由正实数x，y，2x+3y−xy=0，则2y+3x=1，即3x+2y=3x+2y2y+3x=6xy+9+4+6yx≥13+26xy⋅6yx=25，当且仅当6xy=6yx，即x=y=5时，等号成立，则t≤25，故选：A.5．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）已知a2+b2=k，若4a2+9b2+1≥1恒成立，则k的最大值为（    ）A．4B．5C．24D．25【答案】C【分析】由a2+b2+1=k+1，利用基本不等式整理得4a2+9b2+1≥25k+1，根据恒成立问题可得25k+1≥1，运算求解即可得答案.【详解】∵a2+b2=k，所以a2+b2+1=k+1，∴k+14a2+9b2+1=a2+b2+14a2+9b2+1=4b2+1a2+9a2b2+1+13≥24b2+1a2×9a2b2+1+13=25，当且仅当4b2+1a2=9a2b2+1，即3a2=2b2+1=65k+1时等号成立，即4a2+9b2+1≥25k+1，由题意可得：25k+1≥1，又k>0，解得0<k≤24，故k的最大值为24.故选：C. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x、y满足x+y−xy=0，且xy>0，若不等式4x+9y−t≥0恒成立，则实数t的最大值为（    ）A．9B．12C．16D．25【答案】D【分析】由x+y−xy=0得到1x+1y=1，从而利用基本不等式“1”的妙用求出4x+9y的最小值，从而得到t≤25.【详解】因为x+y−xy=0，所以1x+1y=1，∴4x+9y=(4x+9y)1x+1y=13+9yx+4xy≥13+29yx⋅4xy=25，当且仅当9yx=4xy，即x=52，y=53时，等号成立．因不等式4x+9y−t≥0恒成立，只需4x+9ymin≥t，因此t≤25，故实数t的最大值为25．故选：D7．（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知a>0,b>0，且2a+b=1，若不等式2a+1b≥mm∈Z恒成立，则m的值可以为（    ）A．10B．9C．8D．7.5【答案】BC【分析】根据基本不等式求出2a+1b的最小值，得m的取值范围，根据范围可得答案.【详解】由a>0,b>0，且2a+b=1，可得2a+1b=2a+1b2a+b=5+2ba+2ab≥5+22ba×2ab=9，当且仅当2ba=2ab时，即a=b=13时，等号成立，又因为不等式2a+1b≥m恒成立，所以m≤9，又m∈Z，结合选项，可得BC符合题意.故选：BC.8．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足3a+4b=1，若对于∀a,b∈R+，1a+3b>m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】m<27【分析】利用基本不等式“1”的代换求1a+3b最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可. 【详解】由3a+4b=1得：1a+3b3a+4b=3+4ab+9ab+12≥15+236=27，当且仅当4ab=9ab，即a=19，b=6时等号成立，所以1a+3b的最小值为27，又m<1a+3b恒成立，故m<27.故答案为：m<279．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知x>0，y>0且x+y=3，若12x−y+22y−x≥a恒成立，则实数a的范围是．【答案】a≤3+223【分析】依题意可得a≤12x−y+22y−xmin，利用乘“1”法及基本不等式求出12x−y+22y−x的最小值，即可得解.【详解】因为x>0，y>0且x+y=3，若12x−y+22y−x≥a恒成立，则a≤12x−y+22y−xmin，又12x−y+22y−x=1312x−y+22y−x2x−y+2y−x=133+2y−x2x−y+2(2x−y)2y−x≥133+22y−x2x−y⋅2(2x−y)2y−x=3+223，当且仅当2y−x2x−y=2(2x−y)2y−x，即x=2，y=3−2时，等号成立，∴a≤3+223，故答案为：a≤3+223．10．（2022秋·上海松江·高一统考期末）对任意的正实数x、y，不等式x+y≤mx+y恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】m≥2【分析】分离参数为m≥x+yx+y，由基本不等式求得x+yx+y的最大值即得．【详解】由题意得m≥x+yx+y恒成立，因为x+yx+y2=x+y+2xyx+y≤2(x+y)x+y=2，当且仅当x=y时取等号，所以m≥2， 故答案为：m≥2．11．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求1x+9y的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求实数m的最大值．【答案】(1)8(2)4【分析】（1）利用常值代换，将1x+9y乘x+y除以2后化简，进而利用基本不等式求解；（2）分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，在解4x+1xy的最值时，仍然用到常值代换：4x+1xy=8x+22xy=8x+x+y2xy，结合（1）所得的结论即可确定m的最大值．【详解】（1）因为x>0，y>0，x+y=2所以1x+9y=12x+y1x+9y=5+y2x+9x2y≥5+2y2x⋅9x2y=8，当且仅当y2x=9x2y且x+y=2，即x=12，y=32时等号成立，所以1x+9y的最小值为8；（2）由4x+1−mxy≥0恒成立，得m≤4x+1xy恒成立，则需解出4x+1xy的最小值.因为x+y=2，所以4x+1xy=8x+22xy=8x+x+y2xy=9x+y2xy=121x+9y，由（1）可知1x+9y≥8，所以121x+9y≥4，当且仅当y2x=9x2y，即x=12，y=32时等号成立，所以4x+1xy最小值为4.即4x+1xy≥4，故m的最大值是4．【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【知识点：利用基本不等式解决实际问题】(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（    ）A．5kmB．6kmC．7kmD．8km【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】设土地租金成本和运输成本分别为W1万元和W2万元，分拣中心和货运枢纽相距skm，则，W1=k1s,W2=k2s，将s=10,W1=2,W2=8代入可得k1=20,k2=45，所以W1=20s，W2=45s，故W1+W2=20s+45s≥220s⋅45s=8，当且仅当s=5时取等号.