广东省3月模拟考真题汇编：数列篇（解析版）

广东省3月模拟考真题汇编：数列篇一、单选题1(2024·广东深圳·一模)由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为an，即a1=0,a2=2,a3=4,⋯，若an=2024，则n=()A.34B.33C.32D.30【答案】B【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{an}，2则一位自然数有3个，两位自然数有3-3=6个，34三位自然数有3-9=18个，四位自然数有3-27=54个，又四位自然数为2000,2002,2004,2020,2022,2024,⋯2024为四位自然数中的第6个，所以n=3+6+18+6=33.故选：Ban+2,n=2k-1∗2(2024·广东深圳·一模)已知数列an满足a1=a2=1，an+2=(k∈N)，若Sn为数-an,n=2k列an的前n项和，则S50=()A.624B.625C.626D.650【答案】Can+2,n=2k-1∗【详解】数列an中，a1=a2=1，an+2=(k∈N)，-an,n=2k∗当n=2k-1,k∈N时，an+2-an=2，即数列an的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，25×24则a1+a3+a5+⋯+a49=25×1+×2=625，2∗an+2当n=2k,k∈N时，=-1，即数列an的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1，an251×[1-(-1)]则a2+a4+a6+⋯+a50==1，1-(-1)所以S50=(a1+a3+a5+⋯+a49)+(a2+a4+a6+⋯+a50)=626.故选：C3(2024·广东汕头·一模)在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为()A.21B.24C.27D.30【答案】C【详解】令插入的3个数依次为a1,a2,a3，即3,a1,a2,a3,15成等差数列，因此2a2=3+15，解得a2=9，1 所以插入的3个数之和为a1+a2+a3=3a2=27.故选：C4(2024·广东·模拟预测)已知等比数列an的各项均为正数，若a4=2,a8=6，则a6=()A.4B.23C.3D.33【答案】B2【详解】因为等比数列an的各项均为正数，所以a4⋅a8=a6=12，所以a6=23.故选：B25(2024·广东江门·一模)已知an是等比数列，a3a5=8a4，且a2，a6是方程x-34x+m=0两根，则m=()A.8B.-8C.64D.-64【答案】C22【详解】因为an是等比数列，所以a3a5=a4，a2a6=a4，又a3a5=8a4，所以a4=8，2又a2，a6是方程x-34x+m=0两根，2所以m=a2a6=a4=64.故选：C*6(2024·广东佛山·二模)设数列an的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1(n∈N)，则a2024=()1011101140474048A.B.C.D.1012101340494049【答案】C【详解】*因为an+2Tn=1(n∈N)，1所以a1+2T1=1，即a1+2a1=1，所以a1=，3Tn*所以+2Tn=1(n≥2,n∈N)，Tn-111*所以-=2(n≥2,n∈N)，TnTn-1所以数列1是首项为1=1=3，公差为2的等差数列，TnT1a11所以=3+2(n-1)=2n+1，Tn11T20242×2024+14047即Tn=，所以a2024===．2n+1T2023140492×2023+1故选：C．2 S47(2024·广东广州·一模)记Sn为等比数列an的前n项和，若a3a5=2a2a4，则=()S2A.5B.4C.3D.2【答案】C【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，a3a52若a3a5=2a2a4，即=q=2，a2a44a1(1-q)S41-q2故==1+q=3．故选：C．2S2a1(1-q)1-q二、填空题2Sn+98(2024·广东广州·一模)已知数列an的前n项和Sn=n+n，当取最小值时，n=.an【答案】3222【详解】因为Sn=n+n，则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n+n-n-1-n-1=2n，又当n=1时，a1=S1=2，满足an=2n，故an=2n；S+92nn+n+9191则==n++，an2n2n29又y=x+,x≥1在1,3单调递减，在3,+∞单调递增；x9Sn+9故当n=3时，n+取得最小值，也即n=3时，取得最小值.nan故答案为：3.三、解答题Sn9(2024·广东深圳·一模)设Sn为数列an的前n项和，已知a2=4,S4=20，且n为等差数列．(1)求证：数列an为等差数列；bn+1an*(2)若数列bn满足b1=6，且=，设Tn为数列bn的前n项和，集合M=TnTn∈N，求M(用bnan+2列举法表示)．