湖南长沙明德中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

明德中学2024年上学期入学考试高一年级数学试卷时量：120分钟满分150命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知集合M={0,1,2,3,}Nxx={∣<2}，则MN∩=()（）RA.(−∞,2)B.(2,3)C.{2,3}D.{1,2,3}2.设mR∈，命题“存在m≥0，使2mx−−=mx10有实根”的否定是（）A.任意m≥0，使2mx−−=mx10无实根B.任意m<0，使2mx−−=mx10有实根C.存在m≥0，使2mx−−=mx10无实根2D.存在m<0，使mx−−=mx10有实根343.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P,−，那么55cos(π+α)等于（）4343A.−B.C.D.−5555224.若实数abc,,满足ac>>bcm,0，则下列结论中正确的是（）A.ab>B.ab>11bbm+C.<D.<abaam+35.已知fx()的定义域是−1,，则fx(sin2)的定义域为（）2ππππA.++∈2kπ,2kkZπ,B.++∈kπ,kkZπ,63632πππ7πC.−+2kπ,2+kkZπ,∈D.++∈kπ,kkZπ,36363a6.关于x的不等式−+−≥>x224ax3a0(a0)的解集为{xxxx∣≤≤}，则xx++的最小值是1212xx12（）学科网（北京）股份有限公司 26A.4B.26C.2D.37.命题“对任意的m∈−[1,1]，总存在唯一的x∈[0,3]，使得2x−−−=2xam10”成立的充分必要条件是（）A.−≤≤22aB.−≤≤11aC.01<<aD.−<<11ax28.已知函数fx()=a(33++−)x2bx，若函数yfx=()与函数yffx=(())的零点相同，则ab−2的取值可能是（）A.2B.-2C.5D.4二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）π9.已知函数fx()=sin2x+，则（）3A.函数fx()的最小正周期为ππB.函数fx()的图象关于直线x=−对称6ππC.函数fx()在区间,上单调递减425πD.函数fx()的图象可由yx=sin2的图象向右平移个单位长度得到62t10.如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m）与时间t（单位：月）的关系为yaa=(0>，且a≠1）.下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.第5个月时，浮萍面积就会超过230mC.浮萍每月增加的面积都相等222D.若浮萍曼延到2m,3m,6m所经过的时间分别是ttt123,,，则ttt123+=学科网（北京）股份有限公司 24(x+2),x≤−1,11.已知函数fx()=若函数yfxm=()−有三个零点xxx,,，且xxx<<，则log(xx+1),>−1,12312312（）A.14<≤m151B.−<x≤−3162C.函数fx(+1)的增区间为[−−2,1]22D.xx++log2的最小值为82+12m三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）112.函数fx()=的定义域为__________.xxlnx1,0x≤13.若函数fx()=2若fx()在区间(mn,)上既有最大值，又有最小值，则nm−的取值范2−++>xxx21,0围是__________.14.已知fx()=sinx+2cosx，当x=θ时，fx()取得最大值，则tanθ=__________.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：2−0.5227349−310（1）−+(0.008)×+−(π1)892521log3（2）log3log8(lg5)⋅++lg5lg20+−lg162223216.（本小题满分15分）sin(π−α)已知f(α)=tan(π+α)11（1）求fπ的值；6π1π（2）已知fα+=，求sin−α的值.33617.（本小题满分15分）学科网（北京）股份有限公司 π23已知函数fx()=2cossinx⋅x−+23cosx−,x∈R32（1）求fx()的对称轴方程；2ππ（2）若关于x的方程3[fx()]+mfx()+=10在区间−,上有两个不相等的实根，求实数m的取值范63围.18.（本小题满分17分）已知函数fx()=log1aa(−−x)log(bxm++)（a>0且a≠1）为奇函数.（1）求函数fx()的定义域及解析式；11（2）若x∈−,，函数fx()的最大值比最小值大2，求a的值.2219.