专题1.7 集合与常用逻辑用语（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题1.7集合与常用逻辑用语（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022秋·高一单元测试）已知集合{a,b,c}={0,1,2}，且若下列三个关系：①a≠2②b=2；③c≠0，有且只有一个正确，则100a+10b+c=A．12B．21C．102D．201【答案】D【分析】根据集合相等的条件，列出a,b,c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a,b,c的值后代入100a+10b+c求值.【详解】由{a,b,c}={0,1,2}得a,b,c的取值情况如下：当a=0时，b=1，c=2或b=2，c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0,c=2或b=2,c=0此时不满足条件；当a=2时，b=1,c=0此时不满足条件；当a=2时，b=0,c=1此时满足条件；综上得，a=2,b=0,c=1代入100a+10b+c=200+1=201.【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏.2．（2022秋·高一单元测试）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今"青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（    ）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立， 故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件.故选：A.3．（2022秋·高一单元测试）已知集合M=x,yx+y=2，N=x,yx−y=2，则集合M∩N=（    ）A．0,2B．2,0C．0,2D．2,0【答案】D【分析】根据集合的意义求交集.【详解】由已知得集合M表示满足x+y=2的实数对，集合N表示满足x−y=2的实数对，联立方程组x+y=2x−y=2，解得x=2y=0，M∩N表示同时满足集合M与N的实数对，所以M∩N=2,0，故选：D.4．（2022秋·高一单元测试）用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（    ）A．A∩B∩CB．(∁UA)∩B∩CC．A∩(∁UB)∩CD．A∩B∩(∁UC)【答案】D【分析】根据阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中可得答案.【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中，故图中的阴影部分表示的集合为A∩B∩CRC.故选：D.5．（2022秋·高一单元测试）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么称 k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（    ）A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】C【分析】根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案.【详解】根据“好元素”定义，可知由S中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数，所以不含“好元素”的集合共有1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共6个.故选：C.6．（2022秋·高一单元测试）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用cardA表示有限集合中元素的个数，例如：A=a,b,c，则cardA=3.若对于任意两个有限集合A,B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B).某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）A．28B．23C．18D．16【答案】C【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解.【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则card(A)=14，参加径赛的学生组成集合B，则card(B)=9，由题意得card(A∩B)=5，所以card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)=14+9−5=18，所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18.故选：C.【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.7．（2022秋·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数. 三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A=xx=3n+2,n∈N∗，B=xx=5n+3,n∈N∗，C=xx=7n+2,n∈N∗，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为A．8B．127C．37D．