【答案】(1)证明见解析(2)M=6,8,9,10,11SnS4S1【详解】(1)设等差数列n的公差为d，则4=1+3d，即S1+3d=5，①S2S1因为S2=a1+a2=S1+4，所以由=+d，得S1+2d=4．②21Sn由①、②解得S1=2,d=1，所以=n+1，即Sn=nn+1，n3 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=2n，*当n=1时，a1=S1=2，上式也成立，所以an=2nn∈N，所以数列an是等差数列．bn+1an2nn(2)由(1)可知===，bnan+22n+4n+2bnbn-1b2n-1n-2112当n≥2时，bn=⋅⋯⋅⋅b1=××⋯××6=，bn-1bn-2b1n+1n3nn+11211*因为b1=6满足上式，所以bn==12n-n+1n∈N．nn+111111112Tn=121-2+2-3+⋯+n-n+1=12×1-n+1=12-n+1，12*因为当∈N时，n=1,2,3,5,11，所以M=6,8,9,10,11．n+1111*10(2024·广东广州·二模)已知数列an中，a1=1,a1+a2+a3+⋯+an=an+1-1n∈N.23n(1)求数列an的通项公式；nn+1(2)令bn=2an，记Tn为bn的前n项和，证明：n≥3时，Tn<n2-4.【答案】(1)an=n(2)证明见解析111【详解】(1)因为a1+a2+a3+⋯+an=an+1-1，23n1111所以a1+a2+a3+⋯+an+an+1=an+2-1，23nn+11an+1n+1a2a3作差可得an+1=an+2-an+1，变形为an+1=n+1an+2-n+1an+1，即=，即⋅⋯n+1an+2n+2a3a4an+123n+1a22=⋅⋯，化简为=，an+234n+2an+2n+21因为a1=1,a1+a2=a2-1⇒a2=2，所以an+2=n+2，2an+1n+1ann因为=⇒=⇒an=n，an+2n+2an+2n+2所以数列an的通项公式为an=n.nn(2)因为bn=2an=n⋅2，公众号：慧博高中数学最新试题2n23n+1所以Tn=1⋅2+2⋅2+⋯n⋅2，2Tn=1⋅2+2⋅2+⋯n⋅2，n2nn+121-2n+1作差可得-Tn=2+2+⋯+2-n⋅2=-n⋅2，1-2n+1所以Tn=n-12+2，n+1n+1n+1n+1Tn-n2-4=n-12+2-n2-4=-2+4n+2，xx设fx=-2×2+4x+2,x≥3，则fx=-2×2ln2+4在给定区间上递减，又f3=-16×ln2+4<04 4故fx在3,+∞是减函数，fxmax=f3=-2+4×3+2=-2<0，n+1所以当n≥3时，Tn<n2-4.*11(2024·广东佛山·模拟预测)已知数列an满足am+2n=an+2mm,n∈N，且a3=5．(1)求数列an的通项公式；a1a2an(2)证明：++⋯+<1．32n33【答案】(1)an=2n-1(2)证明过程见解析【详解】(1)am-2m=an-2n，故an-2n为常数列，其中a3=5，故a3-6=5-6=-1，故an-2n=-1，即an=2n-1；an2n-1(2)bn=n=n，设bn的前n项和为Tn，33132n-11132n-1则Tn=3+2+⋯+n①，3Tn=2+3+⋯+n+1②，333332-2212222n-112n+12n-133两式①-②得，Tn=+++⋯+-=+-3332333n3n+1313n+11-322+2n=-，33n+1n+1故Tn=1-<1.n3an*12(2022·广东汕头·一模)已知数列{an}和{bn}，其中bn=2，n∈N，数列{an+bn}的前n项和为Sn．(1)若an=2n，求Sn；(2)若{bn}是各项为正的等比数列，Sn=3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．24n【答案】(1)Sn=n+n+(4-1)3(2)an=1，bn=2【详解】(1)解：当n≥2时，an-an-1=2n-2(n-1)=2，从而{an}是等差数列，an=2n，bann2an-an-1=a=2=4，所以{bn}是等比数列，b2n-1n-1a12n-1n又b1=2=2=4，则bn=4×4=4，nn(2+2n)4×(1-4)24n所以Sn=+=n+n+(4-1)．21-43(2)解：{bn}是各项为正的等比数列，设其首项为b1，公比为q，an由bn=2，可得an=log2bn，则an+1-an=log2bn+1-log2bn=log2q，(定值)5 则数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，由数列{an+bn}的前n项和Sn=3n，a1+b1=3a+d+bq=3d+bq2-bq=01111可得方程组2，整理得32，a1+2d+b1q=3d+b1q-b1q=03a1+3d+b1q=32解得：b1q(q-1)=0，∵b1≠0，q≠0，∴q=1且d=0，a1由a1+2=3，可得a1=1，则b1=2，则数列{an}的通项公式为an=1；数列{bn}的通项公式为bn=2．【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．公众号：慧博高中数学最新试题213(2024·广东百日冲刺·模拟预测)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=3n+6n．