（本小题满分17分）设正整数n≥4，若由实数组成的集合Aaa={12,,,an}满足如下性质，则称A为Hn集合：对A中任意四个不同的元素abcd,,,，均有abcd+∈A.11（1）判断集合A1=0,,1,2和A2=,1,2,3是否为H4集合，说明理由；23（2）若集合A={0,,,xyz}为H集合，求A中大于1的元素的可能个数；4（3）若集合A为H集合，求证：A中元素不能全为正实数.n学科网（北京）股份有限公司 明德中学2024年上学期入学考试数学参考答案1-8CADADADA9.ACD10.BD11.AD8.【详解】设fx()的零点为x0，则fx(0)=0，又ffx((0))=0，222故f(00)=，解得a=0，则fx()=−x2.bxffx(())=−(x2bx)(x−−22bxb)，2因为函数yfx=()与函数yffx=(())的零点相同，所以方程x−−=220bxb无解或与方程22x−=20bx的解相同，所以Δ=+<480bb或b=0，解得−<≤20b，所以024≤−<ab，故选：A11.【详解】如图所示：对于A：方程fxm()=有三个解⇔yfx=()与ym=有3个交点，从图中可以看出A正确；log1(x+=1)4x=−15，即B点的坐标为−15,4log1(x+=1)1x=−1，即C对于B：令得，令得21616221点的坐标为−,1，2151由图可知x3的范围应该介于B，C之间，可以取B点，不能取C点，所以−≤x3<−，故B正确；162对于C：fx()的增区间为[−−2,1]，所以fx(+1)的增区间为[−−3,2]，故C错误；22对于D：xx12,关于x=−2对称，所以xx+=−4，(xx12++22)()12m=44=2令44(x+2)=得x=−3或x=1−，由图可知x1∈−−[3,2)222221xx12++logm2=+−−x1(4x1)+log22=2(x1+2)+2+8(x1+2)442(x1+)学科网（北京）股份有限公司 221122(xx11++)22+≥8222(+⋅)+=+88242(xx11++)42()2142等号当22(x1+=)2时即x1=−−∈−−2[3,2)时成立，故D正确.42(x1+)2故选：ABD12.【答案】(0,1)∪+(1,∞)13.【答案】(1,3]152514.【详解】令cosαα=,sin=，其中α为锐角，255525则fx()=+=sinx2cosx5sinx+cosx=5sincos(xαα+cossinx)=5sin(x+α)，因为55π当x=θ时，fx()取得最大值，则θα+=+2kπ(kZ∈)，2ππ5所以，θα=+−∈2kπ(kZ)，所以，sinθ=sin2kπ+−=ααcos=，225π25sinθ551cosθ=cos2kπ+−=ααsin=，故tanθ==⋅=，25cosθ525220.52−−2215.27349−310371147−+(0.008)×+−=(π1)−+×+=−+×125892523525931471+=−+=12.25939（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：241log3lg3lg81log3log8(lg5)⋅++lg5lg20+lg162−=⋅+2lg5(lg5lg20)++lg2−232lg2lg323lg23=+⋅×+−lg5lg520()2lg23lg2=+32lg52lg23+−=2lg10=2.sin(π−α)sinαkπ16.（1）由诱导公式得：fk(α)===cosαα≠∈,Z，tan(π+αα)tan21111πππ3所以fπ=cos=cos2π−=cos=.66662学科网（北京）股份有限公司 kππ1π1（2）由（1）得fk(α)=cosαα≠∈,Z，由fα+=，得cosα+=.23333ππππ1所以sin−=ααsin−+=cosα+=.62333132317.（1）fx()=⋅−+2cosxsinxcosx23cosx−2222313π=sincosxx+3cosx−=sin2x+cos2x=sin2x+2223πππkπ令2xk+=+π得x=+∈,kZ32122πkπ所以fx()的对称轴方程为x=+∈,kZ122πππ（2）因为x∈−,，则2x+∈[0,π]，633fx()的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令tfx=()则t∈[0,1]2依题意得：3t++=mt10在t∈[0,1)上仅有一个实根.2令Ht()=++31tmt，因为H(010)=>2Δ=−=m120则需Hm(13)=++<10或m，01<−<6解得：m<−4或m=−23.10−>x18.