湖北云学名校联盟2024年高一下学期3月联考数学试卷 答案

2024年云学名校联盟高一年级3月联考数学试卷命题学校：恩施高中命题人：杨家平田鲲阳绪文田君宇审题人：襄阳三中邹永生考试时间：2024年3月13日14：30-16：30考试时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.221.已知集合AxRxx=∈{∣∣+−<230,}BxRx=∈{(+1)(x−=20)}，则(RAB)∩=（）A.{−1}B.{−−1,2,2}C.{−−1,2}D.{2}2.已知点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则（）A.OA=OCB.AB=CDC.OD∥BOD.|AC||=BD|ππ33.α=是sinα+=的（）662A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2mm+−234.已知幂函数fxx()=(mZ∈)是偶函数，且fx()在(−∞,0)上是增函数，则m=（）A.-2B.-1C.0D.3t−15.已知某物种在某特定环境下的某项指标y与时间t（天）满足函数关系式：yt=23×≥(0)，则在该特定环境下，至少经过（）天，该物种的该项指标不低于初始值(t=0)时的100倍.（参考值：lg3≈0.4771）A.4B.5C.6D.726.已知函数fx()=++x12x27,gx()=+ax1，若函数fx()与gx()的图像恰有4个交点，则实数a的取值范围是（）A.(18,+∞)B.(0,2)C.(2,18)D.(0,2)∪+(18,∞)7.定义在[1,3]的函数yfx=()的图像位于x轴上方，且是连续不断的.若yfx=()的图像关于点(2,3)对11称，则+的最小值为（）fxf()(4−x)学科网（北京）股份有限公司 2A.B.1C.4D.632−≥xx,028.已知函数fx()=，若存在a∈[4,10]，使fax(−≤)9fx()，则x的取值范围是（）2xx,0<A.[−5,2]B.[−4,1]C.[4,10]D.(−∞,2]二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若实数abc,,满足ab<，且abc≠0，则下列结论一定正确的是（）A.ac>bcB.32b>ab11C.>D.acbc+<+ab210.已知函数fx()=sincosxx+3cosx，则下列说法正确的是（）11πA.fx()的图像关于直线x=−对称125πB.fx()的图像的一个对称中心是,06ππC.fx()在区间,上单调递减63D.若y=afx()+2的最大值为523+，则y=afx()+2的最小值为523−11.函数fx()的定义域为R，且满足fx(+=22)fx()，当x∈(0,2]时，fx()=−−11x，则（）9A.f=22B.x∈(4,5]时，fx()=26x−13C.若对任意的xt∈−(∞,]，都有fx()≤4，则t的最大值为21D.若函数gx()=−−fxkx()(5)恰有三个零点，则实数k的取值范围是−−1,4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.学科网（北京）股份有限公司 11log2−2312.44−lg−lg245(64)+−=__________.49ππππ13.将函数fx()=−>sinωωx(0)的图象向左平移个单位长度后，所得函数在−,内不是44ω1516单调函数，则ω的取值范围是__________.14.已知函数fx()的定义域为Rf,(2024)=0，且fx(+2024)的图象关于点(−2024,0)对称.若∀∈+xx12,(0,∞)，当xx12≠时，都有(xxxfxxfx121−)⋅(12)−⋅(2)<0恒成立，则关于x的不等式fx()>0的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15315.（满分13分）已知ABC的三个内角ABC,,满足：cosAC=,tan=.711（1）求cos(AB+)的值；（2）求角B的大小.216.（满分15分）已知函数fxx()=+−(4axa)+−4,(aR∈).（1）解关于x的不等式：fx()≤1；（2）命题“∀∈+x(1,∞),fx()≥0.”是真命题，求a的最大值.17.