故选:A.2．（2023春·江西新余·高二统考期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为（    ）A．62+6B．12C．52+5D．63+6【答案】A【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】设直角三角形的两直角边长分别为a>0,b>0，则a2+b2=36，可得a+b2≤2a2+b2=72，当且仅当a=b=32时，等号成立，则a+b≤62，所以这个直角三角形周长的最大值为62+6.故选：A.3．（2022秋·高一课时练习）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系y=920vv2+3v+1600v>0.在该时段内，当汽车的平均速度为千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时（精确到0.01）.【答案】4011.08【分析】变形后由基本不等式求出答案.【详解】因为v>0，y=920v+1600v+3≤9202v⋅1600v+3≈11.08，当且仅当v=1600v，即v=40时，等号成立， 即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为11.08千辆/时.故答案为：40，11.084．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知A,B两城市的距离是100km､根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50~100km/h，假设油价是6元/L，以xkm/h的速度行驶时，汽车的耗油率为3+x2360L/h，其它费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是kmh（精确到1km/h，参考数据10=3.162）【答案】57【分析】根据题设可得y=5400x+53x，50≤x≤100，利用基本不等式求解即可.【详解】设汽车以xkm/h行驶时，行车的总费用y=36+6⋅3+x2360⋅100x=5400x+53x，因为50≤x≤100，所以y=5400x+53x≥25400x⋅53x=6010，当且仅当5400x=53x，即x=1810≈57时，等号成立，故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是57kmh.故答案为：57.5．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为400cm2，它的两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留有宽为bcm的空白，若a=1,b=4，则纸张的用纸面积最少为cm2．  【答案】576【分析】设矩形的长和宽分别为x,y，得到纸张面积为S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4ab，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，设排版矩形的长和宽分别为x,y且xy=400，且a=1,b=4则纸张的面积为S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4ab≥xy+22bx⋅2ay+4ab=(xy+2ab)2=(20+24)2=576 当且仅当2bx=2ay时，即y=4x，即x=10,y=40时，等号成立，所以纸张的用纸面积最少为576cm2..  6．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比．若在距离车站4km处建仓库，则y1和y2分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小.【答案】5【分析】设y1=kx，y2=tx，根据题中信息求出k和t的值，进而可得出两项费用之和z关于x的表达式，利用基本不等式可求出z的最小值，由等号成立求出对应的x值，可得出结论.【详解】设y1=kx，y2=tx，x>0，当x=4时，y1=k4=5，y2=4t=3.2，∴k=20，t=0.8，∴y1=20x，y2=0.8x，∴两项费用之和为z=y1+y2=20x+0.8x≥220x×0.8x=8，当且仅当20x=0.8x时，即当x=5时等号成立，则应将这家仓库建在距离车站5km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．故答案为：5.7．（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；   【答案】污水池长为30米、宽为403米时，最低造价为56000元；【分析】设污水池的长为x米，总造价为y元，宽为400x米，得到函数y=200×2x+800x+250×800x+80×400求解.【详解】设污水池的长为x米，总造价为y元，则宽为400x米．y=200×2x+800x+250×800x+80×400=400x+360000x+32000≥56000，当且仅当400x=360000x，即x=30时等号成立．所以设计污水池长为30米，宽为403米时，总造价最低为56000元．8．（2023·全国·高一假期作业）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x(x∈0,20)（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到t=(x+3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t+81t+3x)（万元），并以每件(8+42t)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？【答案】(1)y=45−x−81x+3(2)6万元【分析】（1）依题意求解即可；（2）由y=45−x−81x+3=−[(x+3)+81x+3]+48结合基本不等式求解即可.【详解】（1）y=(8+42t)⋅t+x−(7t+81t+3x)=t+42−2x−81t．因为t=(x+3)，所以y=x+3+42−2x−81x+3=45−x−81x+3（2）因为y=45−x−81x+3=−[(x+3)+81x+3]+48．又因为x∈0,20，所以x+3>0,81x+3>0，所以(x+3)+81x+3≥2(x+3)×81x+3=18（当且仅当x+3=81x+3即x=6时取“=”） 所以y≤−18+48=30即当x=6万元时，y取最大值30万元．