23【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合A、B、C的表达式，检验是否为A、B、C的元素，即可选出正确选项．【详解】因为8=7×1+1，则8∉C，选项A错误；127=3×42+1，则127∉A，选项B错误；37=3×12+1，则37∉A，选项C错误；23=3×7+2，故23∈A；23=5×4+3，故x∈B；23=7×3+2，故x∈C，则23∈A∩B∩C，选项D正确.故选：D．8．（2022秋·高一单元测试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（    ）A．a+b2>aba>b>0B．a2+b2>2aba>b>0C．2aba+b<aba>b>0D．a+b2<a2+b22a>b>0【答案】D【解析】计算出CF和OF，由OF<CF可得出合适的选项.【详解】由图形可知，OF=AC+BC2=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2a>b>0，由勾股定理可得CF=OF2+OC2=a+b22+a−b22=a2+b22，在Rt△OCF中，由OF<CF可得a+b2<a2+b22a>b>0. 故选：D.【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.一．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022秋·高一单元测试）设集合A=x|a−1<x<a+1,x∈R，B=x|1<x<5,x∈R，则下列选项中，满足A∩B=∅的实数a的取值范围可以是（　　）A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0}D．{a|a≥6}【答案】CD【分析】由A∩B=∅，得到a﹣1≥5或a+1≤1，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵集合A=x|a−1<x<a+1,x∈R，B=x|1<x<5,x∈R满足A∩B=∅，∴a−1≥5或a+1≤1，解得a≥6或a≤0．∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥6}．故选：CD．10．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是(　　)A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}B．方程x−2+|y+2|=0的解集为−2,2C．集合{y|y=x2}与{x,y|y=x2}是同一个集合D．若A={x∈Z|−1≤x≤1}，则−1.1∈A【答案】BCD【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．【详解】对于A：因为xy>0等价于x>0y>0或x<0y<0，如果x>0y>0，则点在第一象限，如果x<0y<0，则点在第三象限，所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}，故A正确；对于B：由于方程x−2+|y+2|=0的解集等价于x−2=0y+2=0，解得x=2y=−2，故解集为{(−2,2)}，故B错误；对于C：集合{y|y=x2}表示y=x2的函数值y的取值范围，是数集，集合{x,y|y=x2}表示抛物线y=x2的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误； 对于D：因为A={x∈Z|−1≤x≤1}=−1,0,1，则−1.1∉A，故D错误，故选：BCD．11．（2022秋·高一单元测试）下列命题中是真命题的是（    ）A．x>2且y>3是x+y>5的充要条件B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．b2−4ac=0是ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的充要条件D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形【答案】BD【解析】利用充要条件的定义，逐个选项进行判断即可【详解】对于A，∵x>2且y>3，得x+y>5，但由x+y>5不能推出x>2且y>3，A错误；对于B，x>1可以推出x>0，但x>0不能推出x>1，所以，“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件，B正确；对于C，b2−4ac=0，可以推出ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解，但是，ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解，推出b2−4ac≥0，所以，b2−4ac=0是ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的充分不必要条件，C错误；对于D，根据勾股定理和勾股定理的逆定理可知，D正确故选：BD12．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件：①B⊆a,b∣a∈A,b∈A②∀a∈A,a,a∈B③∀a,b∈A，若a,b∈B且b,a∈B，则a=b④∀a,b,c∈A，若a,b∈B且b,c∈B，则a,c∈B就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ）A．设A=1,2，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个B．设A=1,2,3，则集合B=1,1,1,2,2,1,2,2,3,3是集合A的一个“偏序关系”C．