（满分15分）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，0≤≤x60）的函数关系式，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；（iiii）每天得分最多不超过12分.现有以下三个函数模型供选择：x①ykxbk=+>(0)；②yk=⋅+>1.01bk(0)；③y=3log3(kx++>3)mk(0).（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？学科网（北京）股份有限公司 （参考值：log1633≈4.63）π18.（满分17分）函数fxA()=cos(ωϕx+>><)A0,ωϕ0,的部分图像如图所示，2（1）求函数fx()的解析式和单调递增区间；（2）将函数fx()的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数gx()的图像，11π2π4若x∈−,时，gx()的图像与直线y=恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为xxx123,,633且xxx123<<，求cos(xx13+)的值19.（满分17分）设xR∈，我们常用[x]来表示不超过x的最大整数.如：−=4.1]−5,2.3[=2.1（1）求证：[2xxx]=++[]；22（2）解方程：xx−−=[]20；22ππ（3）已知fx()=+x2xxa−−15,gx()=cosx+sinx，若对∀∈xx12[1,2,]∃∈−,，使不等式22fx(12)≤gx()成立，求实数a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 2024年云学名校联盟高一年级3月联考数学评分细则一､选择题1234567891011DCABBDAABDACACD二､填空题1512.-313.,+∞14.(−−∞,2024)∪(0,2024)21-19题详解：1.D【解析】Ax={∣∣−<<3xCAxx1},R={≤−3或xB≥=1},{−−2,1,2}∴(RAB)∩={2}故选D2.C【解析】选项A应为OA=−OC，选项B应为AB=−CD，由共线向量定义知选项C正确，选项D中不一定有|AC||=BD|，故选C.πππ33.A【解析】α=时，sinα+==sin6632π3ππsinα+=时，α=+∈2kkZπ()或α=+∈2kkZπ()6262ππ3∴=α是sinα+=的充分不必要条件.662故选A4.B【解析】因为fx()在(−∞,0)上是增函数，所以fx()在(0,+∞)上是减函数所以2mm+−<230，则−<<31m，又因为mZ∈，所以m=−−2,1,0，经检验只有m=−1时满足fx()是偶函数.故选B学科网（北京）股份有限公司 225.B【解析】由题意有，23×≥t−−110023××01，得t≥≈≈4.2，lg30.4771所以至少经过5天.故选B6.D【解析】由题意fxgx()=()有四个不相等的实数根，易知x=−1不是方程的根，2xx++1227则问题转化为方程a=有四个不相等的实数根，令xt+=1，x+116则方程at=++10有四个不相等的实数根，t16作出函数yx=++10的图像与直线ya=有四个交点可得(0,2)∪+(18,∞).x（本题也可以直接研究fx()和gx()的图像交点个数）故选D7.A【解析】由题意有，fxf()+−=(46x)，且fx()>0,f(4−>x)0则：11fxf()+−(4x)6662+==≥==22fxf()(444−−−x)fxf()(x)fxf()(x)fxf()+−(4x)6322当且仅当fxf()=−=(43x)即x=2时等号成立.故选A8.A【解析】由题意fx()在R上是减函数且93fxfx()=()，2222所以∃∈a[4,10]，使fax(−≤)9fx()⇔−≤fax()fx(3)⇔−≥⇔+≤ax33xxxa所以2xx+3≤10⇔−≤≤5x2.