【详解】（1）要使函数fx()有意义，则，可得：−<<bx1，bx+>0因为fx()为奇函数，所以−+=b10，即b=1，所以fx()的定义域为(−1,1)，由f(0)=0可得：m=0，所以fx()=log(1−−x)log(1+x)，aa此时fx(−=)log1aa(+−x)log1(−=−x)fx()，fx()是奇函数，符合题意.12−x（2）fx()=log(1aaaa−−x)log(1+=x)log=log−+1，11++xx①当a>1时，函数yfx=()单调递减，学科网（北京）股份有限公司 131所以fx()=−=f()log−log=log3，maxaaa2221131fx()==−=f()logloglog，minaaa22231所以fx()−=−==fx()log3loglog92，解得a=3.maxminaaa3②当01<<a时，函数yfx=()单调递增，1131131所以fx()==−=f()logloglog，fx()=−=f()log−log=log3，maxaaaminaaa222322211所以fx()−=−==fx()loglog3log2，maxminaaa391解得a=.31综上，a=或a=3.3119.【详解】（1）集合A1=0,,1,2是H4集合，211当{{abcd,},{,}}=0,,1,2{}时，0×+×=∈122A1；2211当{{abcd,},{,}}={0,1,},2时，01×+×=∈21A1；22111当{{abcd,},{,}}={0,2,},1时，02×+×=∈1A1；2221集合A2=,1,2,3不是H4集合，31119取{abcd,,,}=,1,2,3，则abcd+=×+×=∉123A2，不满足题中性质.333（2）当{abcd,,,}={0,,,zxy}时，abcd+=∈xyA，当{abcd,,,}={0,,,xyz}时，abcd+=∈yzA，当{abcd,,,}={0,,,yzx}时，abcd+=∈xzA，所以{xyz,,}={xyyzxz,,}.不妨设xyz<<，①若xyz<<<0，因为yz>0，从而yz∉A，与yz∈A矛盾；②若xy<<<0z，因为xz<<yzxy，故xz=xyz,,=yxy=z，学科网（北京）股份有限公司 所以z=1,xy=1.1经验证，此时Ax=,,0,1是H集合，元素大于1的个数为0；4x③若x<<<0yz，因为xz<<xy0，所以与{xyz,,}={xyyzxz,,}矛盾；④若0<<<xyz，因为xy<<xzyz，故xy=xxz,,=yyz=z，11所以yz=1,=>1.经验证，此时Ax=0,,1,是H集合，元素大于1的个数为1；x4x综上：A中大于1的元素的可能个数为0,1.（3）假设集合A中全为正实数.若A中至少两个正实数大于1，设0<<<<aaa，则aa>>1，12nnn−1取{abcd,,,}={annnn−−−321,a,a,a}，则abcd+=ann−−32a+aann−1∈A，而aa+>>aaaaa，从而aa+∉aaA，矛盾；nn−−32nnnnn−1−1nn−−32nn−1因此A中至多有1个正实数大于1.当n=4时，设aaaa<<<，1234若01<<<≤<aaaa，1234当{abcd,,,}={aaaa1234,,,}时，abcd+=+∈aa12aa34A，当{abcd,,,}={aaaa1324,,,}时，abcd+=+∈aa13aa24A，当{abcd,,,}={aaaa1423,,,}时，abcd+=+∈aa14aa23A，由于(a1aaaa23+−+=4)(1aaaaaaaaaaaaa324432132)(−−−=−)()(4132)(−>)0，(a1aaaa32+−+=4)(1aaaaaaaaaaaaa423243143)(−−)(−=−)(4321)(−>)0，所以aa+>+>+>aaaaaaaaaaa，1234132414231所以aa+=aaaaa,,+=aaaaa+=aaa.因为01<−<aa，12344132431423231所以a4−=a2(aa12+aa34)−(aa14+aa23)=aa4(3−−a1)aa2(3−a1)=−(aaaaaa423142)(−<−)，矛盾.因此当n=4时，0,,,1<≤aaaa1234.当n≥5时，集合A中至少有4个不同的正实数不大于1，设S={ttaaij=ij−∈,,{1,2,,nij},≠}，学科网（北京）股份有限公司 因为S是有限集，设sr−=minS，其中rsArs,,∈<.又因为集合A中至少有4个不同的正实数不大于1，所以sr−<1，且存在pqA,∈，且pq≤≤1,1使pqrs,,,互不相同，则01<−<pq，当{abcd,,,}={rpsq,,,}时，abcd+=+∈rpsqA，当{abcd,,,}={sprq,,,}时，abcd+=+∈sprqA，于是(rpsq+−+)(sprq)=pr(−−s)qr(−=−s)(pq)(sr−<−)sr，与sr−=minS矛盾.因此，A中元素不能全为正实数.学科网（北京）股份有限公司