设A=1,2,3，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个D．R′=a,b∣a∈R,b∈R,a≤b是实数集R的一个“偏序关系”【答案】ACD【分析】利用偏序关系的定义逐项判断.【详解】A项，B=1,1,2,2,B=1,1,2,2,1,2,B=1,1,2,2,2,1共3个，故正确； B项，不能同时出现1,2和2,1，故错误；C项，首先必须含有1,1,2,2,3,3，则剩余1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2拿一个即可，共6个，故正确；D项，R′=a,b∣a∈R,b∈R,a≤b满足①，②，∀a,b∈R′，则a≤b,∀b,a∈R′，则a≥b，故a=b，满足③，∀a,b∈R′，则a≤b,∀b,c∈R′，则b≤c，则a≤c，故a,c∈R′，满足④，故正确；故选：ACD一．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2023春·山东德州·高二统考期末）已知集合A=1,2,a，B=1,1a，若A∪B=A，则a的值为.【答案】12/0.5【分析】由题知B⊆A，进而根据集合关系求解即可.【详解】由A∪B=A得B⊆A，所以1a=2或1a=a，解得a=12或a=1，因为a≠1，所以a=12.故答案为：1214．（2023·江苏·高一假期作业）已知M=2,a,b,N=2a,2,b2，且M=N，则a+b＝．【答案】34或1【分析】根据集合相等得到方程组，求出a,b，舍去不合要求的根，得到答案.【详解】因为M=N，所以a=2ab=b2①或a=b2b=2a②，解①得a=0b=1或a=0b=0，其中a=0b=0不符合集合元素的互异性，舍去；解②得a=0b=0或a=14b=12，其中a=0b=0不符合集合元素的互异性，舍去；所以a+b=1或a+b=14+12=34.故答案为：34或115．（2022秋·高一单元测试）已知集合A=x|0≤x≤a，集合B=x|m2+3≤x≤m2+4，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，则实数a的取值范围为.【答案】aa<3 【分析】先由题意得到“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题，讨论a<0和a≥0两种情况，即可求出结果.【详解】命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，则其否定“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题.当a<0时，集合A=∅，符合A∩B=∅.当a≥0时，因为m2+3>0，所以由∀m∈R，A∩B=∅，得a<m2+3对于任意m∈R恒成立，又m2+3≥3，所以0≤a<3.综上，实数a的取值范围为aa<3.故答案为：aa<3.16．（2022秋·高一单元测试）“∃x∈R，ax2−ax+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为.【答案】0≤a≤4【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a的范围.【详解】由题意可知，“∃x∈R，ax2−ax+1<0”的否定是真命题，即“∀x∈R，ax2−ax+1≥0”是真命题，当a=0时，1≥0，不等式显然成立，当a≠0时，由二次函数的图像及性质可知，a>0Δ=a2−4a≤0，解得0<a≤4，综上，实数a的取值范围为0≤a≤4.故答案为：0≤a≤4.一．解答题（共6小题，满分70分）17．（2022秋·高一单元测试）已知集合A={x|2a−1<x<a+1}，B={x|0≤x≤1}．(1)在①a=−1，②a=0，③a=1这三个条件中选择一个条件，求A∪B；(2)若A∩CRB=A，求实数a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)a≤−1或a≥1【分析】(1)根据并集的定义求解；(2)根据集合间的包含关系即可求解.【详解】（1）选择①a=−1，则A={x|−3<x<0}，所以A∪B={x|−3<x≤1}；选择②a=0，则A={x|−1<x<1}，所以A∪B={x|−1<x≤1}；选择③a=1，则A={x|1<x<2}，所以A∪B={x|0≤x<2}； （2）由题CRB={x|x<0或x>1}，因为A∩CRB=A，所以A⊆CRB，（i）若2a−1≥a+1即a≥2，则A=∅满足题意；（ii）若2a−1<a+1即a<2，由A⊆CRB得a+1≤0或2a−1≥1，解得a≤−1或1≤a<2，综上实数a的取值范围为a≤−1或a≥1.18．（2022秋·高一单元测试）已知集合A=xx2−ax+a2−19=0，集合B=xx2−5x+6=0，集合C=xx2+2x−8=0．(1)若A∩B=2，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．【答案】(1)−3(2)−2【分析】（1）求出集合B=2,3，由A∩B=2，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C=−4,2，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．【详解】（1）因为集合A=xx2−ax+a2−19=0，集合B=xx2−5x+6=0=2,3，且A∩B=2，所以2∈A，所以4−2a+a2−19=0，即a2−2a−15=0，解得a=−3或a=5．当a=−3时，A=xx2+3x−10=0=−5,2，A∩B=2，符合题意；当a=5时，A=xx2−5x+6=0=2,3，A∩B=2,3，不符合题意．综上，实数a的值为−3．（2）因为A=xx2−ax+a2−19=0，B=2,3，C=xx2+2x−8=0=−4,2，且A∩B≠∅，A∩C=∅，所以3∈A，所以9−3a+a2−19=0，即a2−3a−10=0，解得a=−2或a=5．