故选A9.BD【解析】对A：当c>0时，由ab<可得ac<bc，当c<0时，由ab<可得ac>bc所以A不是正确选项223对B：因为abb<>,0可得ab<b，所以B一定成立11对C：由ab<，当ab0,0时，显然>不成立，所以C不是正确选项ab学科网（北京）股份有限公司 对D：由不等式的性质可知D一定成立故选BD10.AC【解析】211cos2+xfx()=sincosxx+3cosx=sin2x+⋅322133π3=sin2xx+cos2+=sin2x++2223211π11π3π33对A：令x=−可得f−=−+=sin1+,fx()取得最大值，1212222所以A正确πkππ对B：令2x+=kkZπ(∈)可得fx()的对称中心横坐标为x=−∈(kZ)，3265π5π3k=2时x=，所以fx()的一个对称中心坐标为,，所以B错误662πππ2π2π对C：xx∈,,2+∈,π，又yx=sin在区间,π上单调递减，63333所以C正确π3对D：y=afx()+=2asin2x++a+2，当a>0时，函数的最大值为323aa++=+2523，则a=23，所以函数的最小值为523−，当a<0时，23函数的最大值为−+aa+=+2523,a=−−24143，不成立，所以D错误2故选AC11.ACD【解析】9511对A：fff=244==×=2，所以A正确2222对B：令x∈(4,5]则x−∈4(0,1]，则fx()=2fx(−=24)fx(−=−−=−=−44154441)x(x)x6,所以B错误对C：fx()的部分图像如图所示，作直线y=4，与fx()的图像的左起第二个交学科网（北京）股份有限公司 13点为,4，所以C选项正确2对D：令gx()=−−fxkx()(5)，得fxkx()=(−5)，问题转化为fx()的图像与直线ykx=(−5)恰有三个交点，求斜率k的取值范围，如图所示，直线lykx:=(−5,)l过定点(5,0)，绕着点(5,0)旋转，当l位于ll12,所夹的锐角区域内（不含边界），fx()的图像与直线ykx=(−5)恰有三个交点，1则实数k的取值范围是−−1,，选项D正确.4故选ACD12.答案：-31121−【解析】41log2−4−lg−lg245(64)+−3=42−lg104−=−349151513.答案：,+∞或w>都对22πππ【解析】fx+=sinωωx+−=sinx，4ωω44ππωππωππyx=sinω在−,内不是单调函数，则−<−或>，即15161521621515ω>或ω>8，所以ω的取值范围是,+∞2214.答案：(−−∞,2024)∪(0,2024)或{xx∣<−2024或0<<x2024}都得分【解析】由题意得：fx()为奇函数，故xfx()为偶函数，学科网（北京）股份有限公司 且在(0,+∞)上单调递减，(−∞,0)上单调递增，又ff(0)=(−=2024)f(2024)=0，所以0ff(0)=−−=2024(2024)2024f(2024)=0，故有：x∈−−(∞,2024)时，xfx()<0，所以fx()>0成立；x∈−(2024,0)时，xfx()><0,fx()0，不合题意；x∈(0,2024)时，xfx()>0，所以fx()>0成立；x∈+(2024,∞)时，xfx()<<0,fx()0，不合题意.综上所述：不等式fx()>0的解集为(−−∞,2024)∪(0,2024)11π15.答案：（1）−(2)143【解析】53（1）依题意：由tanCC=>∈0,(0,π)，所以cosC>01122sinCsinC751cos−C75又tanC=，所以=，即=22cosCcosC121cosC121212111得：cosCC=,cos=19614在ABC中，AB+=−πC,cos(AB+=)cos(π−=−C)cosC11所以cos(AB+=)−14143（2）因为cosAA=,∈(0,π)得sinA=.771153又因为cos(AB+=−),AB+∈(0,π)得sin(AB+=)1414所以cosB=cos(ABA+−)=+++cos(ABA)cossin(ABA)sin学科网（北京）股份有限公司 11153431=−×+×=1471472π又B∈(0,π)所以B=316.答案：（1）（1）a<6时，解集为[a−5,1]（2）a=6时，解集为{1}（3）a>6时，解集为[1,a−5]（2）8【解析】2（1）fx()≤1即：x+−(4axa)+−≤50即(xxa−−−≤1)(50)当a<6时，a−<51解得：ax−≤≤51当a=6时，a−=51解得：x=1当a>6时，a−>51解得：15≤≤−xa综上所述：①a<6时，解集为[a−5,1]②a=6时，解集为{1}③a>6时，解集为[1,a−5]22②依题意：x+−(4axa)+−≥40即x+−≥44xax(−1)2xx+−44又x∈+(1,∞)，所以a≤x−122xx+−44(xx−+−+1)6(1)11而==−+(x16)+xx−−11x−111因为(xx−+1)≥21(−⋅)=2xx−−11当且仅当x=∈+2(1,∞)时等号成立2xx+−44即的最小值为8，所以a的最大值为8x−1817.