(1)求an的通项公式；9(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn．anan+1*【答案】(1)an=6n+3,n∈Nn*(2)Tn=,n∈N32n+3【详解】(1)由题意a1=S1=9，*22当n≥2,n∈N时，an=Sn-Sn-1=3n+6n-3n-1-6n-1=6n+3，且a1=6+3=9满足上式，*所以an=6n+3,n∈N.991111(2)由题意bn=aa===22n+1-2n+3，nn+16n+36n+92n+12n+31111111111n所以Tn=23-5+5-7+⋯+2n+1-2n+3=23-2n+3=.32n+314(2024·广东·一模)已知数列an的前n项和为Sn，n为正整数，且3Sn-n=4an-2．(1)求证数列an-1是等比数列，并求数列an的通项公式；bn+2n+16n-1(2)若点Pan-1,3在函数y=log4x的图象上，且数列cn满足cn=(-1)bb，求数列cn的nn+1前n项和Tn．n【答案】(1)证明见解析，an=4+13n,n为偶数3n+1(2)Tn=3n+2,n为奇数3n+1【详解】(1)当n=1时，3(a1-1)=4(a1-2)，解得a1=5，当n≥2时，由3Sn-n=4an-2可得3Sn-1-n+1=4an-1-2，6 两式相减可得，an=4an-1-3，即an-1=4an-1-1，所以数列an-1是以5-1=4为首项，4为公比的等比数列，n-1nn所以an-1=4⋅4=4，即an=4+1.bn+2(2)点Pan-1,3在函数y=log4x的图象上，bn+2n所以=log4an-1=log44=n，即bn=3n-2，3n+16n-1n+16n-1n+111所以cn=(-1)bb=(-1)=(-1)3n-2+3n+1，nn+13n-2(3n+1)∗当n=2k,k∈N时，1111113nTn=c1+c2+⋯+cn=1+4-4+7+⋯-3n-2+3n+1=1-3n+1=3n+1，∗当n=2k-1,k∈N时，3n-33n-31113n+2Tn=c1+c2+⋯+cn-1+cn=3n-2+cn=3n-2+3n-2+3n+1=1+3n+1=3n+13n,n为偶数3n+1综上，Tn=3n+2,n为奇数3n+1an+1,n为奇数15(2024·广东佛山·二模)已知数列an满足a1=1，an+1=，且bn=a2n+1-a2n-1．3an,n为偶数(1)证明bn为等比数列，并求数列bn的通项公式；b-5nn113(2)设cn=b-5，且数列cn的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，2n-1-3<3Tn-n<lnn-1．n+133-1n-1【答案】(1)证明见解析，bn=5⋅3(2)证明见解析【详解】(1)an+1,n为奇数因为an=1，an+1=，3an,n为偶数所以a2=a1+1=2，a3=3a2=3×2=6，b1=a3-a1=6-1=5.所以an+1>an，所以a2n+1-a2n-1>0，bn+1a2n+3-a2n+13a2n+2-3a2n3a2n+1+1-3a2n-1+13a2n+1-a2n-1因为=====3．bna2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1n-1所以bn是等比数列，首项b1=5，公比q=3，所以bn=5⋅3．(2)b-5n-1n-1n5⋅3-53-1由(1)可得cn===，b-5nnn+15⋅3-53-111先证明左边：即证明-3<3Tn-n，23n-17 n-1n-13-13-111当n≥2时，cn=>=-，nn3n3-13311n111111n31-3n11所以Tn>-+-+⋅⋅⋅+-=-=-1-，33133233n31-1323n311所以3Tn-n>-3，23n-1n3再证明右边：3Tn-n<ln-1，n3-1n-1n3-113-3121212因为cn==⋅=1-<1-=-，3n-133n-133n-133n33n+121n121212n321-3n11所以Tn<-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+，33233333n+131-1333n+13n113即3Tn-n<-1，下面证明-1<ln-1，nnn333-1nn1313-11即证<ln，即证<-ln=-ln1-3n3n-13n3n3n1212设1-=t，t∈,1，则=1-t，设ft=lnt+1-t，t∈,1，3n33n311-t2因为ft=t-1=t>0，所以函数ft=lnt+1-t在t∈3,1上单调递增，2则ft<f1=0，即1-t<-lnt，t∈,1，3n1113所以<-ln1-，所以3Tn-n<-1<ln-1．3n3n3n3n-1n113综上，-3<3Tn-n<ln-1．23n-13n-1【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：(1)作差比较法：不等式两边作差与0比较大小.(2)放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.8