当a=−2时，A=xx2+2x−15=0=−5,3，满足题意；当a=5时，A=xx2−5x+6=0=2,3，不满足题意．综上，实数a的值为−2．19．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A=x|x=3n+1，n∈Z，B=x|x=3n+2，n∈Z，M=x|x=6n+3，n∈Z． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a+b=m，证明你的结论．【答案】(1)存在(2)不一定存在，证明见解析【分析】（1）根据集合中元素的特征即可求解，（2）根据集合中元素的特征，结合集合的运算即可求解.【详解】（1）设m=6k+3=3k+1+3k+2（k∈Z），令a=3k+1（k∈Z），b=3k+2（k∈Z），则m=a+b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立．（2）不一定存在m∈M，使a+b=m，证明如下：设a=3k+1，b=3l+2，k，l∈Z，则a+b=3k+l+3，k，l∈Z.当k+l=2pp∈Z时，a+b=6p+3∈M，此时存在m∈M，使a+b=m；当k+l=2p+1p∈Z时，a+b=6p+6∉M，此时不存在m∈M，使a+b=m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a+b=m.20．（2023·江苏·高一假期作业）已知全集U=R，集合A={x|x2−3x+b=0},B={x|(x−2)(x2+3x−4)=0}．(1)若b＝4时，存在集合M使得AÜMÜB，求出所有这样的集合M；(2)集合A，B能否满足(∁UB)∩A=∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】(1)−4,1,2,−4,1,−4,2,1,2；(2)能，b|b>94∪2.【分析】（1）当b=4时，由Δ<0，得到A=∅，求得B={−4,1,2}，结合条件即可求解；（2）由(∁UB)∩A=∅，得到A⊆B，分A=∅和A≠∅，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）解：当b=4时，可得A={x|x2−3x+3=0}，因为Δ=(−3)2−4×4<0，所以A=∅，又由B={x|(x−2)(x2+3x−4)=0}={−4,1,2}，又因为AÜMÜB，所以这样的集合M共有如下6个：−4,1,2,−4,1,−4,2,1,2.（2）解：能； 由(∁UB)∩A=∅，可得A⊆B，若A=∅时，此时满足A是B的一个子集，此时Δ=9−4b<0，解得b>94；若A≠∅时，由（1）知B={−4,1,2}，当−4∈A时，b=−28，此时A={−4,7}，此时A不是B的一个子集；当1∈A时，b=2，此时A={1,2}，此时A是B的一个子集；当2∈A时，b=2，此时A={1,2}，此时A是B的一个子集，综上可得，当A=∅或A={1,2}时，满足(∁UB)∩A=∅，此时实数b的取值范围为b|b>94∪2.21．（2022秋·高一单元测试）已知命题p:∃x∈x∣6≤x≤20，x<2a，命题q:∀x∈R，x2+2x−a>0．(1)若命题p和命题¬q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)−1≤a≤3(2)a>3或a<−1【分析】（1）首先求出命题p、q为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得；（2）首先求出命题p和命题q都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解.【详解】（1）解：若命题p为真命题，即命∃x∈x∣6≤x≤20，x<2a，所以6<2a，所以a>3，若命题q为真命题，即∀x∈R，x2+2x−a>0，所以Δ=22+4a<0，解得a<−1，因为命题p和命题¬q有且只有一个为假命题，当命题p为假，命题¬q为真时a≤3a≥−1，解得−1≤a≤3；当命题p为真，命题¬q为假时a>3a<−1，所以a∈∅；所以−1≤a≤3；（2）解：若命题p和命题q都为假命题，则a≤3a≥−1，即−1≤a≤3；因为命题p和命题q至少有一个为真命题，所以a>3或a<−1；22．（2022秋·高一单元测试）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=a−ba+b2+1．设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,−2<a≤b<1且a∈Z,b∈Z，A=xx=2a⊕b+a⊗bb,−1<a<b<2且a∈Z,b∈Z、B=xx2−3x+m=0．(1)求集合U和A； (2)集合A、B是否能满足∁UA∩B=∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)能；m>94【分析】（1）根据题中的新定义，讨论a、b的取值，即可确定出集合U与A；（2）求出A的补集，根据∁UA∩B=∅知B=∅或B=A，由此求得m的取值范围．【详解】（1）全集U中x=(a⊕b)+(a⊗b)=ab+a−b(a+b)2+1x=a⊕b+a⊗b=ab+a−ba+b2+1，当a=−1时，b=0或b=−1，此时x=−12或x=1；当a=0时，b=0，此时x=0，所以U=−12,0,1，由A中x=2a⊕b+a⊗bb=2ab+a−bba+b2+1，当a=0时，b=1，此时x=−12，即A=−12；（2）因为∁UA=0,1，当∁UA∩B=∅时，B=∅或B=A，当B=∅时，方程无实根，Δ=−32−4m<0，解得m>94；B=A时，方程有二等实根为−12，−122−3×−12+m=0−32−4m=0，此时m的值不存在；综上知，实数m的取值范围是m>94．