答案：（1）yxx=3log3+−≤≤330(60)（2）29.253学科网（北京）股份有限公司 【解析】b=0b=0（1）对于模型①：由题意，有得.96kb+=k=2∴=yxx2(0≤≤60)当x=60时，y=>=2602491412>，不合题意x对于模型②：yk=⋅+>1.01bk(0)的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意...m=−33log33+=m0对于模型③：由题意，有得83log93(km++=3)6k=38∴=yxx3log3+−≤≤330(60)3该函数图像增长符合题设图像要求.当0≤≤x60时，88yx=3log+−≤333log×+−=60333log163334.63335312−≈×−<×−=33333符合题意8综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为yxx=3log3+−≤≤330(60)38（2）由（1），令3log3x+−≥3393解得x≥29.25所以每天至少锻炼29.25分钟.：π5ππ18.答案：（1）fx()=2cos2x−，单调递增区间为kπ−+∈,kπ(kZ)612121415+（2）−18【解析】（1）由图像可知A=2，T2π7πππ==−=则ω=2，则fx()=2cos2(x+ϕ),44ω1234学科网（北京）股份有限公司 ππππ令2×+=ϕ，可得ϕ=−，所以fx()的解析式为fx()=2cos2x−.3266π5ππ令2kπ−≤−≤π22xkkZπ(∈)可得kπ−≤≤+xkπ(kZ∈)612125ππ则函数fx()的单调递增区间为kπ−+∈,kπ(kZ)1212π（2）gx()=2cosx−，6πππ4由题意，2cosxxx123−=2cos−=2cos−=6663ππ令tx=−t∈−2π,，62π42由gx()=2cosx−=可得cost=，6332令costtt=cos=cos=，1233πππ则tx11=−=−=−,,tx22tx33，其中ttt123<<，666由对称性可知tt12+=−2π,0tt23+=，两式相加可得ttt123++=−22π，πππ所以tt+=−−=−+−=+−2π2txxxx，1321212663ππ∴+=++=−−xxtt2π2t1313233π13所以cos(xx+=)cos−=2tcos2t+sin2t，132223222π又costt22=,∈−,0322145则cos2tt=2cos−=−1,sin2t=−，22299学科网（北京）股份有限公司 113451415+∴cos(xx13+=−+−)=−，2929181415+所以cos(xx13+)的值为−1819.答案：（1）见解析（2）x=−1或x=3或x=2.（3）[−1,5]【解析】111（1）1o.当x∈+∈kk,,kZ时，2xkk∈[2,2+1,)x+∈+k,k+1，2221所以[xkx]=+=,kxk,2[]=2，21所以[2xxx]=++[].21132o.当xk∈++∈,1,kkZ时，2xkkx∈+[21,2+2,)+∈++kk1,，2221所以[xkx]=+=+,k1,2[xk]=+21，21所以[2xxx]=++[].21综上所述，[2xxx]=++[].222（2）xx−−=⇔=−[]20[xx]2，因为[xx]≤，所以2xxx−≤⇔−≤≤212..当x∈−[1,0)时，[xx]=−=1,21，则x=−1；1.当x∈[0,1)时，[xx]=0,2=2，无解；2xx=1,2=3，则x=3；3.当x∈[1,2)时，[]4.当x=2时，符合题意；学科网（北京）股份有限公司 综上所述，原方程的解为x=−1或x=3或x=2.综上所述，原方程的解为x=−1或x=3或x=2.225（3）令sinxt2=∈−[1,1]则gx(2)=cosx22+sinx=−+∈−1tt1,，4则gx(22)∈−{1,0,1,}gx()max=1，8xx388x111由题意得，∀∈x1[1,2]fx(11)≤⇔−≤−⇔−≤≤+1xaa，x22xx211138x8x因为y=−在[1,2]单调递增；y=+在[1,2]单调递减，2xx23xx8811所以−=−+=1,5，22xx11maxmin所以a的取值范围为[−1,5].学科网（北京）股份有限公司